6.4: Capas de contorno de onda

La solución linealizada de pequeña amplitud para la velocidad mencionada en la sección anterior predice velocidades espacialmente que varían lentamente tanto en la superficie del agua como por debajo de la superficie del agua en cualquier momento dado. En el caso de las olas en profundidades de agua poco profundas e intermedias (es decir, para las cuales la longitud de onda no es muy pequeña en relación con la profundidad del agua), se prevé que estas velocidades sean aún apreciables incluso en la parte inferior, y cuando la longitud de onda es grande en relación con la profundidad del agua, las magnitudes de cerca del fondo las velocidades son aproximadamente las mismas que las velocidades en la superficie. Recuerde que la suposición de flujo inviscido significa que estas velocidades cercanas al fondo distintas de cero se extienden hasta el fondo.

Las viscosidades de fluidos reales como el agua son lo suficientemente pequeñas como para que el perfil de superficie libre y la distribución espacial y temporal de las velocidades sean bien explicadas por las soluciones inviscidas, y la amortiguación viscosa es pequeña, tan pequeña que las olas grandes pueden viajar a través de amplias cuencas oceánicas sin grandes pérdidas de energía. Pero las velocidades no nulas predichas en el límite inferior sólido bajo las olas son claramente contrarias a los hechos: al igual que en los flujos unidireccionales de fluidos reales, la velocidad debe ir a cero en el límite inferior. Esto lleva al concepto de la capa límite inferior en los flujos oscilatorios: esto comúnmente se llama capa límite de onda.

Muchos de los efectos físicos asociados con las capas de límites de onda son análogos o paralelos a los de las capas límite de flujo unidireccional. Aquí hay un relato mayormente cualitativo de algunas de las cosas importantes sobre las capas de límites de onda. Lo primero a tener en cuenta es que, al igual que con los flujos unidireccionales, a valores relativamente bajos de un número de Reynolds adecuadamente definido la capa límite es laminar, y a valores más altos del número de Reynolds la capa límite es turbulenta, aunque el flujo en el dominio por encima de la capa límite, donde el suposición inviscida sostiene, es efectivamente no turbulenta (siempre que no haya corriente unidireccional coexistente; ver una sección posterior).

Si el número de Reynolds de la onda se define como\(\rho U_{m} d_{\text{o}} / \mu\), donde\(U_{m}\) está la velocidad máxima del fondo predicha por la teoría inviscida y\(d_{\text{o}}\) es el diámetro orbital dado por la teoría inviscida, entonces se conoce el valor crítico para la transición de flujo laminar a turbulento en la capa límite de onda a partir de observaciones en tanques de olas y conductos de flujo oscilatorio en el laboratorio para estar a punto\(10^{4}\).

Se puede encontrar una solución exacta para el perfil de velocidad en la capa límite laminar. Las matemáticas son sencillas pero más allá del alcance de estas notas. El resultado, cuando se expresa como el déficit de velocidad\(u_{d}\), la diferencia entre la velocidad inferior inviscida (que en el contexto del límite laminar puede verse como la velocidad en la parte superior de la capa límite) y la velocidad real a cierta altura\(z\) por encima del fondo, es

\[u_{d}=e^ {\left(-\sqrt{\frac{\omega}{2 v}} z\right)} \cos \left(k x-\omega t+\sqrt{\frac{\omega}{2 v}} z\right) \label{6.1} \]

donde\(\omega\) es la frecuencia angular de la oscilación (relacionada con el periodo\(T\) por\(\omega = 2\pi /T\)),\(k\) es el número de onda (relacionado con la longitud de onda\(L\) por\(k = 2\pi /L\)),\(ν\) es la viscosidad cinemática\(\mu /\rho\), y\(z\) se mide hacia arriba desde la parte inferior.

La solución en la Ecuación\ ref {6.1} tiene dos factores, uno que expresa una dependencia exponencial negativa y el otro expresa una dependencia coseno. El primero provoca\(u_{d}\) una caída brusca con la altura por encima del fondo, y el segundo solo toma en cuenta la variación de tiempo en la velocidad, pero es importante señalar que hay una diferencia de fase con el flujo inviscido suprayacente, y la diferencia de fase en sí depende de\(z\), variando hacia arriba desde cero en la parte inferior al mismo tiempo\(u_{d}\) es cada vez más pequeño.

La dependencia exponencial negativa de\(u_{d}\) on\(z\) en la Ecuación\ ref {6.1} significa que el espesor efectivo de la capa límite está bastante bien definido, aunque técnicamente hay que tomar algún valor arbitrario como\(0.01\) for para\(u_{d}\) obtener un grosor definido para el límite capa. Resulta que el valor de\(z\) eso corresponde a\(u_{d} = 0.01\), que generalmente se denota por\(\delta_{L}\), es

\[z=\delta_{L}=5 \sqrt{\frac{2 v}{\omega}} \label{6.2} \]

Pero la mayoría de las capas fronterizas bajo las olas en el océano real bajo condiciones de interés en el transporte de sedimentos son turbulentas en lugar de laminares. Los análisis teóricos de la capa límite de onda turbulenta se han llevado a cabo reemplazando la viscosidad molecular por una viscosidad turbulenta de remolino, haciendo alguna suposición sobre cómo varía verticalmente la viscosidad de Fócault y obteniendo una expresión para la distribución vertical de la velocidad. El perfil de velocidad se encuentra de esta manera como logarítmico. Nuevamente existe el problema de cómo definir arbitrariamente el espesor de capa límite, pero la altura\(\delta_{T}\) de la capa límite turbulenta se suele tomar como

\[\delta_{T}=\frac{2 \kappa u_{*}}{\omega} \label{6.3} \]

donde\(\kappa\) está la constante de von Kármán, la inversa de la constante\(A\) introducida en el Capítulo 4, y nuevamente\(u_{*}\) es la velocidad de cizallamiento (que podría tomarse como el máximo o el promedio de tiempo).

Un aspecto significativo de las capas límite de onda es que no siguen creciendo hacia arriba hacia el interior del flujo indefinidamente, como lo hacen las capas de límite de flujo unidireccional, siempre que la estratificación de densidad no inhiba su crecimiento ascendente. La razón es que el grosor de la capa límite de onda está limitado por el cese y cambio del flujo en cada ciclo. Para las capas de límites de olas turbulentas sobre lechos ásperos, es probable que el grosor de la capa límite de olas sea algo menor que un metro, mucho más pequeño que la capa límite típica debajo de las corrientes en entornos naturales de aguas profundas.

Solo para darle una idea de la estructura de velocidad en la capa límite de flujo oscilatorio es como, La Figura\(\PageIndex{1}\) es un gráfico (ciertamente algo complicado) que muestra la velocidad del flujo en la capa límite oscilatoria laminar vs. la altura por encima de la parte inferior durante cuatro tiempos igualmente espaciados durante una completa ciclo de oscilación (\(0\)\(\pi /2\),\(\pi\),\(3\pi /2\), y\(2\pi\)). La coordenada vertical está etiquetada con valores de la variable de longitud bajo el signo radical en la Ecuación\ ref {6.2} pero con notación ligeramente diferente. Las curvas de la Figura\(\PageIndex{1}\) están etiquetadas de dos maneras:\(1–4\) sin imprimar y\(1–4\) imprimadas. Los números no cebados son para lo que la velocidad del fondo se vería como para un observador de flotación neutra que cabalga con el flujo oscilatorio justo fuera de la capa límite. Esto corresponde a oscilar una placa plana en un tanque de agua sin gas. Los números cebados son para las curvas equivalentes, más relevantes para nuestros intereses aquí, que muestran el perfil de velocidad del fluido en relación con un observador plantado firmemente en el fondo. Se puede ver cómo, durante cada medio ciclo (por ejemplo, de curva\(0^{\prime}\) a curva\(1^{\prime}\) a curva\(2^{\prime}\)) hay un desajuste de fase considerable entre la parte superior de la capa límite y la parte inferior.

Figura\(\PageIndex{1}\): Gráfica de la velocidad del fluido\(u\), normalizada dividiendo por la velocidad\(U_{\text{o}}\) fuera de la capa límite oscilatoria laminar, vs. distancia por encima del fondo, para un ciclo completo de oscilación. Ver texto para explicación. Consulte Ecuación\ ref {6.2} para conocer la naturaleza de la coordenada vertical. La parte superior de la gráfica corresponde aproximadamente a la parte superior de la capa límite. (Modificado de Schlichting, 1960, p. 76.)

Finalmente, la magnitud del esfuerzo cortante del fondo es importante tanto por su papel en el transporte de sedimentos como por su efecto en la atenuación de la energía de las olas por fricción del fondo, por lo que se ha dedicado mucho esfuerzo a desarrollar formas de predecir el esfuerzo cortante del fondo. Básicamente se reduce a tratar un factor de fricción de onda\(f_{w}\), análogo al factor de fricción de flujo unidireccional, y trabajar con un diagrama de factor de fricción de onda determinado experimentalmente que expresa la dependencia del factor de fricción de onda del número de Reynolds y, para camas ásperas, una rugosidad relativa\(d_{\text{o}}/D\), donde\(D\) está el tamaño de los elementos de rugosidad.

Un aspecto interesante del esfuerzo cortante del lecho en el flujo oscilatorio es que en las capas límite laminares el esfuerzo cortante máximo conduce la velocidad máxima por un ángulo de fase de\(\pi /4\), lo que significa que el esfuerzo cortante máximo actúa sobre el fondo en un tiempo igual a\(T/8\) (donde\(T\) está el periodo de la oscilación) antes de que la velocidad alcance su máximo en la parte superior de la capa límite. En las capas límite turbulentas el mismo efecto está presente pero la diferencia de fase es algo menor.