A.3: Uso de definiciones

Template:MathJaxZach

Mencionamos que debes estar familiarizado con todas las definiciones que puedan ser utilizadas en la prueba, y que puedes aplicarlas correctamente. Este es un punto realmente importante, y merece la pena verlo con un poco más de detalle. Las definiciones se utilizan para abreviar propiedades y relaciones para que podamos hablar de ellas de manera más sucinta. La abreviatura introducida se llama definiendum, y lo que abrevia es el definiens. En las pruebas, muchas veces tenemos que volver a cómo se introdujo el definiendum, porque tenemos que explotar la estructura lógica de los definiens (cuya versión larga el término definido es la abreviatura) para obtener a través de nuestra prueba. Al desempaquetar definiciones, te estás asegurando de que estás llegando al corazón de donde está la acción lógica.

Empezaremos con un ejemplo. Supongamos que quieres probar lo siguiente:

Proposición\(\PageIndex{1}\)

Para cualquier conjunto\(A\) y\(B\),\(A \cup B = B \cup A\).

Para incluso comenzar la prueba, necesitamos saber qué significa que dos conjuntos sean idénticos; es decir, necesitamos saber qué significa para los conjuntos el “\(=\)” en esa ecuación. Los conjuntos se definen para que sean idénticos siempre que tengan los mismos elementos. Entonces la definición que tenemos que desempacar es:

Definición\(\PageIndex{1}\)

Establece\(A\) y\(B\) son idénticos,\(A = B\), iff cada elemento de\(A\) es un elemento de\(B\), y viceversa.

Esta definición utiliza\(A\) y\(B\) como marcadores de posición para conjuntos arbitrarios. Lo que define —el definiendum — es la expresión “\(A = B\)” dando la condición bajo la cual\(A = B\) es verdadera. Esta condición —“ cada elemento de\(A\) es un elemento de\(B\), y viceversa” —es el definiens. ¹ La definición especifica que\(A = B\) es cierto si, y sólo si (abreviamos esto como “iff”) se mantiene la condición.

Cuando aplicas la definición, tienes que hacer coincidir el\(A\) y\(B\) en la definición con el caso que estás tratando. En nuestro caso, significa que\(A \cup B = B \cup A\) para que sea verdad, cada uno también\(z \in A \cup B\) debe estar adentro\(B \cup A\), y viceversa. La expresión\(A \cup B\) en la proposición juega el papel de\(A\) en la definición, y\(B \cup A\) la de\(B\). Ya que\(A\) y se\(B\) utilizan tanto en la definición como en el enunciado de la proposición que estamos demostrando, pero en diferentes usos, hay que tener cuidado para asegurarse de no mezclar los dos. Por ejemplo, sería un error pensar que podrías probar la proposición demostrando que cada elemento de\(A\) es un elemento de\(B\), y viceversa, eso demostraría eso\(A = B\), no eso\(A \cup B = B \cup A\). (Además, ya que\(A\) y\(B\) pueden ser dos conjuntos cualquiera, no llegarás muy lejos, porque si no se asume nada\(A\) y bien\(B\) pueden ser conjuntos diferentes.)

Dentro de la prueba estamos tratando nociones set-teóricas como la unión, y así también debemos conocer los significados del símbolo\(\cup\) para entender cómo debe proceder la prueba. Y a veces, desempaquetar la definición da lugar a más definiciones para desempaquetar. Por ejemplo,\(A \cup B\) se define como\(\Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B}\). Entonces, si quieres probarlo\(x \in A \cup B\), desempacar la definición de te\(\cup\) dice que tienes que probar\(x \in \Setabs{z}{z \in A \text{ or } z \in B}\). Ahora también hay que recordar ese\(x \in \Setabs{z}{\dots z\dots}\) iff\(\dots x\dots\). Entonces, desempacando aún más la definición de la\(\Setabs{z}{\dots z \dots}\) notación, lo que tienes que mostrar es:\(x \in A\) o\(x \in B\). Entonces, “cada elemento de\(A \cup B\) es también un elemento de\(B \cup A\)” realmente significa: “para cada\(x\), si\(x \in A\) o\(x \in B\), entonces\(x \in B\) o”\(x \in A\). Si desempaquetamos completamente las definiciones en la proposición, vemos que lo que tenemos que mostrar es esto:

Proposición\(\PageIndex{2}\)

Para cualquier conjunto\(A\) y\(B\): (a) para cada\(x\), si\(x \in A\) o\(x \in B\), entonces\(x \in B\) o\(x \in A\), y (b) para cada\(x\), si\(x \in B\) o \(x \in A\), entonces\(x \in A\) o\(x \in B\).

Lo importante es que desempaquetar definiciones es una parte necesaria para construir una prueba. Hacerlo correctamente a veces es difícil: debes tener cuidado de distinguir y hacer coincidir las variables en la definición y los términos en el reclamo que estás probando. Para tener éxito, debes saber qué es lo que hace la pregunta y qué significan todos los términos utilizados en la pregunta; a menudo necesitarás desempacar más de una definición. En pruebas simples como las de abajo, la solución se desprende casi inmediatamente de las propias definiciones. Por supuesto, no siempre será así de sencillo.

Problema\(\PageIndex{1}\)

Supongamos que se le pide que lo demuestre\(A \cap B \neq \emptyset\). Descomprima todas las definiciones que aquí ocurren, es decir, reafirmar esto de una manera que no mencione “\(\cap\)”, “=” o “\(\emptyset\)”.

---

1. En este caso particular, ¡y muy confusamente! —when\(A = B\), los conjuntos\(A\) y\(B\) son solo uno y el mismo conjunto, aunque usamos letras diferentes para ello en el lado izquierdo y derecho. Pero las formas en que se escoge ese conjunto pueden ser diferentes, y eso hace que la definición no sea trivial. ↩ ︎