3.8: Resumen

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Una función\(f\colon A \to B\) mapea cada elemento del dominio\(A\) a un elemento único del codominio\(B\). Si\(x \in A\), llamamos a los\(y\) que\(f\) mapas\(x\) al valor\(f(x)\) de\(f\) para argumento\(x\). Si\(A\) es un conjunto de pares, podemos pensar en la función\(f\) como tomando dos argumentos. El rango\(\ran{f}\) de\(f\) es el subconjunto de\(B\) que consta de todos los valores de\(f\).

Si\(\ran{f} = B\) entonces\(f\) se llama suryectiva. El valor\(f(x)\) es único en que\(f\) mapea solo\(x\) a uno\(f(x)\), nunca a más de uno. Si también\(f(x)\) es único en el sentido de que no se mapean dos argumentos diferentes al mismo valor,\(f\) se llama inyectivo. Las funciones que son tanto inyectoras como suryectivas se denominan biyectivas.

Las funciones biyectivas tienen una función inversa única\(f^{-1}\). Las funciones también se pueden encadenar entre sí: la función\((g \circ f)\) es la composición de\(f\) con\(g\). Las composiciones de las funciones inyectoras son inyectoras, y de las funciones suryectivas son suryectivas, y\((f^{-1} \circ f)\) es la función de identidad.

Si relajamos el requisito que\(f\) debe tener un valor para cada\(x \in A\), obtenemos la noción de una función parcial. Si\(f\colon A \pto B\) es parcial, decimos que\(f(x)\) está definido,\(f(x) \fdefined\) si\(f\) tiene un valor para argumento\(x\), y de lo contrario decimos que\(f(x)\) es indefinido,\(f(x) \fundefined\). Cualquier función (parcial)\(f\) está asociada con la gráfica\(R_f\) de\(f\), la relación que sostiene iff\(f(x) = y\).