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10.10: Una prueba directa del teorema de la compacidad

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    Podemos probar el Teorema de la Compacidad directamente, sin apelar al Teorema de la Completitud, utilizando las mismas ideas que en la prueba del teorema de la completitud. En la prueba del Teorema de la Completitud comenzamos con un conjunto consistente\(\Gamma\) de oraciones, lo expandimos a un conjunto consistente, saturado y completo\(\Gamma^*\) de oraciones, y luego mostramos que en el término modelo\(\Struct{M(\Gamma^*)}\) construido a partir de \(\Gamma^*\), todas las oraciones de\(\Gamma\) son verdaderas, por lo que\(\Gamma\) es satisfecha.

    Podemos utilizar el mismo método para demostrar que un conjunto de oraciones finitamente satisfactorios es satisfactorios. Sólo tenemos que probar las versiones correspondientes de los resultados que conducen al lema de la verdad donde sustituimos “consistente” por “finitamente satisfactorios”.

    Proposición\(\PageIndex{1}\)

    Supongamos que\(\Gamma\) es completo y finitamente satisfactorios. Entonces:

    1. \((A \land B) \in \Gamma\) iff both \(A \in \Gamma\) and \(B \in \Gamma\).

    2. \((A \lor B) \in \Gamma\) iff either \(A \in \Gamma\) or \(B \in \Gamma\).

    3. \((A \lif B) \in \Gamma\) iff either \(A \notin \Gamma\) or \(B \in \Gamma\).

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Demostrar Proposición\(\PageIndex{1}\). Evitar el uso de\(\Proves\).

    Lema\(\PageIndex{1}\)

    Cada conjunto finitamente satisfactorios se\(\Gamma\) puede extender a un conjunto saturado finitamente satisfactorios\(\Gamma'\).

    Problema\(\PageIndex{2}\)

    Demostrar Lema\(\PageIndex{1}\). (Pista: El paso crucial es demostrar que si\(\Gamma_n\) es finitamente satisfecha, así es\(\Gamma_n \cup \{D_n\}\), sin apelar a derivaciones o consistencia alguna.)

    Proposición\(\PageIndex{2}\)

    Supongamos que\(\Gamma\) es completo, finitamente satisfecha y saturado.

    1. \(\lexists{x}{A(x)} \in \Gamma\) iff \(A(t) \in \Gamma\) for at least one closed term \(t\).

    2. \(\lforall{x}{A(x)} \in \Gamma\) iff \(A(t) \in \Gamma\) for all closed terms \(t\).

    Problema\(\PageIndex{3}\)

    Demostrar Proposición\(\PageIndex{2}\).

    Lema\(\PageIndex{2}\)

    Cada conjunto finitamente satisfactorios se\(\Gamma\) puede extender a un conjunto completo y finitamente satisfactorios\(\Gamma^*\).

    Problema\(\PageIndex{4}\)

    Demostrar Lema\(\PageIndex{2}\). (Pista: el paso crucial es demostrar que si\(\Gamma_n\) es finitamente satisfecha, entonces cualquiera\(\Gamma_n \cup \{A_n\}\) o\(\Gamma_n \cup \{\lnot A_n\}\) es finitamente satisfecha.)

    Teorema\(\PageIndex{1}\): Compactness

    \(\Gamma\)es satisfecha si y sólo si es finitamente satisfecha.

    Comprobante. Si\(\Gamma\) es satisfecha, entonces hay una estructura\(\Struct{M}\) tal que\(\Sat{M}{A}\) para todos\(A \in \Gamma\). Por supuesto, esto\(\Struct{M}\) también satisface a cada subconjunto finito de\(\Gamma\), por lo que\(\Gamma\) es finitamente satisfactorios.

    Ahora supongamos que eso\(\Gamma\) es finitamente satisfecha. Por Lemma\(\PageIndex{1}\), there is a finitely satisfiable, saturated set \(\Gamma' \supseteq \Gamma\). Por Lemma\(\PageIndex{2}\), se\({\Gamma'}\) puede extender a un conjunto completo y finitamente satisfactorios\(\Gamma^*\), y\(\Gamma^*\) is still saturated. Construir el término modelo\(\Struct{M(\Gamma^*)}\) como en la Definición 10.6.1. Obsérvese que la Proposición 10.6.1 no se basó en\(\Gamma^*\) is consistent (or complete or saturated, for that matter), but just on the fact that \(\Struct{M(\Gamma^*)}\) is covered. el hecho de que La prueba del Lema de la Verdad (Lema 10.6.1) pasa por si reemplazamos referencias a la Proposición 10.3.1 y a la Proposición 10.4.2 por referencias a la Proposición\(\PageIndex{1}\) and Proposition \(\PageIndex{2}\). ◻

    Problema\(\PageIndex{5}\)

    Escriba la prueba completa del Lema de la Verdad (Lema 10.6.1) en la versión requerida para la prueba del Teorema\(\PageIndex{1}\).


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