11.2: Lógica de muchos ordenados

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En la lógica de primer orden, las variables y los cuantificadores oscilan en un solo dominio. Pero a menudo es útil tener múltiples dominios (disjuntos): por ejemplo, es posible que desee tener un dominio de números, un dominio de objetos geométricos, un dominio de funciones de números a números, un dominio de grupos abelianos, etc.

La lógica de muchos ordenados proporciona este tipo de marco. Uno comienza con una lista de “clases” —la “especie” de un objeto indica el “dominio” en el que se supone que debe habitar. Luego se tienen variables y cuantificadores para cada ordenación, y (generalmente) un predicado de identidad para cada ordenación. Las funciones y relaciones también son “mecanografiadas” por el tipo de objetos que pueden tomar como argumentos. De lo contrario, se mantienen las reglas habituales de la lógica de primer orden, con versiones de las reglas del cuantificador repetidas para cada ordenación.

Por ejemplo, para estudiar las relaciones internacionales podríamos elegir un idioma con dos tipos de objetos, los ciudadanos franceses y los ciudadanos alemanes. Podríamos tener una relación unaria, “bebe vino”, para los objetos de primer tipo; otra relación unaria, “come wurst”, para los objetos de la segunda clase; y una relación binaria, “forma una pareja casada multinacional”, que toma dos argumentos, donde el primer argumento es del primer tipo y el segundo es de el segundo tipo. Si utilizamos variables\(a\),\(b\),\(c\) para abarcar a los ciudadanos franceses y\(x\),\(y\),\(z\) para abarcar a los ciudadanos alemanes, entonces\[\lforall{a}{\lforall{}{} x}[(\Atom{\Obj{MarriedTo}}{a,x} \lif (\Atom{\Obj{DrinksWine}}{a} \lor \lnot \Atom{\Obj{EatsWurst}}{x})]]\nonumber\] afirma que si alguna persona francesa está casada con un alemán, o el francés bebe vino o el alemán no come wurst.

La lógica de muchos ordenados se puede incrustar en la lógica de primer orden de una manera natural, agrupando todos los objetos de los muchos dominios ordenados en un dominio de primer orden, usando símbolos de predicados unarios para realizar un seguimiento de las clases y relativizando cuantificadores. Por ejemplo, el lenguaje de primer orden correspondiente al ejemplo anterior tendría símbolos predicados unarios “\(\Obj{German}\)” y “\(\Obj{French}\),” además de las demás relaciones descritas, con los requisitos de clasificación borrados. Un cuantificador ordenado\(\lforall{x}{A}\), donde\(x\) es una variable del tipo alemán, se traduce como\[\lforall{x}{(\Atom{\Obj{German}}{x} \lif A)}.\nonumber\] Necesitamos agregar axiomas que aseguren que los tipos estén separados —por ejemplo,\(\lforall{x}{\lnot (\Atom{\Obj{German}}{x} \land \Atom{\Obj{French}}{x})}\) —así como axiomas que garanticen que “bebe vino” solo sostiene de objetos que satisfacen el predicado\(\Atom{\Obj{French}}{x}\), etc. Con estas convenciones y axiomas, no es difícil demostrar que muchas oraciones ordenadas se traducen en oraciones de primer orden, y muchas derivaciones ordenadas se traducen en derivaciones de primer orden. Además, muchas estructuras ordenadas “se traducen” a estructuras de primer orden correspondientes y viceversa, por lo que también tenemos un teorema de integridad para la lógica de muchos ordenados.