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A.8: Pruebas de lectura

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    Las pruebas que encuentras en los libros de texto y artículos muy rara vez dan todos los detalles que hasta ahora hemos incluido en nuestros ejemplos. Los autores a menudo no llaman la atención cuando distinguen casos, cuando dan una prueba indirecta, o no mencionan que utilizan una definición. Entonces, cuando lees una prueba en un libro de texto, a menudo tendrás que rellenar esos datos por ti mismo para poder entender la prueba. Hacer esto también es una buena práctica para acostumbrarse a los diversos movimientos que tienes que hacer en una prueba. Veamos un ejemplo.

    Proposición\(\PageIndex{1}\): Absorption

    Para todos los conjuntos\(A\),\(B\),\[A \cap (A \cup B) = A\nonumber\]

    Prueba. Si\(z \in A \cap (A \cup B)\), entonces\(z \in A\), así\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). Ahora supongamos\(z \in A\). Entonces también\(z \in A \cup B\), y por lo tanto también\(z \in A \cap (A \cup B)\). ◻

    La prueba precedente de la ley de absorción está muy condensada. No se menciona ninguna definición utilizada, ni “tenemos que probarlo” antes de probarlo, etc. Vamos a desempacarlo. La proposición probada es una afirmación general sobre cualquier conjunto\(A\) y\(B\), y cuando la prueba menciona\(A\) o\(B\), estas son variables para conjuntos arbitrarios. El general afirma que la prueba establece es lo que se requiere para acreditar la identidad de conjuntos, es decir, que cada elemento del lado izquierdo de la identidad es un elemento de la derecha y viceversa.

    “Si\(z \in A \cap (A \cup B)\), entonces\(z \in A\), así\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\).

    Esta es la primera mitad de la prueba de la identidad: establece que si una arbitraria\(z\) es un elemento del lado izquierdo, también es un elemento de la derecha, es decir,\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). Asumir eso\(z \in A \cap (A \cup B)\). Dado que\(z\) es un elemento de la intersección de dos conjuntos si es un elemento de ambos conjuntos, podemos concluir que\(z \in A\) y también\(z \in A \cup B\). En particular,\(z \in A\), que es lo que queríamos mostrar. Ya que eso es todo lo que se tiene que hacer para la primera mitad, sabemos que el resto de la prueba debe ser una prueba de la segunda mitad, es decir, una prueba de que\(A \subseteq A \cap (A \cup B)\).

    “Ahora supongamos\(z \in A\). Entonces también\(z \in A \cup B\), y por lo tanto también\(z \in A \cap (A \cup B)\).

    Empezamos asumiendo eso\(z \in A\), ya que estamos demostrando eso, para cualquiera\(z\), si\(z \in A\) entonces\(z \in A \cap (A \cup B)\). Para demostrar eso\(z \in A \cap (A \cup B)\), tenemos que mostrar (por definición de “\(\cap\)”) eso (i)\(z \in A\) y también (ii)\(z \in A \cup B\). Aquí (i) es solo nuestra suposición, así que no hay nada más que probar, y por eso la prueba no vuelve a mencionarlo. Para (ii), recordemos que\(z\) es un elemento de una unión de conjuntos si es un elemento de al menos uno de esos conjuntos. Ya que\(z \in A\), y\(A \cup B\) es la unión de\(A\) y\(B\), este es el caso aquí. Entonces\(z \in A \cup B\). Hemos mostrado tanto (i)\(z \in A\) como (ii)\(z \in A \cup B\), de ahí, por definición de “\(\cap\),”\(z \in A \cap (A \cup B)\). En la prueba no se mencionan esas definiciones; se supone que el lector ya las ha interiorizado. Si no lo has hecho, tendrás que regresar y recordarte cuáles son. Entonces también tendrás que reconocer por qué se desprende de\(z \in A\) eso\(z \in A \cup B\), y de\(z \in A\) y de\(z \in A \cup B\) eso\(z \in A \cap (A \cup B)\).

    Aquí hay otra versión de la prueba anterior, con todo explícito:

    Prueba.

    [Por definición de\(=\) para conjuntos,\(A \cap (A \cup B) = A\) tenemos que mostrar (a)\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\) y (b)\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). (a): Por definición de\(\subseteq\), tenemos que demostrar que si\(z \in A \cap (A \cup B)\), entonces\(z \in A\).] Si\(z \in A \cap (A \cup B)\), entonces\(z \in A\) [ya que por definición de\(\cap\),\(z \in A \cap (A \cup B)\) iff\(z \in A\) y\(z \in A \cup B\)], entonces\(A \cap (A \cup B) \subseteq A\). [b): Por definición de\(\subseteq\), tenemos que demostrar que si\(z \in A\), entonces\(z \in A \cap (A \cup B)\).] Ahora supongamos [(1)]\(z \in A\). Entonces también [(2)]\(z \in A \cup B\) [ya que por (1)\(z \in A\) o\(z \in B\), que por definición de\(\cup\) medios\(z \in A \cup B\)], y por lo tanto también\(z \in A \cap (A \cup B)\) [ya que la definición de\(\cap\) requiere que \(z \in A\), es decir, (1), y\(z \in A \cup B)\), es decir, (2)] . ◻

    Problema\(\PageIndex{1}\)

    Amplíe la siguiente prueba de\(A \cup (A \cap B) = A\), donde mencione todos los patrones de inferencia utilizados, por qué cada paso se deriva de supuestos o reclamos establecidos antes de él, y dónde tenemos que apelar a qué definiciones.

    Prueba. Si\(z \in A \cup (A \cap B)\) entonces\(z \in A\) o\(z \in A \cap B\). Si\(z \in A \cap B\),\(z \in A\). Cualquiera también\(z \in A\) lo es\(\in A \cup (A \cap B)\). ◻


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