B.2: Inducción en

Última actualización

30 oct 2022
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- B.1: Introducción
- B.3: Inducción Fuerte

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En su forma más simple, la inducción es una técnica utilizada para demostrar resultados para todos los números naturales. Utiliza el hecho de que al comenzar $0$ y sumar repetidamente eventualmente $1$ alcanzamos cada número natural. Entonces, para probar que algo es cierto para cada número, podemos (1) establecer que es cierto para $0$ y (2) mostrar que siempre que sea cierto para un número $n$ , también lo es para el siguiente número $n+1$ . Si abreviamos “número $n$ tiene propiedad $P$ ” por $P(n)$ (y “número $k$ tiene propiedad $P$ ” por $P(k)$ , etc.), entonces una prueba por inducción que $P(n)$ para todos $n \in \Nat$ consta de:

una prueba de $P(0)$ , y
una prueba de que, para cualquiera $k$ , si $P(k)$ entonces $P(k+1)$ .

Para que esto quede claro como el cristal, supongamos que tenemos tanto (1) como (2). Entonces (1) nos dice que eso $P(0)$ es cierto. Si también tenemos (2), sabemos en particular que si $P(0)$ entonces $P(0+1)$ , es decir, $P(1)$ . Esto se desprende de la declaración general “para cualquiera $k$ , si es que $P(k)$ entonces $P(k+1)$ ” poniendo $0$ para $k$ . Entonces por modus ponens, tenemos eso $P(1)$ . De (2) otra vez, tomando ahora $1$ para $n$ , tenemos: si $P(1)$ entonces $P(2)$ . Desde que acabamos de establecer $P(1)$ , por modus ponens, tenemos $P(2)$ . Y así sucesivamente. Para cualquier número $n$ , después de hacer estos $n$ tiempos, finalmente llegamos a $P(n)$ . Entonces (1) y (2) juntos establecen $P(n)$ para cualquier $n \in \Nat$ .

Veamos un ejemplo. Supongamos que queremos saber cuántas sumas diferentes podemos lanzar con $n$ dados. A pesar de que pueda parecer una tontería, comencemos con $0$ los dados. Si no tienes dados solo hay una suma posible que puedes “lanzar”: no hay puntos en absoluto, que suma a $0$ . Entonces el número de diferentes lanzamientos posibles es $1$ . Si solo tienes un dado, es decir, $n=1$ , hay seis valores posibles, $1$ a través de $6$ . Con dos dados, podemos lanzar cualquier suma de $2$ a través $12$ , eso es $11$ posibilidades. Con tres dados, podemos lanzar cualquier número desde $3$ hasta $18$ , es decir, $16$ diferentes posibilidades. $1$ , $6$ , $11$ , $16$ : parece un patrón: ¿tal vez la respuesta es $5n+1$ ? Por supuesto, $5n+1$ es el máximo posible, porque solo hay $5n+1$ números entre $n$ , el valor más bajo que puedes lanzar con $n$ dados (todos $1$ ) y $6n$ , el más alto puedes lanzar ( $6$ todos's).

Teorema $\PageIndex{1}$

Con $n$ los dados se pueden lanzar todos los valores $5n+1$ posibles entre $n$ y $6n$ .

Comprobante. $P(n)$ Sea el reclamo: “Es posible lanzar cualquier número entre $n$ y $6n$ usando $n$ dados”. Para utilizar la inducción, demostramos:

La base de inducción $P(1)$ , es decir, con un solo dado, puedes lanzar cualquier número entre $1$ y $6$ .
El paso de inducción, para todos $k$ , si $P(k)$ entonces $P(k+1)$ .

(1) Se prueba inspeccionando una matriz $6$ de lados. Tiene los 6 lados, y cada número entre $1$ y $6$ aparece en uno de los lados. Por lo que es posible lanzar cualquier número entre $1$ y $6$ usando un solo dado.

Para probar (2), asumimos el antecedente del condicional, es decir, $P(k)$ . Esta suposición se denomina hipótesis inductiva. Lo usamos para probar $P(k+1)$ . Lo difícil es encontrar una manera de pensar sobre los posibles valores de un lanzamiento de $k+1$ dados en términos de los posibles valores de lanzamientos de $k$ dados más de tiros de tiros del extra $k+1$ -st die—esto es lo que tenemos que hacer, sin embargo, si queremos usar el inductivo hipótesis.

La hipótesis inductiva dice que podemos obtener cualquier número entre $k$ y $6k$ usando $k$ dados. Si lanzamos un $1$ con nuestro $(k+1)$ -st morir, esto se suma $1$ al total. Entonces podemos lanzar cualquier valor entre $k+1$ y $6k+1$ lanzando $5$ dados y luego rodando un $1$ con el $(k+1)$ -st dado. ¿Qué queda? Los valores $6k+2$ a través de $6k+6$ . Podemos obtener estos rodando $k$ $6$ s y luego un número entre $2$ y $6$ con nuestro $(k+1)$ -st morir. Juntos, esto significa que con los $k+1$ dados podemos lanzar cualquiera de los números entre $k+1$ y $6(k+1)$ , es decir, hemos probado $P(k+1)$ usando la suposición $P(k)$ , la hipótesis inductiva. ◻

Muy a menudo usamos la inducción cuando queremos probar algo sobre una serie de objetos (números, conjuntos, etc.) que a su vez se define “inductivamente”, es decir, definiendo el $(n+1)$ -st objeto en términos del $n$ -th. Por ejemplo, podemos definir la suma $s_n$ de los números naturales hasta $n$ por

$\begin{aligned} s_0 & = 0\\ s_{n+1} & = s_n + (n+1)\end{aligned}$ Esta definición da:

$\begin{aligned} s_0 & = 0,\\ s_1 & = s_0 + 1 && = 1,\\ s_2 & = s_1 + 2 && = 1 + 2 = 3\\ s_3 & = s_2 + 3 && = 1 + 2 + 3 = 6, \text{ etc.}\end{aligned}$ Ahora podemos probar, por inducción, eso

$s_n = n(n+1)/2$ .

Proposición $\PageIndex{1}$

$s_n = n(n+1)/2$ .

Comprobante. Tenemos que probar (1) eso $s_0 = 0\cdot(0 + 1)/2$ y (2) si $s_k = k(k+1)/2$ entonces $s_{k+1} = (k+1)(k+2)/2$ . (1) es obvio. Para probar (2), asumimos la hipótesis inductiva: $s_k = k(k+1)/2$ . Usándolo, tenemos que demostrarlo $s_{k+1} = (k+1)(k+2)/2$ .

¿Qué es $s_{k+1}$ ? Por la definición, $s_{k+1} = s_k + (k+1)$ . Por hipótesis inductiva, $s_k = k(k+1)/2$ . Podemos sustituir esto en la ecuación anterior, y luego solo necesitamos un poco de aritmética de fracciones:

$\begin{aligned} s_{k+1} & = \frac{k(k+1)}{2} + (k+1) = {}\\ & = \frac{k(k+1)}{2} + \frac{2(k+1)}{2} = {}\\ & = \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} = {}\\ & = \frac{(k+2)(k+1)}{2}. \end{aligned}$ ◻

La lección importante aquí es que si estás demostrando algo sobre alguna secuencia definida inductivamente $a_n$ , la inducción es el camino obvio a seguir. E incluso si no lo es (como en el caso de las posibilidades de tiradas de dados), puedes usar inducción si de alguna manera puedes relacionar el caso $k+1$ para con el caso para $k$ .

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