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# Sección 2: Tablas completas de verdad

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$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

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$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Aquí están las tablas de verdad para los conectivos de SL, escritas en términos de 1s y 0s.

 $$\mathcal{A}$$ ¬$$\mathcal{A}$$ 1 0 0 1

 $$\mathcal{A}$$ $$\mathcal{B}$$ $$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$ $$\mathcal{A}$$heros$$\mathcal{B}$$ $$\mathcal{A}$$→$$\mathcal{B}$$ $$\mathcal{A}$$↔$$\mathcal{B}$$ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1

Cuadro 3.1: Las tablas de verdad características para las conectivas de SL.

La tabla de verdad característica para la conjunción, por ejemplo, da las condiciones de verdad para cualquier oración de la forma ($$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$). Aunque las conjunciones$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ sean oraciones largas, complicadas, la conjunción es verdadera si y sólo si ambas$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son verdaderas. Considera la oración ($$H$$&$$I$$) →$$H$$. Consideramos todas las combinaciones posibles de verdadero y falso para$$H$$ y$$I$$, lo que nos da cuatro filas. Luego copiamos los valores de verdad para las letras de la oración y los escribimos debajo de las letras de la oración.

 $$H$$ $$I$$ ($$H$$&$$I$$) →$$H$$ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0

Ahora considere la suboración$$H$$ &$$I$$. Esta es una conjunción$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ con$$H$$ como$$\mathcal{A}$$ y con$$I$$ como$$\mathcal{B}$$. $$H$$y ambos$$I$$ son ciertos en la primera fila. Como una conjunción es verdadera cuando ambas conjunciones son verdaderas, escribimos un 1 debajo del símbolo de conjunción. Seguimos por las otras tres filas y obtenemos esto:

 $$H$$ $$I$$ ($$H$$&$$I$$) →$$H$$ 1 1 0 0 1 0 1 0 $$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$ 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0

Toda la oración es un condicional$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$ con ($$H$$&$$I$$) as$$\mathcal{A}$$ y con$$H$$ as$$B$$. En la segunda fila, por ejemplo, ($$H$$&$$I$$) es falso y$$H$$ es verdadero. Como un condicional es verdadero cuando el antecedente es falso, escribimos un 1 en la segunda fila debajo del símbolo condicional. Seguimos por las otras tres filas y obtenemos esto:

 $$H$$ $$I$$ ($$H$$&$$I$$) →$$H$$ 1 1 0 0 1 0 1 0 $$\mathcal{A}$$→$$\mathcal{B}$$ 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0

La columna de 1s debajo del condicional nos dice que la oración ($$H$$&$$I$$) →$$I$$ es verdadera independientemente de los valores de verdad de$$H$$ y$$I$$. Pueden ser verdaderas o falsas en cualquier combinación, y la oración compuesta sigue saliendo verdadera. Es crucial que hayamos considerado todas las combinaciones posibles. Si solo tuviéramos una tabla de verdad de dos líneas, no podríamos estar seguros de que la oración no fuera falsa para alguna otra combinación de valores de verdad.

En este ejemplo, no hemos repetido todas las entradas en cada tabla sucesiva. Al escribir realmente tablas de verdad en papel, sin embargo, no es práctico borrar columnas enteras o reescribir toda la tabla para cada paso. A pesar de que está más abarrotada, la tabla de la verdad se puede escribir de esta manera:

 $$H$$ $$I$$ ($$H$$&$$I$$) →$$H$$ 1 1 0 0 1 0 1 0 $$\mathcal{A}$$→$$\mathcal{B}$$ 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0

La mayoría de las columnas debajo de la oración solo están ahí para fines de contabilidad. Cuando te vuelvas más adepto con las tablas de verdad, probablemente ya no necesitarás copiar sobre las columnas de cada una de las letras de la oración. En cualquier caso, el verdad-valor de la oración en cada fila es solo la columna debajo del operador lógico principal de la oración; en este caso, la columna debajo del condicional.

Una tabla de verdad completa tiene una fila para todas las combinaciones posibles de 1 y 0 para todas las letras de la oración. El tamaño de la tabla de verdad completa depende del número de letras de oración diferentes en la tabla. Una frase que contiene sólo una letra de oración requiere sólo dos filas, como en la tabla de verdad característica para la negación. Esto es cierto incluso si la misma letra se repite muchas veces, como en la oración [($$C$$$$C$$) →$$C$$] &¬ ($$C$$$$C$$). La tabla completa de la verdad requiere sólo de dos líneas porque sólo hay dos posibilidades:$$C$$ puede ser verdadera o puede ser falsa. Una sola letra de oración nunca se puede marcar tanto 1 como 0 en la misma fila. La tabla de la verdad para esta frase se ve así:

 $$C$$ [($$C$$↔$$C$$) →$$C$$] & ¬ ($$C$$→$$C$$) 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0

Al mirar la columna debajo del conectivo principal, vemos que la oración es falsa en ambas filas de la tabla; es decir, es falsa independientemente de si$$C$$ es verdadera o falsa.

Una oración que contiene dos letras de oración requiere cuatro líneas para una tabla de verdad completa, como en las tablas de verdad características y la tabla para ($$H$$&$$I$$) →$$I$$.

Una oración que contiene tres letras de oración requiere ocho líneas. Por ejemplo:

 $$M$$ $$N$$ $$P$$ $$M$$& ($$N$$ricardo$$P$$) 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0

A partir de esta tabla, sabemos que la oración$$M$$ &$$N$$ ($$P$$ʼ) puede ser verdadera o falsa, dependiendo de los valores de verdad de$$M$$,$$N$$, y$$P$$.

Una tabla de verdad completa para una oración que contiene cuatro letras de oración diferentes requiere 16 líneas. Cinco letras, 32 líneas. Seis letras, 64 líneas. Y así sucesivamente. Para ser perfectamente general: Si una tabla de verdad completa tiene letras de oración$$\mathcal{n}$$ diferentes, entonces debe tener 2 n filas.

Para completar en las columnas de una tabla de verdad completa, comience con la letra de oración más a la derecha y alterne 1s y 0s. En la siguiente columna a la izquierda, escribe dos 1s, escribe dos 0s y repite. Para la letra de la tercera oración, escribe cuatro 1s seguidos de cuatro 0s. Esto arroja una tabla de verdad de ocho líneas como la anterior. Para una tabla de verdad de 16 líneas, la siguiente columna de letras de oración debe tener ocho 1s seguidos de ocho 0s. Para una tabla de 32 líneas, la siguiente columna tendría 16 1s seguida de 16 0s. Y así sucesivamente.

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