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# Sección 4: Trabajar con modelos

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Utilizaremos el símbolo de torniquete doble para QL tanto como lo hicimos para SL. '$$\mathcal{A}$$|=$$\mathcal{B}$$' significa que '$$\mathcal{A}$$implica$$\mathcal{B}$$': Cuando$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son dos frases de QL,$$\mathcal{A}$$ |=$$\mathcal{B}$$ significa que no hay ningún modelo en el que$$\mathcal{A}$$ sea verdadero y$$\mathcal{B}$$ sea falso. |=$$\mathcal{A}$$ significa que$$\mathcal{A}$$ es cierto en cada modelo.

Esto nos permite dar definiciones para diversos conceptos en QL. Debido a que estamos usando el mismo símbolo, estas deﬁniciones se verán similares a las definiciones en SL. Recuerde, sin embargo, que las deﬁniciones en QL son en términos de modelos más que en términos de asignaciones de valor de verdad.

Una tautología en ql es una oración$$\mathcal{A}$$ que es verdadera en cada modelo;
es decir, |=$$\mathcal{A}$$.
Una contradicción en ql es una oración$$\mathcal{A}$$ que es falsa en cada modelo;
es decir, |= ¬$$\mathcal{A}$$.

Una sentencia es contingente en ql si y sólo si no es ni una tautología ni una contradicción.

Un argumento “$$\mathcal{P}$$1,$$\mathcal{P}$$ 2, ···,.. $$\mathcal{C}$$” es válido en ql si y sólo si no existe un modelo en el que todas las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa; es decir, {$$\mathcal{P}$$1,$$\mathcal{P}$$ 2, ···} |=$$\mathcal{C}$$. No es válido en ql de lo contrario.

Dos oraciones$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ son lógicamente equivalentes en ql si y solo si tanto$$\mathcal{A}$$ |=$$\mathcal{B}$$ como$$\mathcal{B}$$ |=$$\mathcal{A}$$.

El conjunto {$$\mathcal{A}$$1,$$\mathcal{A}$$ 2,$$\mathcal{A}$$ 3, ···} es consistente en ql si y solo si hay al menos un modelo en el que todas las oraciones son verdaderas. El conjunto es inconsistente en ql si y si solo no existe tal modelo.

## Construyendo modelos

Supongamos que queremos demostrar que [alpha$$xAxx$$] → no$$Bd$$ es una tautología. Esto requiere demostrar que la oración no es cierta en todos los modelos; es decir, que es falsa en algún modelo. Si podemos proporcionar un solo modelo en el que la oración sea falsa, entonces habremos demostrado que la oración no es una tautología.

¿Cómo sería un modelo así? Para$$Bd$$ que [alpha$$xAxx$$] → sea falso, el antecedente (f$$xAxx$$) debe ser verdadero, y el consecuente ($$Bd$$) debe ser falso.

Para construir tal modelo, comenzamos con un UD. Será más fácil especificar extensiones para predicados si tenemos un UD pequeño, así que comienza con un UD que tenga solo un miembro. Formalmente, este solo miembro podría ser cualquier cosa. Digamos que es la ciudad de París.

Queremos que la$$xAxx$$ [eta] sea verdad, así que queremos que todos los miembros de la UD se emparejen consigo mismos en la extensión de$$A$$; esto quiere decir que la extensión de$$A$$ debe ser {<Paris, Paris>}.

Queremos$$Bd$$ ser falsos, por lo que el referente de no$$d$$ debe estar en la extensión de$$B$$.

Damos$$B$$ una extensión vacía.

Dado que París es el único miembro de la UD, debe ser el referente de$$d$$. El modelo que hemos construido se ve así:

UD = {París}
extensión ($$A$$) = {<Paris, Paris>}
extensión ($$B$$) = ∅
referente ($$d$$) = París

Estrictamente hablando, un modelo especifica una extensión para cada predicado de QL y un referente para cada constante. Como tal, generalmente es imposible anotar un modelo completo. Eso requeriría anotar inﬁnamente muchas extensiones e inﬁnitamente muchos referentes. Sin embargo, no necesitamos considerar cada predicado para mostrar que hay modelos en los que [alpha]$$xAxx$$$$Bd$$ es falso. Predicados como$$H$$ y constantes como$$f$$ 13 no hacen ninguna diferencia a la verdad o falsedad de esta frase. Basta con especificar extensiones para$$A$$ y$$B$$ y un referente para$$d$$, como hemos hecho nosotros. Esto proporciona un modelo parcial en el que la oración es falsa.

Quizás te estés preguntando: ¿Qué$$A$$ significa el predicado en inglés? El modelo parcial podría corresponder a una interpretación como esta:

UD: París
$$Axy$$:$$x$$ está en el mismo país que$$y$$.
$$Bx$$:$$x$$ fue fundada en el siglo XX.
$$d$$: la Ciudad de las Luces

Sin embargo, todo lo que nos dice el modelo parcial es que$$A$$ es un predicado que es cierto de París y París. Hay indeﬁnitamente muchos predicados en inglés que tienen esta extensión. $$Axy$$might instead translate '$$x$$es del mismo tamaño que$$y$$' o '$$x$$y$$y$$ son ambas ciudades.' Del mismo modo,$$Bx$$ es algún predicado que no se aplica a París; en su lugar podría traducir '$$x$$está en una isla' o'$$x$$ es un automóvil subcompacto. ' Cuando especificamos las extensiones de$$A$$ y$$B$$, no especificamos qué predicados en inglés$$A$$ y se$$B$$ debe usar para traducir. Nos preocupa si el \$$$xAxx$$$$Bd$$ sale verdadero o falso, y todo lo que importa para la verdad y falsedad en QL es la información en el modelo: la UD, las extensiones de predicados, y los referentes de las constantes.

Podemos demostrar con la misma facilidad que [alpha$$xAxx$$] → no$$Bd$$ es una contradicción. Solo necesitamos especificar un modelo en el que [alpha]$$xAxx$$ → sea verdadero;$$Bd$$ es decir, un modelo en el que ya sea [alpha$$xAxx$$] es falso o$$Bd$$ es verdadero. Aquí hay uno de esos modelos parciales:

UD = {París}
extensión ($$A$$) = {<Paris, Paris>}
extensión ($$B$$) = {París}
referente ($$d$$) = París

Ahora hemos demostrado que [alpha]$$xAxx$$ → no$$Bd$$ es ni una tautología ni una contradicción. Por la definición de 'contingente en QL', esto significa que [alpha]$$xAxx$$$$Bd$$ es contingente. En general, demostrar que una oración es contingente requerirá de dos modelos: uno en el que la oración sea verdadera y otro en el que la oración sea falsa.

Supongamos que queremos demostrar que [$$xSx$$alpha] y no$$xSx$$ son lógicamente equivalentes. Necesitamos construir un modelo en el que las dos frases tengan valores de verdad diferentes; queremos que una de ellas sea verdadera y la otra falsa. Empezamos especificando un UD. Nuevamente, hacemos que el UD sea pequeño para que podamos especificar extensiones fácilmente. Vamos a necesitar al menos dos integrantes. Que la UD sea {Duke, Miles}. (Si elegimos un UD con un solo miembro, las dos frases terminarían con el mismo valor de verdad. Para ver por qué, intente construir algunos modelos parciales con UDs de un miembro.)

Podemos hacer que sea$$xSx$$ cierto al incluir algo en la extensión de$$S$$, y podemos hacer que sea$$xSx$$ falso al dejar algo fuera de la extensión de$$S$$. No importa cuál incluyamos y cuál dejamos fuera. Haciendo de Duke el único$$S$$, obtenemos un modelo parcial que se ve así:

UD = {Duque, Miles}
extensión ($$S$$) = {Duque}

Este modelo parcial muestra que las dos oraciones no son lógicamente equivalentes.

De vuelta en la p. 63, dijimos que este argumento sería inválido en QL:

($$Rc$$&$$K$$ 1 c) y$$Tc$$
.. $$Tc$$&$$K$$ 2$$c$$

Para demostrar que es inválida, necesitamos demostrar que existe algún modelo en el que las premisas sean verdaderas y la conclusión sea falsa. Podemos construir tal modelo deliberadamente. Aquí hay una manera de hacerlo:

UD = {Björk}
extensión ($$T$$) = {Björk}
extensión ($$K$$1) = {Björk}
extensión ($$K$$2) = ∅
extensión ($$R$$) = {Björk}
referente ($$c$$) = Björk

De igual manera, podemos demostrar que un conjunto de oraciones es consistente construyendo un modelo en el que todas las oraciones sean verdaderas.

## Razonamiento sobre todos los modelos

Podemos demostrar que una oración no es una tautología simplemente proporcionando un modelo cuidadosamente especificado: un modelo en el que la oración es falsa. Para demostrar que algo es una tautología, por otro lado, no bastaría con construir diez, cien, o incluso mil modelos en los que la oración sea cierta. Es sólo una tautología si es verdad en cada modelo, y hay inﬁnamente muchos modelos. Esto no se puede evitar con solo construir modelos parciales, porque hay inﬁnamente muchos modelos parciales.

Consideremos, por ejemplo, la oración$$Raa$$$$Raa$$. Hay dos modelos parciales lógicamente distintos de esta oración que tienen un UD de 1 miembro. Hay 32 modelos parciales distintos que tienen un UD de 2 miembros. Hay 1526 modelos parciales distintos que tienen un UD de 3 miembros. Hay 262,144 modelos parciales distintos que tienen un UD de 4 miembros. Y así sucesivamente a la inﬁnidad. Para demostrar que esta frase es una tautología, necesitamos mostrar algo sobre todos estos modelos. No hay esperanza de hacerlo tratando con ellos uno a la vez.

Sin embargo,$$Raa$$$$Raa$$ es obviamente una tautología. Podemos probarlo con un simple argumento:

Hay dos tipos de modelos: aquellos en los que {referent ($$a$$), referent ($$a$$) i está en la extensión de$$R$$ y aquellos en los que no lo está. En el primer tipo de modelo,$$Raa$$ es cierto; por la tabla de la verdad para lo bicondicional,$$Raa$$ ↔ también$$Raa$$ es cierto. En el segundo tipo de modelo,$$Raa$$ es falso; esto hace que$$Raa$$ ↔ sea$$Raa$$ cierto. Dado que la oración es verdadera en ambos tipos de modelo, y como cada modelo es uno de los dos tipos,$$Raa$$$$Raa$$ es cierto en cada modelo. Por lo tanto, es una tautología.

Este argumento es válido, por supuesto, y su conclusión es cierta. Sin embargo, no es un argumento en QL. Más bien, es un argumento en inglés sobre QL; es un argumento en el metalenguaje. No existe un procedimiento formal para evaluar o construir argumentos del lenguaje natural como éste. La imprecisión del lenguaje natural es la razón misma por la que empezamos a pensar en las lenguas formales.

Hay más diferencias con este enfoque.

Considera la frase$$x$$ [$$Rxx$$$$Rxx$$], otra tautología obvia. Puede ser tentador razonar de esta manera: '$$Rxx$$$$Rxx$$ es cierto en cada modelo, así que [alpha$$x$$] ($$Rxx$$$$Rxx$$) debe ser verdad.' El problema es que$$Rxx$$ → no$$Rxx$$ es cierto en todos los modelos. No es una oración, y así no es ni verdadera ni falsa. Todavía no tenemos el vocabulario para decir lo que queremos decir sobre$$Rxx$$$$Rxx$$. En la siguiente sección, introducimos el concepto de satisfacción; después de hacerlo, estaremos en mejores condiciones de dar un argumento de que [f]$$x$$ ($$Rxx$$$$Rxx$$) es una tautología.

Es necesario razonar sobre una inﬁnidad de modelos para demostrar que una oración es una tautología. De igual manera, es necesario razonar sobre una inﬁnidad de modelos para demostrar que una oración es una contradición, que dos oraciones son equivalentes, que un conjunto de oraciones es inconsistente, o que un argumento es válido. Hay otras cosas que podemos mostrar construyendo cuidadosamente uno o dos modelos. El cuadro 5.1 resume qué cosas son cuáles.

Cuadro 5.1: Es relativamente fácil responder a una pregunta si puedes hacerlo construyendo uno o dos modelos. Es mucho más difícil si necesitas razonar sobre todos los modelos posibles. Esta tabla muestra cuándo construir modelos es suficiente.

 SI NO ¿Es$$\mathcal{A}$$ una tautología? mostrar que$$\mathcal{A}$$ debe ser cierto en cualquier modelo construir un modelo en el que$$\mathcal{A}$$ sea falso ¿Es$$\mathcal{A}$$ una contradicción? mostrar que$$\mathcal{A}$$ debe ser falso en cualquier modelo construir un modelo en el que$$\mathcal{A}$$ sea verdadero ¿Es$$\mathcal{A}$$ contingente? construir dos modelos, uno en el que$$\mathcal{A}$$ es verdadero y otro en el que$$\mathcal{A}$$ es falso ya sea mostrar que$$\mathcal{A}$$ es una tautología o mostrar que$$\mathcal{A}$$ es una contradicción ¿Son$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ equivalentes? mostrar eso$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ debe tener el mismo valor de verdad en cualquier modelo construir un modelo en el que$$\mathcal{A}$$ y$$\mathcal{B}$$ tener diferentes valores de verdad ¿El conjunto es$$\mathbb{A}$$ consistente? construir un modelo en el que todas las oraciones en$$\mathbb{A}$$ son verdaderas muestran que las oraciones no podían ser todas ciertas en ningún modelo Es el argumento `$$\mathcal{P}$$,.. $$\mathcal{C}$$'¿válido? mostrar que cualquier modelo en el que$$\mathcal{P}$$ sea verdadero debe ser un modelo en el que$$\mathcal{C}$$ sea verdadero construir un modelo en el que$$\mathcal{P}$$ es verdadero y$$\mathcal{C}$$ es falso

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