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# Sección 03: Reglas de reemplazo

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$

$$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$

$$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$

$$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$

$$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$

$$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$

$$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$

$$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$

$$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

$$\newcommand{\vectorA}[1]{\vec{#1}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorAt}[1]{\vec{\text{#1}}} % arrow$$

$$\newcommand{\vectorB}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vectorC}[1]{\textbf{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorD}[1]{\overrightarrow{#1}}$$

$$\newcommand{\vectorDt}[1]{\overrightarrow{\text{#1}}}$$

$$\newcommand{\vectE}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash{\mathbf {#1}}}}$$

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$

$$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$

$$\newcommand{\avec}{\mathbf a}$$ $$\newcommand{\bvec}{\mathbf b}$$ $$\newcommand{\cvec}{\mathbf c}$$ $$\newcommand{\dvec}{\mathbf d}$$ $$\newcommand{\dtil}{\widetilde{\mathbf d}}$$ $$\newcommand{\evec}{\mathbf e}$$ $$\newcommand{\fvec}{\mathbf f}$$ $$\newcommand{\nvec}{\mathbf n}$$ $$\newcommand{\pvec}{\mathbf p}$$ $$\newcommand{\qvec}{\mathbf q}$$ $$\newcommand{\svec}{\mathbf s}$$ $$\newcommand{\tvec}{\mathbf t}$$ $$\newcommand{\uvec}{\mathbf u}$$ $$\newcommand{\vvec}{\mathbf v}$$ $$\newcommand{\wvec}{\mathbf w}$$ $$\newcommand{\xvec}{\mathbf x}$$ $$\newcommand{\yvec}{\mathbf y}$$ $$\newcommand{\zvec}{\mathbf z}$$ $$\newcommand{\rvec}{\mathbf r}$$ $$\newcommand{\mvec}{\mathbf m}$$ $$\newcommand{\zerovec}{\mathbf 0}$$ $$\newcommand{\onevec}{\mathbf 1}$$ $$\newcommand{\real}{\mathbb R}$$ $$\newcommand{\twovec}[2]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\ctwovec}[2]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\threevec}[3]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cthreevec}[3]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fourvec}[4]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfourvec}[4]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\fivevec}[5]{\left[\begin{array}{r}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\cfivevec}[5]{\left[\begin{array}{c}#1 \\ #2 \\ #3 \\ #4 \\ #5 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\mattwo}[4]{\left[\begin{array}{rr}#1 \amp #2 \\ #3 \amp #4 \\ \end{array}\right]}$$ $$\newcommand{\laspan}[1]{\text{Span}\{#1\}}$$ $$\newcommand{\bcal}{\cal B}$$ $$\newcommand{\ccal}{\cal C}$$ $$\newcommand{\scal}{\cal S}$$ $$\newcommand{\wcal}{\cal W}$$ $$\newcommand{\ecal}{\cal E}$$ $$\newcommand{\coords}[2]{\left\{#1\right\}_{#2}}$$ $$\newcommand{\gray}[1]{\color{gray}{#1}}$$ $$\newcommand{\lgray}[1]{\color{lightgray}{#1}}$$ $$\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}$$ $$\newcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\col}{\text{Col}}$$ $$\renewcommand{\row}{\text{Row}}$$ $$\newcommand{\nul}{\text{Nul}}$$ $$\newcommand{\var}{\text{Var}}$$ $$\newcommand{\corr}{\text{corr}}$$ $$\newcommand{\len}[1]{\left|#1\right|}$$ $$\newcommand{\bbar}{\overline{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bhat}{\widehat{\bvec}}$$ $$\newcommand{\bperp}{\bvec^\perp}$$ $$\newcommand{\xhat}{\widehat{\xvec}}$$ $$\newcommand{\vhat}{\widehat{\vvec}}$$ $$\newcommand{\uhat}{\widehat{\uvec}}$$ $$\newcommand{\what}{\widehat{\wvec}}$$ $$\newcommand{\Sighat}{\widehat{\Sigma}}$$ $$\newcommand{\lt}{<}$$ $$\newcommand{\gt}{>}$$ $$\newcommand{\amp}{&}$$ $$\definecolor{fillinmathshade}{gray}{0.9}$$

Considera cómo probarías este argumento:$$F$$ → ($$G$$&$$H$$),.. $$F$$$$G$$

Quizás sea tentador anotar la premisa y aplicar la regla &E a la conjunción ($$G$$&$$H$$). Esto es inpermisible, sin embargo, porque las reglas básicas de la prueba sólo pueden aplicarse a sentencias enteras. Necesitamos obtener ($$G$$&$$H$$) en una línea por sí mismo. Podemos probar el argumento de esta manera:

Ahora vamos a introducir algunas reglas derivadas que pueden aplicarse a parte de una oración. Estas se denominan reglas de reemplazo, porque pueden ser utilizadas para sustituir parte de una oración por una expresión lógicamente equivalente. Una regla simple de reemplazo es la conmutividad (abreviada Comm), que dice que podemos intercambiar el orden de las conjunciones en una conjunción o el orden de desjuntos en una disyunción. Definamos la regla de esta manera:

($$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$) ⇒ ($$\mathcal{B}$$&$$\mathcal{A}$$)

($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ⇒ ($$\mathcal{B}$$$$\mathcal{A}$$)

($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ⇒ ($$\mathcal{B}$$$$\mathcal{A}$$) Comm

La flecha en negrita significa que puedes tomar una subfórmula en un lado de la flecha y reemplazarla con la subfórmula del otro lado. La flecha es de doble punta porque las reglas de reemplazo funcionan en ambas direcciones.

Considera este argumento: ($$M$$$$P$$) → ($$P$$&$$M$$),.. $$P$$$$M$$ ($$M$$&$$P$$)

Es posible dar una prueba de ello utilizando únicamente las reglas básicas, pero será largo e inconveniente. Con la regla Comm, podemos proporcionar una prueba fácilmente:

Otra regla de reemplazo es la doble negación (DN). Con la regla DN, puedes eliminar o insertar un par de negaciones en cualquier parte de una oración. Esta es la regla:

$$\mathcal{A}$$¬¬ ⇒$$\mathcal{A}$$ DN

Dos reglas de reemplazo más se llaman De Morgan's Laws, nombradas así por el lógico británico del siglo XIX August De Morgan. (Aunque De Morgan sí descubrió estas leyes, no fue el primero en hacerlo). Las reglas capturan relaciones útiles entre negación, conjunción y disyunción. Aquí están las reglas, que abreviamos deM:

¬ ($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ⇒ (¬$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$)

¬ ($$\mathcal{A}$$&$$\mathcal{B}$$) ⇒ (¬$$\mathcal{A}$$ ¬$$\mathcal{B}$$) DeM

Porque$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$ es un condicional material, equivale a ¬$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$. Otra regla de reemplazo captura esta equivalencia. Abreviamos la regla MC, para 'material condicional'. Toma dos formas:

($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ⇒ (¬$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$)

($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ⇒ (¬$$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) MC

Consideremos ahora este argumento: ¬ ($$P$$$$Q$$),.. $$P$$$$Q$$

Como siempre, podríamos probar este argumento utilizando únicamente las reglas básicas. Sin embargo, con reglas de reemplazo, la prueba es mucho más simple:

Una regla de reemplazo final captura la relación entre condicionales y bicondicionales. Llamaremos a esta regla intercambio bicondicional y la abreviaremos ↔ ex.

[($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) & ($$\mathcal{B}$$$$\mathcal{A}$$)] ⇒ ($$\mathcal{A}$$$$\mathcal{B}$$) ↔ ex

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