1.5: “Y”

5. “Y”

5.1 La conjunción

Para que nuestro lenguaje lógico sea más fácil e intuitivo de usar, ahora podemos agregarle elementos que lo hagan capaz de expresar los equivalentes de otras oraciones de un lenguaje natural como el inglés. Nuestras traducciones no serán exactas, pero estarán lo suficientemente cercanas como para: primero, tendremos una manera de entender más rápidamente el idioma que estamos construyendo; y, segundo, tendremos una manera de hablar inglés con mayor precisión cuando eso se nos requiera.

Considera las siguientes expresiones. ¿Cómo los traduciríamos a nuestro lenguaje lógico?

Tom irá a Berlín y París.

El número a es uniformemente divisible por 2 y 3.

Steve es de Texas pero no de Dallas.

Podríamos traducir cada uno de estos usando una oración atómica. Pero entonces habríamos perdido —o más bien habríamos ocultado— información que está claramente ahí en las frases inglesas. Podemos capturar esta información introduciendo un nuevo conectivo; uno que corresponda a nuestro “y”.

Para ver esto, considere si va a estar de acuerdo en que estas frases anteriores son equivalentes a las siguientes oraciones.

Tom irá a Berlín y Tom irá a París.

El número a es uniformemente divisible por 2 y el número a es uniformemente divisible por 3.

Steve es de Texas y no es el caso de que Steve sea de Dallas.

Una vez que concedemos que estas frases son equivalentes a las anteriores, vemos que podemos tratar el “y” en cada oración como una verdad funcional conectivo.

Supongamos que asumimos la siguiente clave.

P: Tom irá a Berlín.

P: Tom irá a París.

R: a es uniformemente divisible por 2.

S: a es uniformemente divisible por 3.

T: Steve es de Texas

U: Steve es de Dallas.

Una traducción parcial de estas frases sería entonces:

P y Q

R y S

T y ¬U

Nuestra tercera frase anterior podría generar cierta controversia. ¿Cómo debemos entender “pero”? Considera que en términos del valor de verdad de las oraciones conectadas, “pero” es lo mismo que “y”. Es decir, si dices “P pero Q” estás afirmando que tanto P como Q son ciertas. Sin embargo, en inglés hay un significado extra; el inglés “but” parece indicar que la oración adicional es inesperada o contraintuitiva. “P pero Q” parece decir, “P es cierto, y te resultará sorprendente o inesperado que Q sea verdad también”. Ese significado extra se pierde en nuestra lógica. No estaremos representando sorpresa ni expectativas. Entonces, podemos tratar “pero” como siendo lo mismo que “y”. Esto captura el valor de verdad de la oración formada usando “pero”, que es todo lo que requerimos de nuestra lógica.

Siguiendo nuestro método hasta ahora, queremos que un símbolo signifique “y”. En los últimos años el símbolo más utilizado ha sido “^”.

La sintaxis para “^” es simple. Si Φ y ψ son oraciones, entonces

(Φ^ψ)

es una sentencia. Nuestras traducciones de nuestras tres frases de ejemplo deberían verse así:

(P^Q)

(R^S)

(T^¬U)

A cada uno de estos se le llama “conjunción”. Las dos partes de una conjunción se llaman “conjunciones”.

La semántica de la conjunción viene dada por su tabla de verdad. La mayoría de la gente encuentra obvia la semántica de la conjunción. Si afirmo que tanto Φ como ψ son verdaderos, el uso normal requiere que si Φ es falso o ψ es falso, o ambos son falsos, entonces hablé falsamente también.

Considera un ejemplo. Supongamos que su patrón dice: “Después de un año de empleo obtendrá un aumento y dos semanas de vacaciones”. Pasa un año. Supongamos ahora que este patrón le da un aumento pero no vacaciones, o unas vacaciones pero no un aumento, o ni un aumento ni unas vacaciones. En cada caso, el patrón ha roto su promesa. La sentencia que formaba la promesa resultó ser falsa.

Así, la semántica para la conjunción se da con la siguiente tabla de verdad. Para cualquier frase Φ y ψ:

Φ	ψ	(Φ^ψ)
T	T	T
T	F	F
F	T	F
F	F	F

5.2 Frasings alternativos, y una “y” diferente

Hemos señalado que en inglés, “but” es una alternativa a “y”, y puede traducirse de la misma manera en nuestra lógica proposicional. Hay otras frases que tienen un significado similar: mejor se traducen por conjunciones, pero transmiten (en inglés) una sensación de sorpresa o fracaso de expectativas. Por ejemplo, considere la siguiente frase.

A pesar de que perdieron la batalla, ganaron la guerra.

Aquí “aunque” parece hacer el mismo trabajo que “pero”. La implicación es que es sorprendente —que uno podría esperar que si perdieran la batalla entonces perdieran la guerra. Pero, como ya señalamos, no vamos a captar expectativas con nuestra lógica. Entonces, tomaríamos esta frase para ser suficientemente equivalente a:

Perdieron la batalla y ganaron la guerra.

A excepción de “pero”, parece que en inglés no hay otra palabra única que sea alternativa a “y” que signifique lo mismo. Sin embargo, hay muchas maneras en las que uno puede implicar una conjunción. Para ver esto, considere las siguientes frases.

Tom, quien ganó la carrera, también ganó el campeonato.

La estrella Fósforo, que vemos por la mañana, es la Estrella de la Tarde.

La Estrella Nocturna, que se llama “Hesperus”, es también la Estrella de la Mañana.

Si bien Steve es alto, Tom no lo es.

Los perros son mamíferos terrestres vertebrados.

Dependiendo de qué elementos tomemos como básicos en nuestro idioma, todas estas oraciones incluyen conjunciones implícitas. Son equivalentes a las siguientes frases, por ejemplo:

Tom ganó la carrera y Tom ganó el campeonato.

El fósforo es la estrella que vemos por la mañana y el Fósforo es la Estrella de la Tarde.

La Estrella Nocturna se llama “Hesperus” y la Estrella Nocturna es la Estrella de la Mañana.

Steve es alto y no es el caso de que Tom sea alto.

Los perros son vertebrados y los perros son terrestres y los perros son mamíferos.

Así, necesitamos ser sensibles a oraciones complejas que son conjunciones pero que no usan “y” o “pero” o frases como “aunque”.

Desafortunadamente, en inglés hay algunos usos de “y” que no son conjunciones. Lo mismo es cierto para términos equivalentes en algunas otras lenguas naturales. Aquí hay un ejemplo.

Rochester se encuentra entre Búfalo y Albany.

El “y” en esta frase no es una conjunción. Para ver esto, señalar que esta frase no equivale a lo siguiente:

Rochester está entre Búfalo y Rochester está entre Albany.

Esa frase ni siquiera es semánticamente correcta. ¿Qué sucede en la oración original?

El tema aquí es que “está entre” es lo que llamamos un “predicado”. Aprenderemos sobre predicados en el capítulo 11, pero lo que podemos decir aquí es que algunos predicados toman varios nombres para formar una oración. En inglés, si un predicado toma más de dos nombres, entonces normalmente usamos el “y” para combinar nombres que están siendo descritos por ese predicado. En contraste, la conjunción en nuestra lógica proposicional sólo combina oraciones. Entonces, debemos decir que hay algunos usos del inglés “y” que no son equivalentes a nuestra conjunción.

Esto podría resultar confuso porque a veces en inglés ponemos “y” entre nombres y hay una conjunción implícita. Considerar:

Steve es mayor que Joe y Karen.

Superficialmente, esto parece tener la misma estructura que “Rochester está entre Buffalo y Albany”. Pero esta frase realmente equivale a:

Steve es mayor que Joe y Steve es mayor que Karen.

La diferencia, sin embargo, es que debe haber tres cosas para que una esté entre las otras dos. Solo hace falta que haya dos cosas para que una sea mayor que la otra. Entonces, en la oración “Rochester está entre Buffalo y Albany”, necesitamos los tres nombres (“Rochester”, “Buffalo” y “Albany) para hacer una sola oración atómica apropiada con “entre”. Esto nos dice que el “y” solo se está utilizando para combinar estos nombres, y no para combinar oraciones implícitas (ya que no puede haber una oración implícita sobre lo que es “entre”, usando solo dos o solo uno de estos nombres).

Eso suena complejo. No se desespere, sin embargo. El uso de “y” para identificar nombres que están siendo utilizados por predicados es menos común que “y” que se usa para una conjunción. Además, después de discutir predicados en el capítulo 11, y después de haber practicado la traducción de diferentes tipos de oraciones, la distinción entre estos usos de “y” será fácil de identificar en casi todos los casos. Mientras tanto, escogeremos ejemplos que no inviten a esta confusión.

5.3 Reglas de inferencia para conjunciones

Al mirar la tabla de la verdad para la conjunción debería decirnos dos cosas muy claramente. Primero, si una conjunción es verdadera, ¿qué más debe ser verdad? La respuesta obvia es que ambas partes, las conjunciones, deben ser ciertas. Podemos introducir una regla para capturar esta visión. De hecho, podemos introducir dos reglas y llamarlas por el mismo nombre, ya que el orden de las conjunciones no afecta su valor de verdad. Estas reglas suelen llamarse “simplificación”.

(Φ^ψ)

_____

Φ

Y:

(Φ^ψ)

_____

ψ

En otras palabras, si (Φ^ψ) es verdadero, entonces Φ debe ser verdadero; y si (Φ^ψ) es verdadero, entonces ψ debe ser verdadero.

También podemos introducir una regla para mostrar una conjunción, basada en lo que vemos de la tabla de la verdad. Es decir, está claro que sólo hay un tipo de condición en la que (Φ^ψ) es verdadera, y es entonces cuando Φ es verdadera y cuando ψ es verdadera. Esto sugiere la siguiente regla:

Φ

ψ

_____

(Φ^ψ)

Podríamos llamar a esta regla “conjunción”, pero para evitar confusiones con el nombre de las oraciones, llamaremos a esta regla “amonestación”.

5.4 Razonamiento con conjunciones

Sería útil considerar algunos ejemplos de razonamiento con conjunciones. Empecemos con un argumento en un lenguaje natural.

Tom y Steve irán a Londres. Si Steve va a Londres, entonces montará el Ojo. Tom también montará en el Ojo, siempre que vaya a Londres. Entonces, tanto Steve como Tom montarán el Ojo.

Necesitamos una clave de traducción.

T: Tom irá a Londres.

S: Steve irá a Londres.

U: Tom montará el Ojo.

V: Steve montará el Ojo.

Así nuestro argumento es:

(T^S)

(S→U)

(T→V)

_____

(V^U)

Nuestra prueba directa se verá así.

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(T\ tierra S)} [premisa]\\\ pline [2.] {(S\ lif U)} [premisa]\\\ pline [3.] {(T\ lif V)} [premisa]\\} {\ pline [4.] {T} [simplificación, 1]\\\ pline [5.] {V} [modus ponens, 3, 4]\\\ pline [6.] {S} [simplificación, 1]\\\ pline [7.] {U} [modus ponens, 2, 6]\\\ pline [8.] {(V\ land U)} [adjunction, 5, 7]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="209" title="Renderizado por Quicklatex.com” width="512" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...753f6d9_l3.png "/>

Ahora un ejemplo usando solo nuestro lenguaje lógico. Considera el siguiente argumento.

(Q→ ¬S)

(P → (Q^R))

(T→ ¬ R)

P

_____

(¬ S^ ¬ T)

Aquí hay una posible prueba.

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(Q\ lif\ lnot S)} [premisa]\\\ pline [2.] {(P\ lif (Q\ tierra R))} [premisa]\\\ pline [3.] {(T\ lif\ lnot R)} [premisa]\\\ pline [4.] {P} [premisa]} {\ pline [5.] {(Q\ land R)} [modus ponens, 2, 4]\\\ pline [6.] {Q} [simplificación, 5]\\\ pline [7.] {\ lnot S} [modus ponens, 1, 6]\\\ pline [8.] {R} [simplificación, 5]\\\ pline [9.] {\ lnot\ lnot R} [doble negación, 8]\\\ pline [10.] {\ lnot T} [modus tollens, 3, 9]\\\ pline [11.] {(\ lnot S\ land\ lnot T)} [adjunction, 7, 10]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="253" title="Renderizado por Quicklatex.com” width="512" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...b95bc4d_l3.png "/>

5.5 Simbolizaciones alternativas para la conjunción

Las notaciones alternativas para la conjunción incluyen los símbolos “&” y el símbolo “∙”. Así, la expresión (P^Q) estaría escrita en estos diferentes estilos, como:

(P&Q)

(P∙Q)

5.6 Oraciones complejas

Ahora que tenemos tres conectivos diferentes, este es un momento conveniente para considerar oraciones complejas. El ejemplo que acabamos de considerar nos obligó a simbolizar oraciones complejas, que utilizan varios tipos diferentes de conectivos. Queremos evitar confusiones siendo claros sobre la naturaleza de estas frases. También queremos poder entender cuándo tales frases son verdaderas y cuándo son falsas. Estos dos objetivos están estrechamente relacionados.

Considera las siguientes frases.

¬ (P →Q)

(¬ P →Q)

(¬ P → ¬ Q)

Queremos entender qué tipo de oraciones son estas, y también cuándo son verdaderas y cuándo son falsas. (A veces la gente asume erróneamente que existe alguna ley de distribución simple para la negación y los condicionales, por lo que hay algún valor adicional al revisar estos ejemplos particulares). La primera tarea es determinar qué tipo de oraciones son estas. Si el primer símbolo de tu expresión es una negación, entonces sabes que la oración es una negación. La primera frase anterior es una negación. Si el primer símbolo de tu expresión es un paréntesis, entonces para nuestro lenguaje lógico sabemos que estamos tratando con un conectivo que combina dos frases.

La forma de proceder es hacer coincidir paréntesis. Generalmente las personas son capaces de hacer esto a simple vista, pero si no lo eres, puedes usar la siguiente regla. Moviéndose de izquierda a derecha, el último “(” que encuentres siempre coincide con el primer “)” que encuentres. Estos forman una oración que debe tener dos partes combinadas con un conectivo. Se pueden identificar las dos partes porque cada una será una oración atómica, una oración de negación o una oración más compleja enlazada con paréntesis a cada lado del conectivo.

En nuestra lógica proposicional, cada conjunto de paréntesis emparejados forma una oración propia. Entonces, cuando nos encontramos con una oración que comienza con un paréntesis, encontramos que si coincidimos con los otros paréntesis, finalmente terminaremos con dos oraciones como constituyentes, una a cada lado de un solo conectivo. El conectivo que combina estas dos partes se llama el “conectivo principal”, y nos dice qué tipo de oración es esta. Así, arriba tenemos ejemplos de una negación, un condicional, y un condicional.

¿Cómo debemos entender el significado de estas oraciones? Aquí podemos usar tablas de verdad de una nueva, tercera manera (junto con definir un argumento conectivo y verificar). Nuestro método será este.

Primero, escribe la frase de la derecha, dejando mucho espacio. Identifica qué tipo de oración es esta. Si se trata de una oración de negación, debe agregar justo a la izquierda una columna para la oración no negada. Esto se debe a que la tabla de la verdad que define la negación nos dice lo que significa una oración negada en relación con la oración no negada que forma la oración. Si la oración es condicional, haga dos columnas a la izquierda, una para el antecedente y otra para la consecuente. Si la oración es una conjunción, haz dos columnas a la izquierda, una por cada conjunción. Aquí nuevamente, lo hacemos porque las definiciones semánticas de estos conectivos nos dicen cuál es el valor de verdad de la oración, en función del valor de verdad de sus dos partes. Continuar con este proceso hasta que las partes sean oraciones atómicas. Entonces, estipulamos todos los valores de verdad posibles para las oraciones atómicas. Una vez que hayamos hecho esto, podremos llenar la tabla de la verdad, trabajando de izquierda a derecha.

Vamos a probarlo por ¬ (P →Q). Lo escribimos a la derecha.

¬ (P→Q)

Esta es una frase de negación, así que escribimos a la izquierda la oración que se está negando.

(P→Q)	¬ (P→Q)

Esta frase es un condicional. Sus dos partes son oraciones atómicas. Los ponemos a la izquierda de la línea divisoria, y estipulamos todas las combinaciones posibles de valores de verdad para estas oraciones atómicas.

P	Q	(P→Q)	¬ (P→Q)
T	T
T	F
F	T
F	F

Ahora, podemos llenar cada columna, moviéndonos de izquierda a derecha. Hemos estipulado los valores para P y Q, así podemos identificar los posibles valores de verdad de (P→Q). La definición semántica de “→” nos dice cómo hacerlo, dado que conocemos para cada fila el valor de verdad de sus partes.

P	Q	(P→Q)	¬ (P→Q)
T	T	T
T	F	F
F	T	T
F	F	T

Esta columna ahora nos permite rellenar la última columna. La oración en la última columna es una negación de (P→Q), por lo que la definición de “¬” nos dice que ¬ (P→Q) es verdadero cuando (P→Q) es falso, y ¬ (P→Q) es falso cuando (P→Q) es verdadero.

P	Q	(P→Q)	¬ (P→Q)
T	T	T	F
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	F

Esta tabla de la verdad nos dice lo que ¬ (P→Q) significa en nuestra lógica proposicional. Es decir, si afirmamos ¬ (P→Q) estamos afirmando que P es verdadero y Q es falso.

Podemos hacer tablas de verdad similares para las otras oraciones.

P	Q	¬ P	(¬ P →Q)
T	T	F	T
T	F	F	T
F	T	T	T
F	F	T	F

¿Cómo hicimos esta mesa? La oración (¬ P →Q) es un condicional con dos partes, ¬ P y Q. Debido a que Q es atómica, estará en el lado izquierdo. Hacemos fila por ¬ P. La frase ¬ P es una negación de P, que es atómica, así que ponemos P también a la izquierda. Llenamos las columnas, yendo de izquierda a derecha, usando nuestras definiciones de los conectivos.

Y:

P	Q	¬P	¬Q	(¬P →¬Q)
T	T	F	F	T
T	F	F	T	T
F	T	T	F	F
F	F	T	T	T

Tal tabla de verdad es muy útil para determinar cuándo las oraciones son, y no, equivalentes. Hemos utilizado repetidamente el concepto de equivalencia, pero aún no lo hemos definido. Podemos ofrecer una explicación semántica y sintáctica de equivalencia. La noción semántica es relevante aquí: decimos que dos frases Φ y ψ son “equivalentes” o “lógicamente equivalentes” cuando deben tener el mismo valor de verdad. (Para el concepto sintáctico de equivalencia, ver sección 9.2). Estas tablas de verdad muestran que estas tres oraciones no son equivalentes, porque no es así que deban tener el mismo valor de verdad. Por ejemplo, si P y Q son ambos verdaderos, entonces ¬ (P→Q) es falso pero (¬P→Q) es verdadero y (¬P→¬Q) es verdadero. Si P es falso y Q es verdadero, entonces (¬P→Q) es verdadero pero (¬P→¬Q) es falso. Así, cada una de estas frases es cierta en alguna situación en la que una de las otras es falsa. No hay dos de ellos equivalentes.

Debemos considerar un ejemplo que usa conjunción, y que puede ayudar en algunas traducciones. ¿Cómo debemos traducir “No tanto Steve como Tom irán a Berlín”? Esta frase nos dice que no es el caso que tanto Steve vaya a Berlín como Tom vaya a Berlín. La sentencia sí permite, sin embargo, que uno de ellos vaya a Berlín. Así, que U signifique que Steve irá a Berlín y V significa que Tom irá a Berlín. Entonces debemos traducir esta frase, ¬ (U^V). No debemos traducir la frase (¬U^¬V). Para ver por qué, considera sus tablas de verdad.

U	V	(U^V)	¬ (U^V)	¬ U	¬ V	(¬U^¬V)
T	T	T	F	F	F	F
T	F	F	T	F	T	F
F	T	F	T	T	F	F
F	F	F	T	T	T	T

Podemos ver que ¬ (U^V) y (¬U^¬V) no son equivalentes. También, tenga en cuenta lo siguiente. Tanto ¬ (U^V) como (¬U^¬V) son ciertos si Steve no va a Berlín y Tom no va a Berlín. Esto se capta en la última fila de esta tabla de la verdad, y esto es consistente con el significado de la frase inglesa. Pero, ahora tenga en cuenta: es cierto que no tanto Steve como Tom irán a Berlín, si Steve va y Tom no. Esto se capta en la segunda fila de esta tabla de la verdad. Es cierto que no tanto Steve como Tom irán a Berlín, si Steve no va pero Tom sí. Esto se capta en la tercera fila de esta tabla de la verdad. En ambos tipos de casos (en ambas filas de la tabla de verdad), ¬ (U^V) es verdadero pero (¬U^¬V) es falso. Así, podemos ver que ¬ (U^V) es la traducción correcta de “No tanto Steve como Tom irán a Berlín”.

Consideremos una oración más compleja que utilice todas nuestras conectivas hasta ahora: ((P^¬Q) →¬ (P→Q)). Esta frase es un condicional. El antecedente es una conjunción. Lo consecuente es una negación. Aquí está la tabla de la verdad, terminada.

P	Q	¬Q	(P→Q)	(P^¬Q)	¬ (P→Q)	((P^¬Q) →¬ (P→Q))
T	T	F	T	F	F	T
T	F	T	F	T	T	T
F	T	F	T	F	F	T
F	F	T	T	F	F	T

Esta frase tiene una propiedad interesante: no puede ser falsa. Eso no es sorprendente, una vez que pensamos en lo que dice. En inglés, la frase dice: Si P es verdadero y Q es falso, entonces no es el caso que P implique Q. Eso debe ser cierto: si fuera el caso que P implica Q, entonces si P es cierto entonces Q es verdad. Pero el antecedente dice que P es cierto y Q es falso.

Las oraciones de la lógica proposicional que deben ser verdaderas se llaman “tautologías”. Los discutiremos a fondo en capítulos posteriores.

Por último, tenga en cuenta que podemos combinar este método para encontrar las condiciones de verdad para una oración compleja con nuestro método para determinar si un argumento es válido usando una tabla de verdad. Tendremos que hacer esto si alguna de nuestras premisas o la conclusión son complejas. Aquí hay un ejemplo. Empezaremos con un argumento en inglés:

Si las ballenas son mamíferos, entonces tienen extremidades vestigiales. Si las ballenas son mamíferos, entonces tienen un antepasado cuadrupedo. Por lo tanto, si las ballenas son mamíferos entonces tienen un ancestro cuadrúpedo y tienen extremidades vestigiales.

Necesitamos una clave de traducción.

P: Las ballenas son mamíferos.

P: Las ballenas tienen extremidades vestigiales.

R: Las ballenas tienen un ancestro cuadrúpedo.

El argumento se simbolizará entonces como:

(P→Q)

(P→R)

____

(P→ (R^Q))

Aquí hay una comprobación semántica del argumento.

			premisa	premisa		conclusión
P	Q	R	(P→Q)	(P→R)	(R^Q)	(P→ (R^Q))
T	T	T	T	T	T	T
T	T	F	T	F	F	F
T	F	T	F	T	F	F
T	F	F	F	F	F	F
F	T	T	T	T	T	T
F	T	F	T	T	F	T
F	F	T	T	T	F	T
F	F	F	T	T	F	T

Hemos resaltado las filas donde todas las premisas son verdaderas. Obsérvese que para estos, la conclusión es cierta. Así, en cualquier tipo de situación en la que todas las premisas sean verdaderas, la conclusión es cierta. Esto equivale, hemos señalado, a nuestra definición de válido: necesariamente, si todas las premisas son verdaderas, la conclusión es verdadera. Entonces este es un argumento válido. La tercera columna de las oraciones analizadas (la columna para (R^Q)) está ahí para que podamos identificar cuando la conclusión es verdadera. La conclusión es un condicional, y necesitábamos saber, para cada tipo de situación, si su antecedente P, y si su consecuente (R^Q), son ciertos. La tercera columna nos dice las situaciones en las que lo consecuente es cierto. Las estipulaciones de la izquierda nos dicen en qué tipo de situación es cierto el antecedente P.

5.6 Problemas

1. Traducir las siguientes frases a nuestro lenguaje lógico. Necesitarás crear tu propia clave para hacerlo.
   1. Ulises, que es tramposo, es de Ítaca.
   2. Si Ulises supera a los Circes y al Cíclope, entonces puede irse a casa.
   3. Ulises puede irse a casa sólo si no es de Troya.
   4. Ulises es de Ítaca pero no de Troya.
   5. Ulises no es a la vez hágalo y de Ítaca.
2. Demostrar que los siguientes argumentos son válidos, utilizando una derivación directa.
   1. Premisa: ((P → Q) ^ ¬Q). Conclusión: ¬P.
   2. Locales: ((P → Q) ^ (R → S)), (¬Q ^ ¬S). Conclusión: (¬P ^ ¬R).
   3. Locales: ((R ^ S) → T), (Q ^ ¬T). Conclusión: ¬ (R ^ S).
   4. Locales: (P → (R → S)), (R ^ P). Conclusión: S.
   5. Locales: (P → (R → S)), (¬S ^ P). Conclusión: ¬R.
3. Hacer tablas de verdad para las siguientes oraciones complejas. Identificar cuáles son las tautologías.
   1. (((P → Q) ^ ¬Q) → ¬P)
   2. ¬ (P ^ Q)
   3. ¬ (¬P → ¬Q)
   4. (P ^ ¬P)
   5. ¬ (P ^ ¬P)
4. Hacer tablas de verdad para mostrar cuándo las siguientes frases son verdaderas y cuándo son falsas. Explique cuáles de estas sentencias son equivalentes.
   1. ¬ (P^Q)
   2. (¬P^¬Q)
   3. ¬ (P → Q)
   4. (P^¬Q)
   5. (¬P^Q)
   6. ¬ (¬P → ¬Q)
5. Escribir un argumento válido en inglés coloquial normal con al menos dos premisas, una de las cuales es una conjunción o incluye una conjunción. Tu argumento debe ser solo un párrafo (no una lista ordenada de oraciones o cualquier otra cosa que parezca lógica formal). Traducir el argumento en lógica proposicional. Demostrar que es válido.
6. Escribir un argumento válido en inglés coloquial normal con al menos tres premisas, una de las cuales es una conjunción o incluye una conjunción y una de las cuales es condicional o incluye una condicional. Traducir el argumento en lógica proposicional. Demostrar que es válido.
7. Haz tu propia clave para traducir el siguiente argumento a nuestra lógica proposicional. Traduzca solo las partes en negrita. Demostrar que el argumento es válido.

“Sospecho al doctor Kronecker del delito de robar el libro de Cantor”, dijo el inspector Tarski. Su asistente, el señor Carroll, esperó pacientemente su razonamiento. “Porque”, dijo Tarski, “el ladrón dejó cenizas de cigarrillo sobre la mesa. El ladrón tampoco llevaba zapatos, sino que se deslizó silenciosamente en la habitación. Así, si el Dr. Kronecker fuma y está en sus medias de pies, entonces lo más probable es que se robó el libro de Cantor. ” En este punto, Tarski señaló a los pies de Kronecker. “El doctor Kronecker está en sus pies de media. ” Tarski extendió la mano hacia adelante y sacó del bolsillo de Kronecker una pitillera dorada. “Y Kronecker fuma”. El señor Carroll asintió sabiamente, “Su conclusión es obvia: lo más probable es que el doctor Kronecker se robó el libro de Cantor”.