1.7: “O”

7. “O”

7.1 Un ejemplo histórico: El argumento Euthryphro

El filósofo Platón (que vivió aproximadamente del 427 a.C. al 347 a.C.) escribió una serie de grandes textos filosóficos. Platón fue el primer filósofo en desplegar el argumento de manera vigorosa y consistente, y al hacerlo demostró cómo la filosofía toma la lógica como método esencial. Pensamos en Platón como el principal fundador de la filosofía occidental. El filósofo estadounidense Alfred Whitehead (1861-1947) de hecho alguna vez bromeó famoso que la filosofía es una “serie de notas al pie de página a Platón”.

El maestro de Platón fue Sócrates (c. 469-399 a.C.), un tábanos de la antigua Atenas que hizo muchos enemigos al mostrar a la gente lo poco que sabían. Sócrates no escribió nada, pero la mayoría de los escritos de Platón son diálogos, que son como pequeñas obras de teatro, en las que Sócrates es el protagonista del drama filosófico que se produce. Varios de los diálogos llevan el nombre de la persona que se verá discutiendo con Sócrates. En el diálogo Eutifro, Sócrates hace cola, a la espera de su juicio. Se le ha acusado de corromper a los jóvenes de Atenas. Un juicio en la antigua Atenas fue esencialmente un debate ante los ciudadanos reunidos de la ciudad. Ante Sócrates en fila es un joven, Eutifro. Sócrates le pregunta a Eutifro cuál es su negocio ese día, y Euthyphro proclama con orgullo que está ahí para acusar de asesinato a su propio padre. Sócrates está conmocionado. En la antigua Atenas, el respeto por el padre era muy valorado y esperado. Sócrates, con sarcasmo característico, le dice a Eutifro que debe ser muy sabio para tener tanta confianza. Aquí hay dos deberes profundos y contradictorios: respetar al padre, y castigar el asesinato. A Eutifro parece que le resulta muy fácil decidir cuál es el deber mayor. Eutifro no se molesta. Para él, estos asuntos éticos son simples: uno debe ser piadoso. Cuando Sócrates exige una definición de piedad que se aplique a todos los actos piadosos, Eutifro dice:

La piedad es aquello que es amado por los dioses y la impiedad es aquello que no es amado por ellos.

Sócrates observa que esto es ambiguo. Podría significar, un acto es bueno porque a los dioses les encanta ese acto. O podría significar, a los dioses les encanta un acto porque es bueno. Tenemos, entonces, una declaración “o”, que los logísticos llaman una “disyunción”:

O un acto es bueno porque los dioses aman ese acto, o los dioses aman un acto porque es bueno.

¿Podría ser cierto lo primero? Esta visión —que un acto es bueno porque a los dioses les encanta— se le llama ahora “teoría del mando divino”, y los teístas han discrepado desde la época de Sócrates sobre si es verdad. Pero, Sócrates lo encuentra absurdo. Porque, si mañana los dioses aman, digamos, el asesinato, entonces, mañana el asesinato sería bueno.

Eutifro llega a estar de acuerdo en que no puede ser que un acto sea bueno porque a los dioses les encanta ese acto. Nuestro argumento hasta ahora tiene esta forma:

O un acto es bueno porque los dioses aman ese acto, o los dioses aman un acto porque es bueno.

No es el caso de que un acto sea bueno porque a los dioses les encanta.

Sócrates concluye que a los dioses les encanta un acto porque es bueno.

O un acto es bueno porque los dioses aman ese acto, o los dioses aman un acto porque es bueno.

No es el caso de que un acto sea bueno porque a los dioses les encanta.

_____

A los dioses les encanta un acto porque es bueno.

Este argumento es uno de los argumentos más importantes de la filosofía. La mayoría de los filósofos consideran que alguna versión de este argumento es válida y sólida. Algunos que no están de acuerdo con ello muerden la bala y afirman que si mañana a Dios (la mayoría de los filósofos teístas vivos hoy en día son monoteístas) amaba la tortura de cachorros, el adulterio, los actos aleatorios de crueldad, la contaminación y la mentira, todas estas serían cosas buenas. (Si te inclinas a decir: “Eso no es justo, a Dios nunca le encantaría esas cosas”, entonces ya coincidiste con Sócrates. Porque, la razón por la que crees que a Dios nunca le encantaría este tipo de actos es porque este tipo de actos son malos. Pero entonces, ser malo o bueno es algo independiente del amor de Dios.) Pero la mayoría de los filósofos están de acuerdo con Sócrates: les resulta absurdo creer que los actos aleatorios de crueldad y otros actos similares podrían ser buenos. Hay algo intrínsecamente malo en estos actos, ellos creen. La importancia del argumento Eutifro no es que ayude a ilustrar que la teoría del mando divino es una posición enormemente extraña y costosa de mantener (aunque ese es un resultado importante), sino que el argumento muestra que la ética puede estudiarse independientemente de la teología. Porque, si hay algo en los actos que los hace buenos o malos independientemente de la voluntad de un dios, entonces no tenemos que estudiar la voluntad de un dios para estudiar qué hace esos actos buenos o malos.

Por supuesto, muchos filósofos son ateos por lo que ya lo creían, pero durante la mayor parte de la historia de la filosofía, uno estaba obligado a ser teísta. Incluso hoy en día, los laicos tienden a pensar en la ética como una extensión de la religión. Los filósofos creen en cambio que la ética es su propio campo de estudio. El argumento de Eutifro explica por qué, aunque seas teísta, puedes estudiar ética independientemente de estudiar teología.

Pero, ¿es válido el argumento de Sócrates? ¿Es sonido?

7.2 La disyunción

Queremos extender nuestro lenguaje para que pueda representar frases que contengan un “o”. Oraciones como

Tom irá a Berlín o París.

Tenemos café o té.

Esta página web contiene la frase “Mark Twain” o “Samuel Clemens”.

Los logísticos llaman a este tipo de oraciones “disyunciones”. Cada una de las dos partes de una disyunción se llama “disjunto”. La idea es que éstas sean realmente equivalentes a las siguientes frases:

Tom irá a Berlín o Tom irá a París.

Tenemos café o tenemos té.

Esta página web contiene la frase “Mark Twain” o esta página web contiene la frase “Samuel Clemens”.

Podemos, por lo tanto, ver que (al menos en muchas oraciones) el “o” opera como un conectivo entre dos oraciones.

Es tradicional usar el símbolo “v” para “o”. Esto viene del latín “vel”, que significa (en algunos contextos) o.

La sintaxis para la disyunción es muy básica. Si Φ y ψ son oraciones, entonces

(Φ v ψ)

es una sentencia.

La semántica es un poco más polémica. Esta gran parte de la tabla de verdad definitoria, la mayoría de la gente encuentra obvia

Φ	ψ	(ΦVψ)
T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

Considera: si te prometo que te traeré rosas o lilas, entonces parece que dije la verdad ya sea si te he traído rosas pero no lilas, o si te traje lilas pero no rosas. De igual manera, la última fila debe ser intuitiva, también. Si te prometo que te traeré rosas o lilas, y no te traigo nada, entonces hablé falsamente.

¿Y la primera fila? Muchas personas que no son logísticas quieren que sea el caso que definamos esta condición como falsa. El significado resultante correspondería a lo que a veces se llama el “exclusivo 'o'”. Los logistas no están de acuerdo Favorecen la definición donde una disyunción es verdadera si sus dos partes son verdaderas; esto a veces se llama el “inclusivo 'o'”. Desde luego, lo único que importa es que escojamos una definición y nos quedemos con ella, pero podemos ofrecer algunas razones por las que el “inclusivo 'o'”, como lo llamamos, es más general que el “exclusivo 'o'”.

Considera las dos primeras frases anteriores. Parece que la primera frase —“ Tom irá a Berlín o París” —debería ser cierta si Tom va a ambos. O considere la segunda frase, “Tenemos café o té”. En la mayoría de los restaurantes, esto significa que tienen tanto café como tienen té, pero esperan que pidas solo uno de estos. Después de todo, sería extraño que les dijeran que tienen café o té, y luego que se les diga que es falso que tengan tanto café como té. O, de manera similar, supongamos que el mesero dijo: “Tenemos café o té”, y luego dijiste “tomaré ambos”, y el mesero respondió “No tenemos ambos”. Esto parecería extraño. Pero si te parece extraño, entonces implícitamente estás de acuerdo en que la disyunción debe interpretarse como el “o” inclusivo.

Ejemplos como estos sugieren a los logísticos que el “o” inclusivo (donde la primera fila de la tabla es verdadera) es el caso por defecto, y que el contexto de nuestro discurso nos dice cuando no ambos disjuntos son ciertos. Por ejemplo, cuando un restaurante tiene un menú de precio fijo —donde pagas una tarifa y luego obtienes bistec o langosta— se entiende por el contexto que esto significa que puedes tener uno u otro pero no ambos. Pero eso no es lógica, es costumbre social. Hay que conocer los restaurantes para determinar esto.

Así, se acostumbra definir la semántica de la disyunción como

Φ	ψ	(ΦVψ)
T	T	T
T	F	T
F	T	T
F	F	F

No hemos perdido la capacidad de expresar el “o” exclusivo. Podemos decir, “uno u otro pero no ambos”, que se expresa por la fórmula “((Φ v ψ) ^ ¬ (Φ ^ ψ))”. Para verificar, podemos hacer la tabla de la verdad para esta compleja expresión:

Φ	ψ	(Φ ^ ψ)	(Φ v ψ)	¬ (Φ ^ ψ)	((Φ v ψ) ^ ¬ (Φ ^ ψ))
T	T	T	T	F	F
T	F	F	T	T	T
F	T	F	T	T	T
F	F	F	F	T	F

Tenga en cuenta que esta fórmula es equivalente al exclusivo “o” (es cierto cuando Φ es verdadero o ψ es verdadero, pero no cuando ambos son verdaderos o ambos son falsos). Entonces, si necesitamos decir algo como el exclusivo “o”, podemos hacerlo.

7.3 Formas alternativas

No parece haber muchas expresiones alternativas en inglés equivalentes al “o”. Tenemos

P o Q

O P o Q

Ambos se expresan en nuestra lógica con (P v Q).

Una expresión que sí surge en inglés es “ni... ni...”. Esta expresión parece capturada mejor simplemente convirtiéndola en “no ni... ni...”. Probemos esta propuesta. Considerar la sentencia

Ni Smith ni Jones irán a Londres.

Esta frase expresa la idea de que Smith no irá a Londres, y que Jones no irá a Londres. Entonces, seguramente sería un error expresarlo como

O Smith no irá a Londres o Jones no irá a Londres.

¿Por qué? Porque esta última frase sería cierta si uno de ellos fuera a Londres y uno de ellos no. Considera la tabla de la verdad para que esta expresión vea esto. Utilice la siguiente clave de traducción.

P: Smith irá a Londres.

P: Jones irá a Londres.

Entonces supongamos que tradujimos (erróneamente) “Ni Smith ni Jones irán a Londres” con

(¬P v ¬Q)

Aquí está la tabla de la verdad para esta expresión.

P	Q	¬Q	¬P	(¬Pv¬q)
T	T	F	F	F
T	F	T	F	T
F	T	F	T	T
F	F	T	T	T

Tenga en cuenta que esta oración es verdadera si P es verdadera y Q es falsa, o si Q es verdadera y P es falsa. En otras palabras, es cierto si uno de los dos va a Londres. Eso no es lo que queremos decir en inglés con esa frase alegando que ninguno de ellos irá a Londres.

La mejor traducción es ¬ (PvQ).

P	Q	(PvQ)	¬ (PvQ)
T	T	T	F
T	F	T	F
F	T	T	F
F	F	F	T

Esto capta bien la idea: sólo es cierto si cada uno no va a Londres. Entonces, simplemente podemos traducir “ni... ni...” como “No es el caso que ni... ni...”.

7.4 Razonamiento con disyunciones

¿Cómo razonaremos con la disyunción? Al mirar la tabla de la verdad que define la disyunción, encontramos que no sabemos mucho si nos dicen eso, digamos, (P v Q). P podría ser cierto, o podría ser falso. Lo mismo es así para Q. Todo lo que sabemos es que ambos no pueden ser falsos.

Esto sugiere una regla de inferencia razonable y útil. Si tenemos una disyunción, y descubrimos que la mitad de ella es falsa, entonces sabemos que la otra mitad debe ser cierta. Esto es cierto para cualquiera de los dos disjuntos. Esto significa que tenemos dos reglas, pero podemos agrupar ambas reglas con un solo nombre y tratarlas como una sola regla:

(Φ v ψ)

¬Φ

_____

ψ

y

(Φ v ψ)

¬ψ

_____

Φ

Esta regla se llama tradicionalmente “modus tollendo ponens”.

¿Y si estamos obligados a mostrar una disyunción? Una idea que podemos usar es que si alguna oración es cierta, entonces cualquier disyunción que la contenga es verdadera. Esto es así si la sentencia conforma el primer o segundo disjunto. Nuevamente, entonces, tendríamos dos reglas, que podemos agrupar bajo un solo nombre:

Φ

_____

(Φ v ψ)

y

ψ

_____

(Φ v ψ)

Esta regla a menudo se llama “adición”.

La regla de adición a menudo confunde a los estudiantes. Parece ser un tramposo, como si nos estuviéramos saliendo con la suya de algo gratis. Pero un momento de reflexión ayudará a aclarar que justo lo contrario es cierto. Perdemos información cuando usamos la regla de adición. Si me preguntas dónde está John, y yo digo: “John está en Nueva York”, te dije más que si te respondiera, “John está en Nueva York o en Nueva Jersey”. Sólo así, cuando pasamos de alguna frase P a (PvQ), no conseguimos algo gratis.

Esta regla tiene la consecuencia aparentemente extraña de que a partir de, digamos, 2+2=4 se puede derivar que sea 2+2=4 o 7=0. Pero eso sólo parece extraño porque en el habla normal, tenemos una serie de reglas implícitas. El filósofo Paul Grice (1913-1988) describió algunas de estas reglas, y a veces llamamos a las reglas que él describió “Máximas de Grice”. ^[9] Observó que en conversación esperamos que la gente dé toda la información requerida pero no más; que trate de ser veraz; que diga cosas que sean relevantes; y que sea clara y breve y ordenada. Entonces, en conversaciones normales en inglés, si alguien dice, “Tom está en Nueva York o Nueva Jersey”, estarían rompiendo la regla para dar suficiente información, y decir lo que es relevante, si supieran que Tom estaba en Nueva York. Esto también significa que esperamos que las personas usen una disyunción cuando tengan razones para creer que cualquiera o ambos disjuntos podrían ser ciertos. Pero nuestro lenguaje lógico está diseñado sólo para ser precisos, y hemos venido haciendo que el lenguaje sea preciso especificando cuándo una oración es verdadera o falsa, y especificando las relaciones entre oraciones en términos de sus valores de verdad. Por lo tanto, no estamos representando, y no poniendo en nuestro idioma, las máximas de conversación de Grice. Sigue siendo cierto que si supieras que Tom está en Nueva York, pero respondió a mi pregunta “¿Dónde está Tom?” al decir “Tom está en Nueva York o Nueva Jersey”, entonces me has perdido el tiempo. Pero no dijiste algo falso.

Ahora estamos en condiciones de poner a prueba el argumento de Sócrates. Usando la siguiente clave de traducción, podemos traducir el argumento en forma simbólica.

P: Un acto es bueno porque a los dioses les encanta ese acto.

P: A los dioses les encanta un acto porque es bueno.

Eutifro había argumentado

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Sócrates había conseguido que Euthryphro admitiera que

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Y así tenemos una simple derivación directa:

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lor Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {\ lnot P} [premisa]} {\ pline [3.] {Q} [modus tollendo ponens, 1, 2]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="77" title="Rendido por Quicklatex.com” width="579" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...c0db84f_l3.png "/>

El argumento de Sócrates es válido. Dejaré que usted determine si el argumento de Sócrates es sólido.

Otro ejemplo podría ser útil. Aquí hay un argumento en nuestro lenguaje lógico.

(P v Q)

¬P

(¬P → (Q → R))

_____

(R v S)

Esto hará uso de la regla de adición, por lo que es útil para ilustrar la aplicación de esa regla. Aquí hay una posible prueba.

\ [\ fitchprf {\ pline [1.] {(P\ lor Q)} [premisa]\\\ pline [2.] {\ lnot P} [premisa]\\\ pline [3.] {(\ lnot P\ lif (Q\ lif R))} [premisa]} {\ pline [4.] {Q} [modus tollendo ponens, 1, 2]\\\ pline [5.] {(Q\ lif R)} [modus ponens, 3, 2]\\\ pline [6.] {R} [modus ponens, 5, 4]\\\ pline [7.] {(R\ lor S)} [adición, 6]}\]” class="ql-img-ecuación visualizada quicklatex-auto-format” height="165" title="Rendido por Quicklatex.com” width="579" src=” https://human.libretexts.org/@api/de...901798b_l3.png "/>

7.5 Simbolizaciones alternativas de disyunción

Tenemos la suerte de que no haya habido alternativas populares al uso de la “v” como símbolo de disyunción. Quizás el segundo símbolo alternativo más utilizado fue “||”, de tal manera que (P v Q) quedaría simbolizado:

(P || Q)

7.6 Problemas

1. Traducir el siguiente pasaje a nuestra lógica proposicional. Demostrar que el argumento es válido.

   O el doctor Kronecker o el obispo Berkeley mataron al Coronel Cardinality. Si el doctor Kronecker mató al coronel Cardinality, entonces el doctor Kronecker estaba en la cocina. Si el obispo Berkeley mató al coronel Cardinality, entonces estaba en el salón. Si el obispo Berkeley estaba en el salón, entonces llevaba botas. Pero el obispo Berkeley no llevaba botas. Entonces, el doctor Kronecker mató al Coronel.

2. Traducir el siguiente pasaje a nuestra lógica proposicional. Demostrar que el argumento es válido.

   O Wittgenstein o Meinong se robaron los diamantes. Si Meinong se robó los diamantes, entonces estaba en la sala de billar. Pero si Meinong estaba en la biblioteca, entonces no estaba en la sala de billar. Por lo tanto, si Meinong estaba en la biblioteca, Wittgenstein se robó los diamantes.

3. Demostrar lo siguiente usando una derivación.
   1. Locales: (PvQ), (Q → S), (¬S^T). Conclusión: (T^P).
   2. Locales: ((P → ¬Q) ^ (R → S)), (Q v R). Conclusión: (P → S).
   3. Locales: (RV), ((S → T) ^V), ¬T, ((R^V) → P). Conclusión: (PvQ).
   4. Locales: ((P^Q) v R), ((P^Q) → S), ¬S. Conclusión: R.
   5. Conclusión: ((PvQ) → (¬P → Q)).
4. Considera las siguientes cuatro cartas en la figura 7.1. Cada tarjeta tiene una letra en un lado y una forma en el otro lado.
   

   Figura 7.1

   Para cada una de las siguientes reclamaciones, determine (1) el número mínimo de tarjetas que debe entregar para verificar el reclamo, y (2) cuáles son esas tarjetas, a fin de determinar si el reclamo es verdadero de las cuatro cartas.

   1. Si hay una P o Q en el lado de la letra de la tarjeta, entonces hay un diamante en el lado de la forma de la tarjeta.
   2. Si hay una Q en el lado de la letra de la tarjeta, entonces hay un diamante o una estrella en el lado de la forma de la tarjeta.
5. En inglés coloquial normal, escribe tu propio argumento válido con al menos dos premisas, al menos una de las cuales es una disyunción. Tu argumento debe ser solo un párrafo (no una lista ordenada de oraciones o cualquier otra cosa que parezca lógica formal). Traducirlo a lógica proposicional y demostrar que es válido.

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[9] Grice (1975).