6.2.1: Desigualdad de Gibbs
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\(\displaystyle \sum_{i} p(A_i)\log_2\Big(\dfrac{1}{p(A_i)}\Big) \leq \displaystyle \sum_{i} p(A_i)\log_2\Big(\dfrac{1}{p'(A_i)}\Big) \tag{6.4}\)
donde\(p(A_i)\) está cualquier distribución de probabilidad (la usaremos para eventos fuente y otras distribuciones) y\(p'(A_i)\) es cualquier otra distribución de probabilidad, o más generalmente cualquier conjunto de números tal que
\(0 \leq p'(A_i) \leq 1 \tag{6.5}\)
y
\(\displaystyle \sum_{i} p'(A_i) \leq 1. \tag{6.6}\)
Como es cierto para todas las distribuciones de probabilidad,
\(\displaystyle \sum_{i} p(A_i) = 1. \tag{6.7}\)
La ecuación 6.4 se puede probar señalando que el logaritmo natural tiene la propiedad de que es menor o igual a una línea recta que es tangente a él en cualquier punto, (por ejemplo el punto\(x\) = 1 se muestra en la Figura 6.2). Esta propiedad a veces se conoce como concavidad o convexidad. Así
y por lo tanto, al convertir la base logaritmo\(e\) a la base logaritmo 2, tenemos
Entonces
\ [\ begin {align*}
\ displaystyle\ sum_ {i} p (a_i)\ log_2\ Grande (\ dfrac {1} {p (a_i)}\ grande) -\ displaystyle\ sum_ {i} p (a_i)\ log_2\ grande (\ dfrac {1} {p' (a_i)}\ grande) &=\ displaystyle\ sum_ {i} p (a_i)\ log_2\ Grande (\ dfrac {p' (a_I)} {p (a_I)}\ Grande)\\
&\ leq\ log_2 e\ displaystyle\ sum_ {i} p (a_i)\ begin {bmatrix}\ dfrac {p' (a_i)} {p (a_i)} - 1\ end {bmatrix}\\
&=\ log_2 e\ Big (\ displaystyle\ sum_ {i} p' (a_i) -\ sum_ {i} p (a_i)\ Big)\\
&=\ log_2 e\ Grande (\ displaystyle\ sum_ {i} '(a_i) - 1\ Grande)\\
&\ leq 0\ tag {6.10}
\ end {align*}\ nonumber\]
\(^1\)See a biography of Gibbs at http://www-groups.dcs.st-andrews.ac....ies/Gibbs.html