9.4: Restricciones

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Paul Penfield, Jr.
Massachusetts Institute of Technology via MIT OpenCourseWare

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La entropía tiene su valor máximo cuando todas las probabilidades son iguales (suponemos que el número de estados posibles es finito), y el valor resultante para la entropía es el logaritmo del número de estados, con un posible factor de escala como$k_B$. Si no tenemos información adicional sobre el sistema, entonces tal resultado parece razonable. Sin embargo, si tenemos información adicional en forma de restricciones, entonces el supuesto de probabilidades iguales probablemente no sería consistente con esas restricciones. Nuestro objetivo es encontrar la distribución de probabilidad que tenga la mayor incertidumbre y, por lo tanto, sea lo más imparcial posible.

Por simplicidad consideramos aquí solo una de esas restricciones. Suponemos que conocemos el valor esperado de alguna cantidad (el Principio de Entropía Máxima puede manejar múltiples restricciones pero los procedimientos matemáticos y fórmulas son más complicados). La cantidad en cuestión es aquella para la cual cada uno de los estados del sistema tiene su propia cantidad, y el valor esperado se encuentra promediando los valores correspondientes a cada uno de los estados, tomando en cuenta las probabilidades de esos estados. Así, si hay una cantidad$G$ para la cual cada uno de los estados tiene un valor$g(A_i)$ entonces queremos considerar solo aquellas distribuciones de probabilidad para las que el valor esperado es un valor conocido$\widetilde{G}$

$\widetilde{G} = \displaystyle \sum_{i} p(A_i)g(A_i) \tag{9.4}$

Por supuesto esta restricción no se puede lograr si$\widetilde{G}$ es menor que la más pequeña$g(A_i)$ o mayor que la mayor$g(A_i)$.

Ejemplo

Para nuestro ejemplo de Burgers de Berger's, supongamos que nos dicen que el precio promedio de una comida es de $2.50, y queremos estimar las probabilidades separadas de las diversas comidas sin hacer ningún otro supuesto. Entonces nuestra restricción sería

$$2.50 = $1.00p(B) + $2.00p(C) + $3.00p(F) + $8.00p(T) \tag{9.5}$

Para nuestro ejemplo de dipolo magnético, supongamos las energías para los estados$U$ y$D$ se denotan$e(i)$ donde$i$ está$U$ o$D$, y supongamos que el valor esperado de la energía se sabe que es algún valor$\widetilde{E}$. Todas estas energías se expresan en Julios. Entonces

$\widetilde{E} = e(U)p(U) + e(D)p(D) \tag{9.6}$

Las energías$e(U)$ y$e(D)$ dependen del campo magnético aplicado externamente$H$. Este parámetro, que se llevará a través de la derivación, terminará jugando un papel importante. Si aquí se utilizan las fórmulas para el$e(i)$ de la Tabla 9.2,

$\widetilde{E} = m_dH[p(D) − p(U)] \tag{9.7}$