13.7: Teorema sin clonación

Una de las operaciones más naturales en la información clásica es copiar bits, sucede todo el tiempo en nuestras computadoras. La lógica cuántica diverge de la lógica clásica ya en este nivel. Los qubits no se pueden copiar, o como suele decirse: los qubits no se pueden clonar.

Existen varios argumentos intuitivos que pueden ayudarnos a entender por qué es así. Recuerde que en el Capítulo 10 enfatizamos que el acto de medir cambia el sistema que se está midiendo; si el sistema se encuentra en una superposición, el resultado de la medición será uno de los estados de la superposición. Y se destruye la superposición. Intuitivamente, si se requiere en absoluto medir para hacer la clonación, entonces será imposible tener dos clones, ya que no podemos aprender nada sobre la superposición inicial. Además, la superposición misma es destruida por el acto de medir. Esto implica que un dispositivo de clonación viable no puede utilizar la medición.

Supongamos que tenemos un dispositivo de este tipo y opera sin requerir medición. Uno de los fundamentos de la mecánica cuántica es el principio de incertidumbre introducido por Heisenberg. El principio dice que ciertas variables físicas no pueden medirse al mismo tiempo con una precisión arbitraria. El ejemplo es la posición y el momento; si la posición de una partícula se mide con una precisión dada\(\Delta x\), la precisión con la que se mide su momento es limitada:\(\Delta p > \hbar /2\Delta x\). Con la presunta máquina de clonación a mano debería ser posible clonar la partícula y medir el impulso con precisión arbitraria en un clon y posición con precisión arbitraria en el otro, posiblemente violando el principio de Heisenberg.

Estos argumentos por sí mismos no prueban la imposibilidad de clonar, sino que sugieren que el asunto no es de ninguna manera trivial.

Figura 13.1: Dispositivo de clonación sugerido

Para demostrar que la clonación no es posible, supongamos que era posible clonar, y que podríamos configurar una “máquina” como la de la Figura 13.1. El dispositivo de clonación toma la información de un qubit\(|\; \phi_1\rangle\) y lo copia en otro qubit “en blanco”, el resultado es un qubit\(|\; \psi_1\rangle\) idéntico al\(|\; \phi_1\rangle\), y el original no\(|\; \phi_1\rangle\) se modifica. Según lo que vimos en nuestra visión general de la notación de corchete, tal máquina es un operador (la llamaremos\(\widehat{C}\)) porque transforma dos qubits en otros dos qubits; y como operador,\(\widehat{C}\) debe ser unitario. Así definimos\(\widehat{C}\)

\[\mid \;Original\rangle\; \otimes \mid Blank \rangle \quad \stackrel{\widehat{C}}{\longrightarrow} \quad \mid Original\rangle \;\otimes \mid clone \rangle \tag{13.41} \]

Ahora estamos listos para clonar dos qubits arbitrarios\(|\; \phi_1\rangle\) y\(|\; \phi_2\rangle\) por separado.

\ begin {alinear*}
\ sombrero ancho {C}\; |\;\ phi_ {1}\ rangle\ medio blanco\ rangle &=\ izquierda|\;\ phi_ {1}\ derecha\ rangle\ izquierda|\;\ psi_ {1}\ derecha\ rangle\ tag {13.42}\\
\ sombrero ancho {C}\; |\;\ phi_ {2}\ rangle\ mid blank\ rangle &=\ izquierda|\;\ phi_ {2}\ derecha\ rangle\ izquierda|\;\ psi_ {2}\ derecha\ rangle\ tag {13.43}\\
&\ tag {13.44}
\ end {align*}

donde se entiende que\(|\; \phi_1\rangle =|\; \psi_1\rangle\) y\(|\; \phi_2\rangle =|\; \psi_2\rangle\), y les hemos dado diferentes nombres para distinguir original de copia.

Puesto que la máquina de la clonación es unitaria, conserva los productos del punto, así que podemos comparar el producto del punto antes y después de la clonación

\[\left.\left\langle\phi_{2}\;\right|\left\langle blank \;||\; \phi_{1}\right\rangle \mid blank \right\rangle=\left\langle\phi_{2}\;\left|\;\left\langle\psi_{2}\;|| \;\phi_{1}\right\rangle\;\right|\; \psi_{1}\right\rangle \tag{13.45} \]

Recordemos las reglas para tomar el producto punto de los productos tensores, cada elemento en el producto tensor de kets se multiplica por el sujetador en la misma posición en el producto tensor de los sujetadores, por lo tanto

\[\left.\left\langle\phi_{2} \;\mid \; \phi_{1}\right\rangle\langle blank \;|\; blank \right\rangle=\left\langle\phi_{2} \mid \phi_{1}\right\rangle\left\langle\psi_{2} \mid \psi_{1}\right\rangle \tag{13.46} \]

Los requisitos de que los kets sean normalizados impone eso\(\langle blank \;|\; blank\rangle\) = 1. La ecuación anterior solo puede ser cierta en dos casos:

• \(\langle \phi_2 \;|\; \phi_1\rangle\)= 0, lo que significa que\(|\; \phi_1\rangle\) y\(|\; \phi_2\rangle\) son ortogonales. Esto significa que podemos clonar estados elegidos al azar de un conjunto de estados ortogonales. Y equivale a decir que podemos clonar\(|\; 0\rangle\) y\(|\; 1\rangle\), que ya sabíamos ya que lo hacemos clásicamente todo el tiempo.
• \(\langle \psi_2 \;|\; \psi_1\rangle\)= 1, lo que significa que\(\psi_2 = \psi_1\), es decir, que los clones obtenidos en cada operación son idénticos. Si los dos originales fueran diferentes, como habíamos asumido, lo que dice este resultado es que el clon es independiente del original, ¡lo cual es una propiedad bastante extraña para un clon!.

Esta prueba demuestra que no se puede lograr una clonación perfecta de qubits. Ciertamente podemos almacenar el resultado de una medición (esta es otra forma de frasear el primer caso), pero no podemos clonar las superposiciones.