13.6.3: Qubits enredados

Anteriormente hemos introducido la noción de enredo en términos de funciones de onda de un sistema que permite realizar dos mediciones. Aquí vemos que se desprende de las propiedades del producto tensor α a como medio para concatenar sistemas. Considerar dos qubits\(|\; \psi\rangle = \dbinom{\alpha}{\beta}\) y\(|\; \phi\rangle = \dbinom{a}{b}\), de acuerdo con la definición del producto tensor,

\ [|\;\ psi\ rangle\ otimes|\;\ varphi\ rangle=\ left (\ begin {array} {l}
\ alpha a\\ alpha b
\\ beta a
\\ beta a\
\ beta b
\ end {array}\ derecha)\ tag {13.32}\]

Si operamos en el sistema de conjunto (es decir, ignorando que está compuesto por dos subsistemas), no es impensable llegar a un estado descrito por el siguiente ket

\ [\ izquierda|\;\ psi_ {12}\ derecha\ rangle=\ frac {1} {\ sqrt {2}\;}\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1\\
1\\
0
\ end {array}\ derecha)\ tag {13.33}\]

Resulta que el sistema compuesto\(|\; \psi_{12}\rangle\) no puede expresarse como un producto tensor de dos qubits independientes. Es decir, operando directamente sobre el conjunto, es posible llegar a estados que no pueden ser descritos por dos sistemas aislados.

Para ver por qué es así, tratar de igualar las ecuaciones 13.32 y 13.33: el primer elemento del ket requiere\(\alpha a = 0\); esto implica que cualquiera\(\alpha\) o\(a\) debe ser cero. Sin embargo, si\(\alpha = 0\) el segundo elemento no puede ser 1, y de manera similar, si\(a\) = 0 el tercer elemento tendría que ser cero en lugar de uno. Entonces no hay combinación de\(\alpha, \beta, a\), y\(b\) eso nos permite escribir el sistema descrito en la ecuación 13.33 como un producto tensor como el descrito en la ecuación 13.32. Concluimos que

\[\left|\;\psi_{12}\right\rangle \neq|\;\psi\rangle \otimes|\;\varphi\rangle . \tag{13.34} \]

Ya nos hemos encontrado con situaciones similares en el contexto de la “mezcla” en el capítulo 11. Ahí, notamos que las variables intensivas ya no podrían estar bien definidas en términos de los subsistemas, más aún, si el proceso de mezcla de dos subsistemas no era reversible, la entropía en el sistema final era mayor que la suma de las entropías, y ya no tenía sentido tratar de expresar el sistema compuesto en términos de sus constituyentes originales. Las dos situaciones son diferentes pero ciertamente hay margen para la analogía.

Siempre que esta situación surge a nivel cuántico, decimos que los dos qubits (o cualesquiera dos sistemas) están enredados. Esta palabra es una traducción de la palabra alemana “Verschränkung”, que a menudo también se traduce como “intercalado”, Schrödinger acuñó esta palabra para describir la situación en la que:

“El conocimiento máximo de un sistema total no incluye necesariamente el conocimiento total de todas sus partes, ni siquiera cuando éstas están completamente separadas entre sí y por el momento no se están influenciando mutuamente en absoluto”. \(^4\)

La diferencia más destacada con lo que vimos en el proceso de mezcla surge del hecho de que, como señala Schrödinger en el párrafo anterior, este “intercalado” de las partes permanece incluso después de separarlas, y la medición de una de las partes condicionará el resultado sobre la otra. Esto es lo que Einstein llamó “acción espeluznante a distancia”.

Podemos ilustrar el efecto del enredo en las mediciones reescribiendo la ecuación 13.33 mediante una superposición de dos productos tensores

\ begin {align*}
\ izquierda|\;\ psi_ {12}\ derecha\ rangle &=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\;\ left (\ begin {array} {l}
0\\

1\\ 1\
0
\ end {array}\ derecha)\ tag {13.35}\
&=\ frac {1} {\ sqrt {2}\;\ left [\ left (\ begin {array} {l}
0\\
0\\
1\
0
\ end {array}\ derecha) +\ left (\ begin {array} {l}
0\\
1\
0\
0
\ end {array}\ derecha)\ derecha]\ tag {13.36}\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {2} }\ izquierda [|0\ rangle_ {1} |1\ rangle_ {2} +|1\ rangle_ {1} |0\ rangle_ {2}\ derecha]\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda [\ izquierda|0_ {1} 1_ {2}\ derecha\ rangle+\ izquierda|1_ {1} 0_ {2}\ derecha\ rangle\ derecha]\ tag {13.37}
\ end {align*}

donde hemos agregado subíndices para distinguir entre los dos qubits. Este también es un buen ejemplo para comenzar a apreciar el poder de la notación de corchetes para simplificar expresiones.

Si medimos el primer qubit, obtendremos cualquiera\(|\; 0\rangle_1\) o\(|\; 1\rangle_1\). Para calcular la probabilidad de que el resultado sea\(|\; 0\rangle_1\), tomamos el producto punto del estado enredado con\(| 0_1, ?_2\rangle =|\; 0\rangle_1\)

\ begin {align*}
\ izquierda\ langle 0_ {1},? _ {2}\ mediados\ psi_ {12}\ derecha\ rangle &=\ langle 0_ {1},? _ {2} |\ cdot\ frac {1} {\ sqrt {2}} [|\; 0\;\ rangle_ {1} |\; 1\ rangle_ {2} +|\; 1\ rangle_ {1} |\; 0\ rangle_ {2}]\ tag {13.38}\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ izquierda (\ langle 0\ mid 0\ rangle_ {1}\ langle? \ mediados 1\ rangle_ {2} +\ langle 0\ mid 1\ rangle_ {1}\ langle? \ mid 0\ rangle_ {2}\ derecha)\ tag {13.39}\\
&=\ frac {1} {\ sqrt {2}}\ langle? \ mid 1\ rangle_ {2}\ tag {13.40}
\ end {align*}

Este resultado dice que el resultado será\(|0\rangle_1\) con una probabilidad de 1/2, si y sólo si el segundo sistema colapsa al mismo tiempo al estado\(|\; 1\rangle_2\) (nótese que de lo contrario si el signo de interrogación representara un 0, la probabilidad sería igual a cero). Por lo que la medición en el primer sistema condiciona el valor en el segundo sistema aunque los sistemas estén muy separados.

Para apreciar el espeluznante del enredo, puede valer la pena pensarlo en un entorno más mundano. Imagina que tienes una conexión tan grande con un colega que cada vez que bosteza tú también bostezas sistemáticamente. Tus amigos comunes no le prestarán atención ya que es algo normal que suceda, sabemos que cuando alguien bosteza la gente de los alrededores tiende a bostezar. Sin embargo, sin duda los asustarías si tu colega fuera a Europa y te quedaste en EU, y de vez en cuando te impulsabas a bostezar, precisamente cuando tu amigo tenía uno. De hecho, para tener miedo tus amigos necesitarían la entrada de un árbitro a cada lado del océano para registrar los eventos y emparejar etiquetas de tiempo. Se plantearía la pregunta de si usted y su compañero pueden usar su la conexión de bostezo para fines de comunicación inmediata, ya que parece haber necesidad de un árbitro. Este ejemplo de caricatura ciertamente no es mecánico cuántico, sin embargo ilustra qué es lo que tiene el enredo que ha fascinado y asustado a la vez a algunas de las mentes más grandes de nuestro tiempo. Y al mismo tiempo, introduce una salvedad de la comunicación cuántica: la necesidad de un intercambio clásico para verificar que la comunicación ha existido (los árbitros). Tendrá la oportunidad de apreciar esto en un entorno mecánico cuántico real cuando discutamos la teletransportación.

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\(^4\)Extract from “Die gegenwartige Situation in der Quantenmechanik,” Erwin Schrödinger, Naturwissenschaftern. 23 : pp. 807-812; 823-823, 844-849. (1935). English translation: John D. Trimmer, Proceedings of the American Philosophical Society, 124, 323-38 (1980).