13.8.1: Qubits en la esfera Bloch

Considerar un qubit en una superposición arbitraria

\[|\;\psi\rangle=\alpha\;|\;0\rangle+\beta\;|\;1\rangle . \tag{13.47} \]

Si\(\alpha\) y\(\beta\) fuera real, la ecuación 13.17 definiría un círculo de radio uno, e imaginaríamos el qubit como un punto en el límite del círculo. Sin embargo,\(\alpha\) y\(\beta\) son números complejos, por lo que tendremos que trabajar un poco más duro para derivar una intuición similar.

Cada número complejo puede ser representado por una fase y una magnitud, así podemos reescribir\(\alpha\) y\(\beta\) como:

\[\alpha=A e^{i a} \quad \beta=B e^{i b} \tag{13.48} \]

de la normalización de los kets (Ecuación 13.17), podemos derivar que

\ [\ begin {alinear*}
1 &=|\ alpha|^ {2} +|\ beta|^ {2}\\
&=A^ {2} +B^ {2},\ tag {13.49}
\ final {alinear*}\ nonumber\]

y esta ahora es la ecuación de un círculo centrado en el origen, por lo que ambos\(A\) y se\(B\) pueden reescribir en términos de un ángulo\(^5\)\(\theta\) /2.

\[A=\cos \frac{\theta}{2} \quad B=\sin \frac{\theta}{2}. \tag{13.50} \]

introduzcamos este resultado en la ecuación 13.47 de la superposición original:

\[|\;\psi\rangle=\cos \frac{\theta}{2} e^{i a}|\;0\rangle+\sin \frac{\theta}{2} e^{i b}|\;1\rangle. \tag{13.51} \]

todavía podemos hacer una cosa más,\(e^{ia}\) sacar como factor común

\ [\ begin {align*}
|\;\ psi\ rangle &=e^ {i a}\ izquierda (\ cos\ frac {\ theta} {2}\; |\; 0\ rangle+\ sin\ frac {\ theta} {2} e^ {i (b-a)}\; |\; 1\ rangle\ derecha)\\
&=e^ {i a}\ izquierda (\ cos\ frac {\ theta} {2}\; |\; 0\ rangle+\ sin\ frac {\ theta} {2} e^ {i\ varphi}\; |\; 1\ rangle\ derecha)\ tag {13.52}
\ final {alinear*}\ nonúmero\]

donde hemos renombrado\(\varphi = b − a\). Si ignoramos el factor de fase global (\(e^{ia}\)), los dos ángulos\(\theta\) y\(\varphi\) definimos un punto en una esfera unitaria. Esta esfera se llama Esfera Bloch, y se muestra en la Figura 13.2.

Cada punto en su superficie representa una posible superposición de los estados\(|\;0 \rangle\) y\(|\; 1 \rangle\). Por ejemplo, consideremos el qubit en el estado\(|\; \eta\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|\; 0\rangle + |\; 1\rangle\)), podemos comparar este estado con la ecuación 13.52, y concluir que entonces\(\theta\) /2 =\(\pi\) /4,\(\varphi\) = 0, de manera que el qubit\(|\; \eta\rangle\) se representa por un vector paralelo al eje x de la Esfera Bloch.

Figura 13.2: Representación geométrica de una esfera de Qubit: Bloch

Cuando introdujimos a los operadores dijimos que transformaron el estado de superposición de los qubits al tiempo que conservaban su normalización. En el contexto de la Esfera Bloch, esto significa que los operadores mueven puntos alrededor de la esfera unitaria, es decir, definen trayectorias.

Volviendo a la ecuación 13.52, todavía tenemos que considerar qué sucede con el factor de fase global eia que habíamos ignorado. Este factor parecería implicar que el punto en la esfera Bloch puede girar sobre sí mismo por un ángulo a. sin embargo, como en última instancia nos interesa la probabilidad de cada estado (porque es el estado y no las superposiciones lo que medimos), deberíamos ver qué sucede con este factor a medida que tomamos el cuadrado de los productos punto. Por ejemplo, examinemos la probabilidad de que medir el qubit de la ecuación 13.52 rinda\(|\; 1\rangle\) como respuesta

\ [\ begin {align*}
|\ langle 1\ mid\ psi\ rangle|^ {2} &=\ izquierda|\ langle 1|\ cdot e^ {i a}\ izquierda (\ cos\ frac {\ theta} {2} |0\ rangle+\ sin\ frac {\ theta} {2} e^ {i\ varphi} |1\ rangle\ derecha)\ derecha|^ {2}\\
&=\ izquierda|e^ {i a}\ derecha|^ {2}\ veces\ izquierda|\ cos\ frac {\ theta} {2}\ langle 1\ mid 0\ rangle+\ sin\ frac {\ theta} {2} e^ {i\ varphi}\ langle 1\ mediados 1\ rangle\ derecha|^ {2}\\
&=1\ veces\ izquierda|0+\ sin\ frac {\ theta} {2} e^ {i\ varphi}\ veces 1\ derecha|^ {2}\\
&=\ izquierda|\ sin\ frac {thac {theta} eta} {2} e^ {i\ varphi}\ derecha|^ {2}. \ tag {13.53}
\ end {align*}\ nonumber\]

Vemos que el factor de fase global se cuadra a uno, y así no juega ningún papel en el cálculo de la probabilidad. A menudo se argumenta que los factores de fase global desaparecen al calcular las probabilidades, y así, no son medibles.

---

\(^5\)The choice of the angle as \(\theta\)/2 instead of \(\theta\) is a technical detail for us, it is adequate for using the spin of an electron as a qubit, if instead, we used the polarization of the photon, then the adequate choice would be \(\theta\). This is related to fermions and bosons of which you may have heard, but whose nature is irrelevant to us here.