2.5: Problemas

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\) International Standard Atmosphere

Después del lanzamiento de una sonda espacial a una atmósfera planetaria, se han recopilado datos sobre la temperatura de la atmósfera. Su variación con la altitud (\(h\)) se puede aproximar de la siguiente manera:

\[T = \dfrac{A}{1 + e^{\tfrac{h}{B}}},\label{eq2.5.1}\]

donde\(A\) y\(B\) son constantes por determinar.

Suponiendo que el gas se comporta como un gas perfecto y la atmósfera está en reposo, utilizando los siguientes datos:

Temperatura a\(h = 1000\),\(T_{1000} = 250\ K\);
\(p_0 = 100000 \dfrac{N}{m^2}\);
\(\rho_0 = 1 \dfrac{Kg}{m^3}\);
\(T_0 = 300\ K\);
\(g = 10 \dfrac{m}{s^2}\).

determinar:

Los valores de\(A\) y\(B\), incluyendo sus unidades.
Ley de variación de densidad y presión con altitud, respectivamente\(\rho (h)\) y\(p (h)\) (no sustituir ningún valor).
El valor de densidad y presión a\(h = 1000 m\).

Responder

Asumimos las siguientes hipótesis:

(a) El gas es un gas perfecto.

b) Cumple la ecuación fluidostática.

Basado en la hipótesis (a):

\[P = \rho RT.\label{eq2.5.2}\]

Basado en la hipótesis (b):

\[dP = -\rho gdh.\label{eq2.5.3}\]

Basado en los datos dados en la declaración, y usando Equation (\(\ref{eq2.5.2}\)):

\[R = \dfrac{P_0}{\rho_0 T_0} = 333.3 \dfrac{J}{(Kg \cdot K)}\]

Los valores de\(A\) y\(B\):
Usando la temperatura dada a una altitud\(h = 0\)\((T_0 = 300\ K)\), y Ecuación (\(\ref{eq2.5.1}\)):
\[300 = \dfrac{A}{1 + e^0} = \dfrac{A}{2} \to A = 600 \ K.\]
Usar la temperatura dada a una altitud\(h = 1000\) (\(T_{1000} = 250\ K\)), y Ecuación ( \(\ref{eq2.5.1}\)):
\[250 = \dfrac{A}{1 + e^{\tfrac{1000}{B}}} = \dfrac{600}{1 + e^{\tfrac{1000}{B}}} \to B = 2972\ m.\]
Ley de variación de densidad y presión con altitud:
Usando la ecuación (\(\ref{eq2.5.2}\)) y la ecuación (\(\ref{eq2.5.3}\)):
\[dP = -\dfrac{P}{RT} gdh.\label{eq2.5.7}\]
Integrando la ecuación diferencial (\(\ref{eq2.5.7}\)) entre\(P(h = 0)\) y\(P, h = 0\) y\(h\):
\[\int_{P_0}^{P} \dfrac{dP}{P} = \int_{h = 0}^{h} -\dfrac{g}{RT} dh.\label{eq2.5.8}\]
Introducción de la ecuación (\(\ref{eq2.5.1}\)) en la ecuación (\(\ref{eq2.5.8}\)):
\[\int_{P_0}^{P} \dfrac{dP}{P} = \int_{h = 0}^{h} -\dfrac{g(1 + e^{\tfrac{h}{B}})}{RA} dh.\label{eq2.5.9}\]
Integración de la ecuación (\(\ref{eq2.5.9}\)):
\[Ln \dfrac{P}{P_0} = -\dfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B) \to P = P_0 e^{-\tfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B)}.\label{eq2.5.10}\]
Usando la ecuación (\(\ref{eq2.5.2}\)), la ecuación (\(\ref{eq2.5.1}\)) y Ecuación (\(\ref{eq2.5.10}\)):
\[\rho = \dfrac{P}{RT} = \dfrac{P_0 e^{-\tfrac{g}{RA} (h + Be^{\tfrac{h}{B}} - B)}}{R \tfrac{A}{1 + e^{\tfrac{h}{B}}}}\label{eq2.5.11}\]
Presión y densidad a una altitud de 1000 m:
Usando la Ecuación (\(\ref{eq2.5.10}\)) y la Ecuación (\(\ref{eq2.5.11}\)), los datos dados para\(P_0\) y\(g\), y los valores obtenidos para\(R, A\), y\(B\):

\(\rho (h = 1000) = 1.0756 \tfrac{kg}{m^3}.\)
\(P(h = 1000) = 89632.5 Pa.\)