2.3: Gráficas de Incidencia -Interpretaciones, Consistencia e Inconsistencia

3.1 Introducción

Las gráficas de incidencia son herramientas útiles para que los ingenieros químicos modele diversas relaciones en un proceso. Se utilizan para mapear sistemáticamente toda una cadena de procesos y controladores para describir el efecto, que cada elemento tiene sobre los demás. Esto ayuda a visualizar las posibles vías de proceso o una cadena de efectos.

A continuación se muestra un ejemplo de una gráfica de incidencia. Los círculos son nodos que representan un dispositivo o controlador particular, por ejemplo, un sensor de temperatura. Las flechas indican la vía direccional de influencia. Por ejemplo, un nodo sensor de temperatura estaría conectado a un nodo adyacente (tal como un intercambiador de calor). Este nodo intercambiador de calor a su vez estaría conectado a otros nodos que representan dispositivos o controladores. Este tipo de diagrama podría ser extremadamente útil para identificar las redundancias dentro de un sistema de control. Una aplicación más elaborada de las gráficas de incidencia se discutirá en la sección Ejemplos Fundidos.

Monotonicidad

Antes de pasar a las siguientes secciones, es imperativo comprender los conceptos básicos de los sistemas monótonos. Una función monótona define una función que conserva un orden dado. Las funciones monotónicas se clasifican como monótonas crecientes o monótonas decrecientes Tomando el ejemplo de una función f (x), para una función monótona creciente un aumento en la variable 'x' resultaría en un aumento de f (x). Por otro lado, para una función decreciente monotónica un incremento en la variable 'x' resultaría en una disminución de f (x).

Aumento monotónico: Si x ≥ y, entonces f (x) ≥ f (y)

Disminución monótona: Si x ≥ y, entonces f (x) ≤ f (y)

Siempre y cuando una función sea siempre monótona creciente o monótona decreciente, se le conoce como una función monótona.

Las funciones monótonas son sistemas ideales para controlar porque los cambios en una variable/dispositivo conducen a cambios conocidos en otras variables/dispositivos. Una función no monótona, por otro lado, no produce una salida directa para una entrada en particular. En estos casos se utilizan declaraciones IF-THEN-ELSE para ilustrar los controles para los nodos. Para las instancias, el nodo IF 1 está activado, ENTONCES se reprime el nodo 2 y así sucesivamente.

Un ejemplo de una posible gráfica no monótona

Gráficos de Incidencia

Las gráficas de incidencia (también gráficas “Levi” o “Causation”) consisten en conexiones monótonas entre nodos, por lo que cada conexión indica un efecto particular de un factor sobre otro. “El término “" monotónico "” significa que un cambio en el dispositivo de inicio influye solo en un aspecto del dispositivo objetivo.” Esta simplificación facilita describir cómo funcionan los sistemas de control mediante el uso de diagramas de incidencia.

En realidad, no todas las interacciones son monótonas. Algunos dispositivos de control pueden afectar simultáneamente varios aspectos de otros dispositivos o variables. Esto puede resultar en una relación no monótona, en la que un factor aumenta otro sobre una región, pero la disminuye sobre otra (imagínese una parábola, que es una curva no monótona). La temperatura a menudo tiene tal relación con la velocidad de una reacción: para una reacción exotérmica reversible, aumentar la temperatura aumentará el rendimiento hasta cierto punto; sin embargo, un aumento adicional disminuirá el rendimiento.

Las gráficas de incidencia solo se pueden usar para representar relaciones monótonas. Por lo tanto, la simplificación excesiva de un sistema puede causar problemas en la construcción de una gráfica de incidencia. De igual manera, una relación no monótona puede resolverse dividiendo un factor en componentes separados, cada uno de los cuales solo tiene relaciones monótonas con otros factores.

Cuando dos factores están conectados por múltiples rutas de señal, la incoherencia entre los resultados de diferentes rutas conduce a la inconsistencia. En otras palabras, el resultado no se puede predecir porque la gráfica de incidencia no comunica información cuantitativa. Por ejemplo, en el ejemplo de velocidad de reacción, la velocidad de reacción podría separarse en las variables que la afectan: concentraciones, constante de velocidad y constante de equilibrio. Luego se puede construir un gráfico de incidencia para demostrar que la temperatura y la velocidad de reacción tienen una relación inconsistente.

Un diagrama es consistente (que se discutirá más adelante en detalle) si todas las rutas de señal entre dos nodos, por cada par de nodos, están de acuerdo entre sí (es decir, tienen el mismo resultado).

Atravesando

Cada gráfica de incidencia establece una forma particular de representar los efectos directos de un dispositivo en sus vecinos. Normalmente, una línea conectará un nodo a sus vecinos; estas líneas terminan con una barra o una punta de flecha.

Una punta de flecha al final indica que el iniciador (del que viene la línea) está aumentando el valor del objetivo (donde apunta la flecha) o simplemente activándolo (encendiéndolo). El contexto de la conexión determinará si algo se está incrementando o encendiendo. Por ejemplo, sería ilógico suponer que una caída en la temperatura provocaría que un controlador de temperatura desactivara un controlador de presión. En cambio, sería más prudente asumir que el controlador de temperatura ajustaría el sensor de presión.

barra de punta de flecha

Una barra perpendicular indica que el dispositivo de inicio está disminuyendo el valor del dispositivo objetivo o inhibiéndolo (apagarlo). Tenga en cuenta que estas indicaciones no son necesariamente seguidas estrictamente. Una vez más, el contexto de la situación determina qué interpretación se debe utilizar.

barra perpendicular

Las gráficas consistieron en la barra de punta de flecha y la barra perpendicular permiten ver el resultado de un aumento/disminución en un aspecto del dispositivo inicial en un dispositivo designado en el sistema. Todo lo que se hace después del dispositivo inicial viene como resultado de cambiar el dispositivo inicial. Además, estas gráficas ofrecen la posibilidad de simplificar las relaciones complicadas entre dispositivos en una sola unidad conceptual. La relación entre el dispositivo de inicio y los nodos de destino se puede describir mediante el siguiente conjunto —> {iniciador, target1, target2, etc}. Se lee como “el aumento o disminución en el dispositivo iniciador afecta a los nodos objetivo de la siguiente manera... (+ para aumentar/activar y - para disminuir/inhibir). El iniciador puede ser cualquier dispositivo o variable en el sistema siempre y cuando las flechas apoyen la designación. En otras palabras, puedes mostrar los efectos de cualquier dispositivo en cualquier otro dispositivo, siempre y cuando la ruta sea soportada por el diagrama. A menudo hay múltiples rutas por las que puede recorrer una señal.

2 consejos útiles a tener en cuenta al interpretar una gráfica de incidencia:

1. Siempre viaje de cola a cabeza (o de fuente a objetivo) cuando atraviese el gráfico desde el dispositivo de inicio hasta el dispositivo designado. Ten en cuenta que es posible tener puntas de flecha y/o barras perpendiculares apuntando en ambas direcciones entre dos dispositivos.

2. Las barras de punta de flecha no siempre significan aumento ya que las barras perpendiculares no siempre significan disminución. Las barras de punta de flecha indican que el efecto de realizar una acción al dispositivo en la cola de la barra produciría el mismo efecto al dispositivo en la cabeza de la barra. Las barras penpendiculares indican que el efecto de realizar una acción al dispositivo en la cola de la barra produciría el efecto inverso al dispositivo en la cabeza de la barra.

El siguiente es un ejemplo sencillo de una gráfica de incidencia. A partir de este punto nos referiremos a los círculos de abajo como “nodos”. Los nodos son los dispositivos o variables seleccionados en un sistema de control.

Esta gráfica de incidencia indica que:

a. Un cambio en un aspecto de 1 cambiará algún aspecto del dispositivo 2 en la misma dirección, de lo contrario escrito como {+, +}

Los extremos indican la dirección de influencia así como el tipo de influencia.

Esta gráfica de incidencia indica que:

1. aumento en un aspecto de 2 (iniciador) disminuye algún aspecto de 1 (objetivo)
2. indicado por {+, -}

Este siguiente ejemplo se basa en los dos anteriores...

Esta gráfica de incidencia indica que:

Dado un orden arbitrario de 3,1,2, un aumento en 3 (iniciador) hará que 1 (objetivo) suba. El aumento de 1 hará entonces que 2 disminuyan. La representación simbólica para esto sería {+, +, -}. Se puede ver que este diagrama muestra cómo el nodo 3 influye en todo lo que está directa e indirectamente conectado a él.

Ahora, dado un orden 1,2,3, el nodo uno se convierte en el iniciador. La representación simbólica cambia entonces a {+, -, -}. NOTA: el último nodo se ve afectado negativamente porque se muestra que el impacto de 2 en 3 aumenta cuando 2 aumenta. Pero como 1 disminuye 2, ¡entonces lo contrario es cierto!

El objetivo principal de estos diagramas es determinar el efecto que un cambio en el nodo de inicio tiene sobre otro nodo del sistema. Sin embargo, en algunos casos, se puede seguir una ruta que termina en el nodo de inicio para verificar la ambigüedad. Por ejemplo, el orden 1,2,3,1 arroja un resultado de {+, -, -, -}. Dado que el aumento del nodo 1 no puede causar una disminución en sí mismo, es ambiguo.

Los gráficos de incidencia para sistemas de controles complejos generalmente indicarán que hay varias formas para que un dispositivo influya en otro dispositivo en el sistema.

Múltiples rutas

Recuerde que estos se hacen con respecto a los aumentos en el valor de un nodo. Entonces, si una ruta te lleva a un punto donde disminuyes un nodo, entonces tienes que hacer lo contrario de lo que indica el diagrama para todos los pasos posteriores a eso (para esa ruta).

La gráfica de incidencia indica:

1. Para un pedido {1,2,3}: observas {+, -, -}... recuerda no contar nodo inicial dos veces...

2. Para un pedido {1,3}: observas {+, +}

Consistente, Inconsistente y Parcialmente Consistente

A la hora de diseñar controles para sistemas siempre es importante tener en cuenta la necesidad de redundancia y control de retroalimentación. La redundancia en un sistema asegurará que un sistema sea monitoreado por múltiples controladores. Entonces, si un controlador fallara habría otro para asegurar el mismo resultado deseado. Se pueden usar gráficas consistentes para describir la redundancia. El control de retroalimentación también es muy importante y no es bueno que el sistema reaccione exageradamente a estímulos externos. Se desea una respuesta controlada. Se pueden usar gráficas inconsistentes para describir el control de retroalimentación. Adicionalmente, existen sistemas que necesitan ser redundantes y controlados por retroalimentación y estos pueden describirse con gráficos parcialmente consistentes.

Gráficas Consistentes

Las rutas consistentes ocurren cuando todas las rutas del mismo nodo de inicio, que conducen al mismo nodo de destino, dan la misma salida.

Por ejemplo,

Todas las rutas posibles desde el nodo 1 hasta el nodo de destino 4 producen la misma salida. Estas se llaman vías consistentes.

Trayectorias	Serie de letreros
1,4	(+, -)
1,2,4	(+, +, -)
1,3,4	(+, +, -)

De la tabla y gráfica anteriores, todas las rutas del nodo 1 al nodo 4 producen el mismo resultado. Se está disminuyendo el nodo 4.

Un gráfico consistente se compone solo de vías consistentes para todas las rutas posibles entre cualquier combinación de dos nodos. La gráfica a continuación es un ejemplo de una gráfica consistente.

Trayectorias	Serie de letreros
1,2,3	(+, +, -)
1,3	(+, -)
3,1,2	(+, -, -)
3,2	(+, -)
1,3,1	(+, -, +)
1,2,3,1	(+, +, -, +)
3,2,3	(+, -, +)
3,1,3	(+, -, +)
3,1,2,3	(+, -, -, +)

Todas las vías que van desde el nodo 1 hasta el nodo 3 -

1,2,3: (+, +, -)
1,3: (+, -)

Dado que las dos vías causan el mismo cambio al nodo 3, esta sub-ruta es consistente.
Todas las vías que van desde el nodo 3 y hasta el nodo 2 -

3,1,2: (+, -, -)
3,2: (+, -)

Dado que las dos vías causan el mismo cambio en el nodo 2, esta sub-ruta es consistente.

Todas las vías que conducen desde el nodo 1 y de regreso al nodo 1 -

1,3,1: (+, -, +)
1,2,3,1: (+, +, -, +)

Dado que las dos vías dan como resultado el mismo cambio al nodo 1, esta sub-ruta es consistente.

Todas las vías que conducen desde el nodo 3 y de regreso al nodo 3 -

3,2,3: (+, -, +)
3,1,3: (+, -, +)
3,1,2,3: (+, -, -, +)

Dado que las tres vías dan los mismos efectos al nodo 3, esta sub-ruta es consistente.

Debido a que todas las sub-vías de esta gráfica de incidencia son consistentes, todo el proceso es consistente.

La tabla que se muestra a continuación da ejemplos de muchos diagramas de incidencia diferentes y muestra si son consistentes o no.

Otro tipo de gráfica consistente es aquella en la que las válvulas del sistema no dependen entre sí para la retroalimentación. En otras palabras, no hay proporción de la señal de salida de una válvula particular de un sistema que se pasa a la entrada de otra válvula. Un ejemplo de esto sería considerar el siguiente diagrama de proceso:

Este proceso es de una columna de destilación en la que las columnas inferiores recogen líquidos de alta intensidad y el líquido se retira de una serie de evaporadores. El evaporador es un evaporador de efecto único equipado con un intercambiador de calor simple, un recipiente de separación y un eyector de chorro de vapor para suministrar el vacío. El producto se envía luego a un horno donde se seca y se envía al fabricante. Es tarea del ingeniero químico crear un gráfico de incidencia consistente en el que las válvulas en el diagrama no dependan de la retroalimentación de cada uno. Un ejemplo de esto está a continuación:

Trayectorias	Serie de letreros
V1, TI, PI, TI	(+, +, +, +)
V2, TI, PI, TI	(+, -, -, -)
V3, PI, TI, PI	(+, -, -, -)

Con base en la tabla anterior, el gráfico de incidencia es consistente porque las válvulas no son dependientes entre sí para la retroalimentación.

Gráficas inconsistentes

Las rutas inconsistentes ocurren cuando las rutas del mismo nodo de inicio, que conducen al mismo nodo de destino, dan una salida diferente.

Por ejemplo,

Las rutas desde el nodo 1 al nodo objetivo 4 no producen el mismo resultado. Estos se llaman vías inconsistentes.

Trayectorias	Serie de letreros
1,4	(+, +)
1,2,4	(+, +, -)
1,3,4	(+, -, +)

De la tabla y gráfica anteriores, todas las rutas del nodo 1 al nodo 4 no dan el mismo resultado. El nodo 4 está siendo disminuido mientras que simultáneamente se incrementa.

Un gráfico inconsistente se compone solo de vías inconsistentes para todas las rutas posibles entre cualquier combinación de dos nodos. La gráfica a continuación es un ejemplo de una gráfica inconsistente.

Trayectorias	Serie de letreros
1,2	(+, +)
1,3,2	(+, -, -)
1,2,1	(+, +, -)
1,3,2,1	(+, -, -, +)

Todas las vías que van desde el nodo 1 al nodo 2 -

1,2: (+, +)
1,3,2: (+, -, -)

Dado que las dos vías causan diferentes cambios en el nodo 2, esta sub-ruta es inconsistente.

Todas las vías que conducen desde el nodo 1 y de regreso al nodo 1 -

1,2,1: (+, +, -)
1,3,2,1: (+, -, -, +)

Dado que las dos vías causan diferentes cambios en el nodo 1, esta sub-ruta es inconsistente.

Debido a que todas las sub-vías en esta gráfica de incidencia son inconsistentes, la gráfica de incidencia es inconsistente.

Gráficas parcialmente consistentes

Las gráficas parcialmente consistentes están compuestas por vías consistentes e inconsistentes. Si aumenta el nodo 1, todas las rutas que conducen al nodo 4 provocan una disminución en el nodo, lo que significa que es una ruta consistente. Si se incrementa el nodo 1, una ruta que conduce al nodo 2 provoca un aumento y otra ruta provoca una disminución en el nodo. Este es un camino inconsistente. Dado que este modelo contiene al menos una ruta consistente y una inconsistente, es un modelo parcialmente consistente.

Trayectorias	Serie de letreros
1,2,3,4	(+, +, +, -)
1,2,4	(+, +, -)
1,4	(+, -)
1,2	(+, +)
1,4,2	(+, -, -)

Todas las vías que van desde el nodo 1 al nodo 4 -

1,2,3,4: (+, +, +, -)
1,2,4: (+, +, -)
1,4: (+, -)

Dado que las tres vías causan el mismo cambio al nodo 4, esta sub-ruta es consistente.

Todas las vías que van desde el nodo 1 y hasta el nodo 2 -

1,2: (+, +)
1,4,2: (+, -, -)

Dado que las dos vías causan diferentes cambios en el nodo 2, esta sub-ruta es inconsistente.

En esta gráfica hay sub-vías que son consistentes e inconsistentes, por lo tanto la gráfica de incidencia es parcialmente consistente.

Resumen

El hecho de que un proceso sea inconsistente no significa que no se puedan lograr los resultados deseados. Todo lo que significa es que no se pueden lograr de manera consistente los resultados deseados. Tomemos el ejemplo del flujo de un producto final. En un proceso consistente, no importa qué camino se tome, el flujo del producto final siempre responderá igual, sea deseable o no. En un proceso inconsistente, cambiar el camino no siempre hará que el flujo del producto final cambie de la misma manera, sino que depende del camino tomado.

En total, los procesos inconsistentes no son malos. A menudo, los procesos serán muy complejos, contendrán muchas variables, y los procesos inconsistentes serán inevitables. Solo se debe tener cuidado con procesos complejos e inconsistentes para lograr resultados deseables.

Funcionó Ejemplo 1

Usted es ingeniero de procesos y se le ha asignado diseñar un control de procesos para un nuevo reactor. La condición óptima de operación para la reacción dentro del reactor es de 220 ^o C ± 10 ^o C. La reacción es exotérmica y a menudo pasa mucho más allá de la temperatura óptima. Es imperativo que la reacción no vaya por encima de 250 ^o C. El reactor tiene un calentador incorporado (H1) para mantener la temperatura a su temperatura óptima y una alimentación de agua de refrigeración para enfriar el reactor en caso de que la temperatura pase de 250 ^o C. El reactor también tiene instalado sensor de temperatura para monitorear la temperatura. Si la temperatura supera los 250 ^o C, el mecanismo deseado es aumentar el flujo de agua en la camisa de enfriamiento que rodea al reactor y apagar el elemento calefactor dentro del reactor hasta que alcance su temperatura óptima. Como mecanismo de redundancia de control, también se instala un sensor de presión dentro del reactor. El control de presión enviará señal a la alimentación de agua fría si la presión alcanza 1.2 atm, que es la presión crítica. Dibuje un gráfico de causalidad que gobierne la situación cuando la temperatura se calienta demasiado dentro del reactor. Base tu gráfica en las siguientes variables:

Nota: (Puede haber más de una solución correcta para el problema asignado)

1. temperatura
2. sensor de temperatura (T1)
3. alimentación de agua de enfriamiento (V3)
4. elemento calefactor (H1)
5. presión
6. sensor de presión (P1)

La alta temperatura 'activará' el sensor de temperatura, diciéndole que la temperatura ha superado la temperatura óptima y es necesario realizar una acción para devolverlo a la temperatura deseada. El sensor de temperatura abriría entonces la válvula para la alimentación de agua de refrigeración, lo que haría que el agua fluyera a través de la camisa. Esto da como resultado que la temperatura dentro del reactor disminuya. Lo contrario ocurre para el elemento calefactor. Una activación del sensor de temperatura se traduciría en una inhibición del elemento calefactor en la que el elemento calefactor dejaría de aumentar la temperatura del reactor. La temperatura y la presión están directamente relacionadas por la ley de gas ideal y por lo tanto se afectan entre sí en ambos sentidos. Así, para el mecanismo de redundancia de control, un aumento en la presión activaría el sensor de presión que luego activaría la alimentación de agua de enfriamiento para enfriar la temperatura del reactor.

Control lógico:

• SI T1 =< 220 ^o C, ENTONCES H1 está activado, ELSE H1 está desactivado
• SI T1 >= 250 ^o C, ENTONCES V2 y V3 están abiertos, ELSE V2 y V3 están cerca
• SI P1 >= 1.2 atm, ENTONCES V2 y V3 están abiertos, ELSE V2 y V3 están cerca

Funcionó Ejemplo 2

Después de completar la tarea de idear el control de temperatura, tu jefe te pidió que idearas un mecanismo para controlar el flujo de materias primas y productos. Dibuje un gráfico de causalidad que muestre las relaciones de retroalimentación negativa entre L1, V1 y V4 cuando el nivel dentro del reactor está aumentando (este es un ejemplo de una ruta inconsistente). Las condiciones normales de funcionamiento se muestran a continuación:

V1 es 50 gal/min, V1 suele estar abierto

V4 es 50 gal/min, V4 suele estar abierto

L1 es de 20 metros, L1 no debe ir por encima de 30 metros y no debe estar por debajo de 10 metros

El sensor de nivel monitorea la altura del fluido dentro del CSTR encamisado. Suponiendo que el nivel dentro del reactor aumenta constantemente, el sensor de nivel enviará una señal de retroalimentación negativa a V1 para disminuir el flujo de entrada.

Control lógico:

SI L1 > 30 metros, ENTONCES V1 está cerrado

SI L1 < 10 metros, ENTONCES V4 está cerrado

Funcionó Ejemplo 3

Determinar si la siguiente gráfica de causalidad es consistente, inconsistente o parcialmente consistente. Incluya su razonamiento.

Solución:

Todas las relaciones son consistentes. Cada variable 1,2,3,4 tiene una relación simple que es monótona entre las demás variables del conjunto.

Trayectorias	Serie de letreros
{1,2}	(+, -)
{1,2,3}	(+, -, -)
{1,3}	(+, -)
{1,4,3}	(+, +, -)
{1,4}	(+, +)
{2,1}	(+, -)
{2,3}	(+, +)
{2,1,3}	(+, -, +)
{2,1,4}	(+, -, -)
{4,3}	(+, -)

Referencias

• Woolf, Peter (2006). Una Mini-Guía de Gráficas Consistentes.
• Woolf, Peter (2006). Revisión de Términos.
• Angeli, David & Sontag, Eduardo D. (2003). Sistemas de Control Monotone.

Colaboradores y Atribuciones

• Autores: (26 de septiembre de 2006) Christopher Garcia, Anwar Stephens, Winardi Kusumaatmaja, Meng Yang Ng
• Administradores: (5 de septiembre de 2007) Alexander Voice, Andrew Wilkins, Ibrahim Oraiqat, Rohan Parambi