6.1: Modelo de tanque de sobretensión

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Introducción

Utilizados para regular los niveles de fluidos en los sistemas, los tanques de sobretensión actúan como depósitos de tubo vertical o de almacenamiento que almacenan y suministran el exceso de líquido. En un sistema que ha experimentado una oleada de fluido, los tanques de sobretensión pueden modificar las fluctuaciones en el caudal, la composición, la temperatura o la presión. Por lo general, estos tanques (o “tambores de sobretensión”) se encuentran aguas abajo de acueductos cerrados o alimentadores para ruedas de agua. Dependiendo de su ubicación, un tanque de sobretensión puede reducir la presión y el volumen de líquido, reduciendo así la velocidad. Por lo tanto, un tanque de compensación actúa como un control de nivel y presión dentro de todo el sistema.

Dado que el flujo al tanque de sobretensión no está regulado y el fluido que sale del tanque de sobretensión se bombea, el sistema puede etiquetarse como estado estacionario [MIT], pero el enfoque de una solución aproximada (a continuación) utiliza técnicas comúnmente adheridas al resolver problemas similares de estado estacionario.

La tecnología detrás de los tanques de sobretensión se ha utilizado durante décadas, pero los investigadores han tenido dificultades para encontrar una solución por completo debido a la naturaleza no lineal de las ecuaciones gobernantes. Las aproximaciones tempranas que involucran tanques de sobretensión utilizaron medios gráficos y aritméticos para proponer una solución, pero con la evolución de las técnicas de resolución computarizada, se pueden obtener soluciones completas. [Wiley InterScience].

Derivación de la ecuación diferencial ordinaria

Para modelar con precisión un tanque de sobretensión, se deben considerar los balances de masa y energía en todo el tanque. A partir de estas balanzas, podremos desarrollar relaciones para diversas características del tanque de sobretensión

Diagrama del sistema de tanque de sobretensión

instar tank2.jpg

Un tanque de sobretensión depende del sensor de nivel para determinar si se debe eliminar o no el fluido almacenado en el tanque. Esta salida regulada es bombeada en respuesta a cálculos realizados por un controlador que finalmente abre y cierra la válvula de control que libera el fluido del tanque.

Ecuaciones de gobierno del modelo de tanque de compensación

Los componentes de un tanque de sobretensión deben dividirse y evaluarse individualmente al principio, luego como un todo. Primero, se debe obtener la expresión para la corriente de entrada. La función sinusoidal simplista se utilizará como base para la expresión de un arroyo porque típicamente describe el patrón de mareas de un fluido de baja viscosidad, como el agua. El caudal, w, se dará en unidades de kg h ^-1.

\[w_{i}=a+b \sin (c \pi t) \nonumber \]

donde a y b son constantes determinadas por la circunstancia problemática específica.

Ahora se debe realizar un balance de masa en el tanque como sistema. Usando el concepto de que mass in = mass out, y asumiendo que el tanque es un cilindro perfecto desprovisto de desviaciones, se puede derivar una expresión:

\[\text{rate mass in} - \text{rate mass out} = \text{accumulated fluid in tank} \nonumber \]

Reescritura,

\[w_{i}-w_{o}=\rho \frac{d V}{d t} \nonumber \]

\[\frac{d h}{d t}=\frac{w_{i}-w_{o}}{\rho A} \nonumber \]

\[\int_{0}^{h} d h=\int_{0}^{t} \frac{w_{i}-w_{o}}{\rho A} d t \nonumber \]

\[h(t)-h_{o}=\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t} w_{i}-w_{o} d t \nonumber \]

Donde, en el momento$t=0$, la cantidad de fluido en el tanque de sobretensión es constante; así$h(0) = h_0$.

Sustituyendo la ecuación original por la corriente de entrada, w _i, en la expresión para la altura del tanque, h (t), se obtiene la ecuación gobernante para la altura del tanque:

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left[\left(a+b \sin (c \pi t)-w_{0}\right] d t\right. \nonumber \]

Integrando por partes,

\[h(t)=h_{o}+\frac{x}{\rho A}(1-\cos (c \pi t)) \nonumber \]

donde x se forma a partir de las constantes a y b durante la integración.

Usos secundarios de los tanques de sobretensión

Los tanques de sobretensión son los más utilizados para proteger los sistemas de los cambios en los niveles de fluidos; actúan como un reservorio que almacena y suministra el exceso de líquido. Además, los tanques protegen los sistemas de cambios dramáticos en la presión, la temperatura y la concentración. También pueden permitir que una unidad se apague para mantenimiento sin apagar toda la planta.

Presión

Puede haber momentos de alta presión, llamados choque de martillo, en un sistema cuando se detiene e inicia el flujo de líquido (incompresible). La energía que poseen los líquidos mientras viajan a través de tuberías puede clasificarse como potencial o cinética. Si el líquido se detiene rápidamente, el impulso que lleva el líquido debe ser redirigido a otra parte. Como resultado, las tuberías vibran de la fuerza reactiva y el peso de las ondas de choque dentro del líquido. En casos extremos, las tuberías pueden estallar, las juntas pueden desarrollar fugas y las válvulas y medidores pueden dañarse.

Las cantidades extremas de presión se amortiguan cuando el fluido ingresa a los tanques de compensación. El tanque de sobretensión actúa como un amortiguador para el sistema, dispersando la presión a través de un área mayor. Estos tanques permiten que un sistema ejecute sus tareas de manera más segura.

Temperatura

La temperatura de un fluido puede controlarse o cambiarse mediante el uso de un tanque de sobretensión. El tanque de compensación permite un cambio rápido en la temperatura del fluido. Esto se ejemplifica por el proceso de pasteurización; la leche necesita estar a alta temperatura por solo un corto período de tiempo, por lo que se expone a la alta temperatura y luego se mueve al tanque de sobretensión donde se puede almacenar y enfriar (ver tanque de sobretensión calentado).

Una sustancia puede ingresar al tanque de sobretensión a temperatura ambiente y se mezclará instantáneamente con el resto del tanque. Las sustancias que ingresan al tanque también subirán posteriormente para alcanzar la alta temperatura y luego saldrán rápidamente del tanque de sobretensión a partir de entonces.

Concentración

La concentración dentro del tanque de sobretensión se mantiene relativamente constante, por lo que el fluido que sale del tanque de sobretensión es el mismo que el fluido en el tanque. Esto es favorable cuando hay un gradiente de concentración en el fluido entrante al tanque de sobretensión. El tanque homogeneiza el fluido entrante, manteniendo la concentración de los reactivos igual en todo el sistema, eliminando así cualquier gradiente de concentración.

Ejemplo$\PageIndex{1}$: Modeling Surge Tank

Supongamos que vamos a diseñar un tanque de sobretensión que se ocupe de oscilaciones de flujo de +/- 40% durante un período de 10 minutos modelado por la siguiente ecuación:

\[w_{1}=500+200 \sin \frac{\pi t}{10} \label{1} \]

donde el flujo es m ³ h ^-1 y el tiempo en horas. Se desea que el caudal de salida, w _o, sea de 500 m ³ h ^-1.

El tanque de compensación mide 30m de altura y tiene un área de sección transversal de 5m ². La altura inicial del fluido (ρ = kg/m ³) es 10m.

Modele este ejemplo hipotético.
El tanque de sobretensión tiene controles de límite superior e inferior que abren o cierran la válvula si el nivel es demasiado alto o bajo. ¿Cuál es el punto de ajuste máximo más alto que se puede usar sin que el tanque de sobretensión se desborde?

Solución

\[\rho A \frac{d h}{d t}=w_{i}-w_{o} \label{2} \]

con$h(0)=h_{o} $.

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left(w_{i}(t)-w_{o}(t)\right) d t \nonumber \]

Sustituyendo la ecuación\ ref {1} en\ ref {2}, obtenemos

\[h(t)=h_{o}+\frac{2000}{\rho \pi A}\left(1-\cos \frac{2 \pi t}{20}\right) \label{3} \]

Para completar el diseño, debemos tener el área transversal A del tanque de sobretensión, esto se daría.

Si tuviéramos que aplicar la siguiente condición,

\[w_{i}-w_{o}=C \label{4} \]

y fueron a sustituir la Ecuación\ ref {4} en la Ecuación\ ref {2}, descubrimos

\[h(t)=h_{o}+\frac{C}{\rho A} t \label{5} \]

Usando el modelo de Microsoft Excel proporcionado, el punto de ajuste máximo más alto posible es de 23m. Medios:Modelo Surge Tank.xls

xample 1B Solution.jpg

Ejemplo$\PageIndex{2}$

En este ejemplo, simulamos fluctuaciones aleatorias que podrían observarse en un flujo de proceso del mundo real. Se utiliza una función de generación de números aleatorios (en MS Excel) para generar fluctuaciones pseudoaleatorias de 200 kg/h alrededor de un valor promedio de 1000 kg/h para la corriente de entrada, w _i (t) durante un periodo de 5 horas. El resultado es el siguiente:

y flujo data.JPG

Examine el efecto que estas fluctuaciones tienen en el nivel de fluido en tanques de sobretensión de varios volúmenes. Para variar el volumen, asumir tanques de altura constante h _max =20m, y variar el área de la sección transversal de A=1 m ² a A=5 m ². Utilice los siguientes parámetros para el tanque de sobretensión: Nivel inicial de fluido h ₀ =10m, ρ=1 kg/m ³, w ₀ =1000 kg/m ³, t ₀ =0 h y t _f = 5h.

Solución

En la solución al problema del primer ejemplo, se utilizó una función trigonométrica para simular fluctuaciones en la corriente de entrada, y se obtuvo una solución analítica a la ecuación diferencial. Dado que estamos usando una corriente de entrada fluctuante pseudoaleatoria en este ejemplo, resolveremos este problema a través de métodos numéricos. Usando los datos pseudoaleatorios para w _i (t), realizamos una integración numérica sobre la expresión previamente derivada:

\[h(t)=h_{o}+\frac{1}{\rho A} \int_{0}^{t}\left(w_{i}(t)-w_{o}(t)\right) d t \label{ex2:2} \]

Esta integración se realizó con la regla trapezoidal (en MS Excel, utilizando una ligera modificación del modelo Excel publicado), utilizando los parámetros especificados del tanque de sobretensión, con A=1 m ²^{, 2} m 2 y 5 m ² l. obtenido:

Vemos que al aumentar el volumen del tanque de sobretensión al aumentar el área de sección transversal A se reduce la magnitud de las fluctuaciones del nivel de fluido h en el tanque de sobretensión. Para A=1 m ² y 2 m ², se excede la capacidad del tanque de sobretensión y se desborda.

Ejemplo$\PageIndex{3}$

Un operador agrega rápidamente 50 galones de un tambor de agua a un tanque de sobretensión cilíndrico con un diámetro de 4 pies. El volumen inicial de líquido en el tanque es de 40 pies cúbicos y la altura total del tanque es de 5 pies. Los caudales de entrada y salida son inicialmente de 6 pies cúbicos por minuto. La resistencia tiene una relación lineal con la altura del líquido.

Derivar un modelo lineal de primer orden para la altura del tanque y determinar el valor de R para la salida
¿Se desbordará el tanque cuando se agrega el tambor?
Mostrar la altura h (t) después de agregar el tambor de agua; tratar el cambio en h (t) como instantáneo
¿La altura del tanque vuelve al estado estacionario? ¿Qué es?

Solución

Imagen

(a)

Supongamos que el operador agrega el agua a t = 0, así que cuando t < 0, el tanque está en estado estacionario que se puede describir como: q _IN − q _OUT = 0 (1)

Supongamos: $_ {OUT} =\ izquierda (\ frac {h} {R}\ derecha)$ donde R es la resistencia y h es la altura del líquido. El volumen inicial del tanque es:

$_ {SS} =\ pi\ izquierda (\ frac {d^ {2}} {4}\ derecha) h_ {SS}$

$0 =\ pi\ izquierda (\ frac {4^ {2}} {4}\ derecha) h_ {SS}$

Así: $_ {SS} =\ izquierda (\ frac {10} {\ pi}\ derecha) = 3.183 pies$

Sustituir $_ {IN} =\ izquierda (\ frac {6 ft^ {3}} {min}\ derecha)$ y $_ {OUT} =\ izquierda (\ frac {h_ {SS}} {R}\ derecha)$ en la ecuación 1 anterior:

0 = 6 − h _SS/R

$=\ izquierda (\ frac {h_ {SS}} {6}\ derecha) =\ izquierda (\ frac {0.531 min} {ft^ {2}}\ derecha)$

En el tiempo t > 0, los 50 galones (6.685 pies cúbicos) de agua se agregan al sistema lo que interrumpe el estado estacionario y la condición inicial correspondiente del sistema es:

V ₀ = V _SS + V _operador = 40 + 6.685 = 46.685 ft ³

$_0 =\ izquierda (\ frac {46.685} {4\ pi}\ derecha) = 3.7151 pies$

El modelo lineal dinámico correspondiente:

\[A\left(\frac{d h}{d t}\right)=q_{I N}-q_{O U T}=q_{I N}-\left(\frac{h}{R}\right) \label{ex2:2} \]

con condición inicial:$h_0 = 3.7151\,ft$

Después de agregar el tambor, h ₀ = 3.7151 el cual es inferior a 5 pies. El sistema no se desbordará a t ₀. Debido a que el nivel de líquido es mayor que el nivel de estado estacionario y $_ {fuera} =\ izquierda (\ frac {h} {R}\ derecha)$ , el caudal de salida será mayor que q _IN lo que empuja la caída del nivel de líquido. Como resultado, el agua no sobrefluirá.

Definir variables de desviación. h '= h − h _SS; q _IN' = q _IN − q _INSS = 0 y sustituirlo en la ecuación (2)

\[\\left ( \frac{dh'}{dt} \right )=q_{IN}'-\left ( \frac{h'}{R} \right )=-\left ( \frac{h'}{R} \right ) \nonumber \](3)

Resolver el modelo lineal anterior (Ecuación 3): (Ya sea por integración directa o transformada de laplace y transformada de lapace inversa)

$'=h_0'exp (-\ izquierda (\ frac {t} {AR}\ derecha))$ (4)

Ponga h '= h − h _SS en la ecuación 4:

$-h_ {SS} = (h_0-h_ {SS}) exp (-\ izquierda (\ frac {t} {AR}\ derecha))$

Entonces:

$=h_ {SS} + (h_0-h_ {SS}) exp (-\ izquierda (\ frac {t} {AR}\ derecha))$

$=3.183+ (0.5321) exp (-\ izquierda (\ frac {t} {AR}\ derecha))$

Sí. Desde

\[\lim _{t \rightarrow \infty} h=3.183+0.5321 \exp (-0.1499 t)=3.183 \mathrm{ft} \nonumber \]

que era el estado estable original

Rincón de Sage

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Referencias

Kundur, Prabha. Estabilidad y Control del Sistema de Potencia, McGraw-Hill 1994.
Cheng-Nan Lin y John S. Gladwell. Análisis de tanque de sobretensión no dimensional, Centro de Investigación del Agua del Estado de Washington, Universidad Estatal de Washington 1970.
Slocum, Stephen Elmer. Elementos de Hidráulica, McGraw-Hill 1915.
MIT OpenCourseWare. www.ocw.cn/ocwweb/quimical-engineering/10-450process-dynamics—operations—and-controlSpring2003/lecciones/index.htm. Diseño de un tanque de compensación para suavizar las fluctuaciones en el flujo. Definición de términos importantes de control de procesos
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Para más información sobre cuándo hacer referencia consulta la siguiente entrada de Wikipedia.

Colaboradores y Atribuciones

Autores: (6 de septiembre de 2007) Cara Canady, David Carpenter, Che Martinez, Jeremy Minty, Bradley Novak

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Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Modeling Surge Tank

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)