8.3: Optimización no lineal

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Andrew King, Edwin Yik, & Matthew Goh
University of Michigan

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Diversas condiciones y situaciones no se describen adecuadamente utilizando sistemas lineales. En este caso, se puede aplicar la optimización no lineal. A diferencia de la optimización lineal, la condición de funcionamiento óptima no existe en los límites.

Optimización cuadrática

\[f(x)=c-x^{T} b+\frac{1}{2} x^{T} A x\nonumber \]

Para optimizar, es necesario encontrar cuando el gradiente de f es igual a cero.

\[\nabla f(x)=0\nonumber \]

\[\nabla f(x)=b-A x\nonumber \]

\[x_{*}=A^{-1} b\nonumber \]

Puede ser posible resolver lo óptimo cuádruple x_* mediante una ecuación lineal, aproximada por una serie de Taylor.

\[f\left(x_{*}\right)=f(x)+\left(x_{*}-x\right)^{\prime} \nabla f(x)+\frac{1}{2}\left(x_{*}-x\right)^{\prime} \nabla \nabla f(x)\left(x_{*}-x\right)+\ldots\nonumber \]

Métodos iterativos

Cuando los métodos directos no pueden resolver la ecuación (es decir, A no es simétrico positivo definido), los métodos iterativos son posibles [1].

Al comenzar con una suposición inicial de quad x_i , un algoritmo puede conducir a una $cuádruple x_ {i+1}$ que satisfaga mejor la ecuación. A través de la iteración, teóricamente, $cuádruple x_\ infty=x$ .

Aplicaciones

Finanzas: Optimización de cartera
Empresas: Optimizar inventario
Ingeniería: Dinámica del cuerpo rígido
Bioquímica: Modelado cinético [2]

Ejemplo: Curvas 3D no lineales típicas

(Imagen de [1])

Como se observó, la condición óptima no existe necesariamente en el límite de la curva.

Ejemplo: Optimización cuadrática

\[f(x)=\vec{c}^{T} \vec{x}+\frac{1}{2} \vec{x}^{T} Q \vec{x}\nonumber \]

donde

\[\vec{c}^{T}=\left(c_{1}, c_{2}, \ldots, c_{n}\right)\nonumber \]

\[\vec{x}^{T}=\left(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}\right)\nonumber \]

Para un sistema cuadrático$n=2$, así,$Q$ (el término cuadrático constante) se define como una matriz simétrica de la siguiente manera.

\ [Q=\ left [\ begin {array} {ll}
Q_ {1} & Q_ {3}\\
Q_ {3} & Q_ {2}
\ end {array}\ derecha]\ nonumber\]

Por lo tanto, multiplicando el$f$,

\[f(x)=\left(c_{1} x_{1}+c_{2} x_{2}\right)+\frac{1}{2}\left(Q_{1} x_{1}^{2}+2 Q_{3} x_{1} x_{2}+Q_{2} x_{2}^{2}\right)\nonumber \]

Referencias

Lippert, Ross A. “Introducción a la optimización no lineal”. D.E. Shaw Research, 25 de febrero de 2008. http://www.mit.edu/~9.520/spring08/Classes/optlecture.pdf
Mendes, Pedro y Kell, Douglas B. “Optimización no lineal de vías bioquímicas: aplicación a la ingeniería metabólica y estimación de parámetros”. Revista de Bioinformática, Tomo 14, 869-883. 1998.
“Introducción a la optimización no lineal”. Laboratorio de Realización de Sistemas del Instituto Tecnológico de Georgia. www.Srl.Gatech.edu/Education/ME6103/NLP-Intro.ppt