1.0: Preludio a Modelos Matemáticos de Sistemas Físicos

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En este capítulo se describe el proceso de obtención de la descripción matemática de un sistema dinámico, es decir, un sistema cuyo comportamiento cambia con el tiempo. Se supone que el sistema está ensamblado a partir de componentes. El modelo del sistema se basa en las leyes físicas que rigen el comportamiento de diversos componentes del sistema.

Los sistemas físicos de interés para los ingenieros incluyen, por ejemplo, sistemas eléctricos, mecánicos, electromecánicos, térmicos y fluidos. Mediante el uso de la suposición de parámetros agrupados, su comportamiento se describe matemáticamente en términos de modelos de ecuaciones diferenciales ordinarias (ODE). Estas ecuaciones son no lineales, en general, pero se pueden linealizar sobre un punto operativo para fines de análisis y diseño.

Los modelos de componentes interconectados se ensamblan a partir de descripciones de componentes individuales. Los componentes en los sistemas eléctricos incluyen resistencias, capacitores e inductores. Los componentes utilizados en los sistemas mecánicos incluyen masas inerciales, resortes y amortiguadores (o elementos de fricción). Para los sistemas térmicos, estos incluyen capacitancia térmica y resistencia térmica. Para sistemas hidráulicos y de fluidos, estos incluyen capacidad de yacimiento y resistencia al flujo.

En ciertos sistemas físicos, las propiedades (o entidades) fluyen dentro y fuera de los límites del sistema, por ejemplo, un depósito hidráulico o una cámara térmica. La dinámica de tales sistemas es descrita por leyes de conservación y/o ecuaciones de equilibrio. En particular, supongamos que Q representa una propiedad acumulada,\(q_{in}\) y\(q_{out}\) representa las tasas de entrada y salida, entonces el modelo se describe como:

\[\frac{dQ}{dt}=q_{in}-q_{out}+g-c\]

donde\(g\) y\(c\) denotan la generación interna y el consumo de ese inmueble.

La transformada de Laplace convierte una ecuación diferencial lineal en una ecuación algebraica, que puede ser manipulada para obtener una descripción de entrada/salida descrita como una función de transferencia. La función de transferencia forma la base del análisis y diseño de sistemas de control utilizando métodos convencionales. En contraste, la teoría de control moderna se establece sobre el análisis de dominio temporal que involucra las ecuaciones de estado, que describen el comportamiento del sistema como derivadas de tiempo de un conjunto de variables de estado.

La linealización de modelos no lineales se logra mediante expansión de la serie Taylor sobre un punto crítico, donde el comportamiento lineal se restringe a la vecindad del punto crítico. La teoría de sistemas lineales está bien establecida y sirve como la herramienta básica para el diseño del controlador.