2.0: Preludio a modelos de función de transferencia

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En este capítulo se analizan los modelos de función de transferencia de sistemas físicos desarrollados en el Capítulo 1. La función de transferencia se obtiene mediante la aplicación de la transformada de Laplace a la descripción de la ecuación diferencial lineal del sistema. La función de transferencia, denotada por\(G\left(s\right)\), es una función racional de una variable de frecuencia compleja,\(s\). Dada la función de transferencia y una entrada\(u\left(s\right)\),, la respuesta del sistema puede calcularse como:

\[y\left(s\right)=G\left(s\right)u\left(s\right).\]

La función de transferencia es una relación de dos polinomios es s. Los ceros de la función de transferencia, es decir, aquellas frecuencias que producen respuesta cero del sistema, están representadas por las raíces del polinomio numerador. Los polos de la función de transferencia, es decir, aquellas frecuencias donde la respuesta del sistema es indefinida, están representados por las raíces del polinomio denominador.

La respuesta al impulso del sistema, es decir, su respuesta a una entrada unidad-impulso, contiene los modos naturales de respuesta del sistema. La respuesta natural incluye términos de la forma\(e^{p_it}\), donde\(p_i\) es un polo de la función de transferencia. La respuesta natural de un sistema estable se agota con el tiempo.

La respuesta de paso del sistema, es decir, su respuesta a una entrada de paso unitario, comprende respuestas tanto naturales como forzadas, donde la respuesta forzada es un valor constante. Una vez que la respuesta natural del sistema se agota, la salida alcanza un estado estacionario. La ganancia de CC del sistema denota su ganancia a una entrada constante.

La estabilidad del sistema se refiere a que el sistema se comporta bien y es predecible bajo diversas condiciones de operación. La estabilidad de entrada rebotada y salida (BIBO) se refiere a que la respuesta del sistema permanece finita para cada entrada finita, es decir,\(|y(t)|<N<\infty\) if\(|u(t)|<M<\infty\). La estabilidad BIBO requiere que los polos de la función de transferencia del sistema estén ubicados en la mitad izquierda abierta del\(s\) plano complejo.

La función de respuesta de frecuencia de un sistema, obtenida sustituyendo\(s=j\omega\) en la función de transferencia, caracteriza su respuesta a las entradas sinusoidales en el estado estacionario, que es una sinusoide en la frecuencia de entrada. Además, la magnitud de la respuesta es escalada por la ganancia de la función de transferencia del sistema evaluada a la frecuencia de entrada, y tiene una contribución de fase de la función de transferencia del sistema. La función de respuesta de frecuencia se puede visualizar en una gráfica de Bode.