7.5: Trabajo de flujo y potencia de flujo revisitados

Cuando se disminuye el volumen de un sistema cerrado,\(\mathrm{PdV}\) -se trabaja en el gas dentro del sistema. Del mismo modo, cuando la masa fluye hacia un sistema abierto, la masa dentro del sistema es comprimida por la masa entrante.

Al contar todos los mecanismos de trabajo posibles para transportar energía a través de los límites de un sistema, debemos prestar especial atención al trabajo realizado en un límite abierto (o de flujo), especialmente el\(\mathrm{PdV}\) trabajo realizado sobre la masa dentro del sistema abierto. El propósito de esta sección es proporcionar un desarrollo más detallado y una explicación del trabajo de flujo y la potencia de flujo.

Definiciones

Anteriormente definimos el trabajo de flujo y la potencia de flujo de la siguiente manera:

El trabajo de flujo es el\(\mathrm{PdV}\) trabajo (o trabajo de compresión) realizado sobre la masa en un sistema abierto como resultado de la masa que fluye hacia el sistema. (Aunque se define en términos de masa que fluye hacia un sistema, la masa que fluye fuera de un sistema tiene un efecto similar).

La potencia de flujo es la tasa de tiempo de hacer el trabajo de flujo.

Como se mostró anteriormente, los conceptos de trabajo de flujo y potencia de flujo son importantes en el desarrollo de una forma útil de la ecuación de conservación de energía para sistemas abiertos. Solo bajo casos extremadamente especiales tendremos algún interés en calcular el trabajo de flujo o la potencia de flujo.

Teorema del Valor Medio:

Si una función\(V(t)\) es continua para valores de\(t_{1} \leq t \leq t_{2}\) entonces hay un valor de\(V\) tal que\[\int\limits_{t_{1}}^{t_{2}} V(t) \ dt = V\left(t^{*}\right)\left[t_{2}-t_{1}\right] \nonumber \] donde\(t_{1} \leq t^{*} \leq t_{2}\)

Figura\(\PageIndex{1}\): Teorema del Valor Medio.

Sistemas con flujo másico

Considere un tanque rígido con una entrada como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\). El interior del tanque es un sistema abierto con un volumen constante (ver volumen dentro de las líneas discontinuas). La figura\(\PageIndex{2}\) muestra tres instantáneas de un sistema cerrado (la sustancia “gris”) que fluye hacia el tanque. Imagínese que el sistema cerrado es la masa que se ha teñido de “gris”. En el momento\(t_{1}\), el sistema cerrado se encuentra parcialmente fuera del tanque [ver Figura\(\PageIndex{2a}\)]. Poco tiempo después en el tiempo\(t_{2}\), el sistema cerrado ocupa el mismo volumen que el sistema abierto [ver Figura\(\PageIndex{2b}\)]. Aún más tarde en el momento\(t_{3}\), el sistema cerrado ocupa menos volumen que el sistema abierto [ver Figura\(\PageIndex{2c}\)].

a) Sistema cerrado que se mueve hacia el sistema abierto en\(t_{1} = t^* - \Delta t/2\)

b) El sistema cerrado coincide con el sistema abierto en\(t_{2} = t^*\)

c) El sistema cerrado se ha movido dentro del sistema abierto en\(t_{3} = t^* + \Delta t/2\)

Figura\(\PageIndex{2}\): Flujo de un sistema cerrado a un sistema abierto.

El\((\mathrm{PdV})\) trabajo de compresión realizado sobre la masa dentro del sistema cerrado durante el intervalo de tiempo\(t_{1}\) a\(t_{3}\) se calcula utilizando la ecuación básica para el\(PdV\) trabajo:\[W_{\text{in, } 1\text{-}3} = -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{1}}^{ V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{3}} P \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \nonumber \] dónde\(P\) está la presión en el límite móvil del sistema cerrado. Usando el teorema del valor medio del cálculo, podemos reescribir la Eq. \(\PageIndex{2}\)como\[W_{\text {in, } 1 \text{-} 3} = -\int\limits_{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{1}}^{V\kern-0.5em\raise0.3ex-_{3}} P \ d V\kern-1.0em\raise0.3ex- = -\tilde{P}\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{3} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) \nonumber \] donde\(P\) es una función del volumen del sistema cerrado\(V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{3}\),\(\tilde{P}=P \left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-\right)\) y\(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} \leq \tilde{V\kern-0.8em\raise0.3ex-} \leq V\kern-0.8em\raise0.3ex-_{3}\).

El cambio en el volumen del sistema cerrado se puede describir en términos del caudal volumétrico en el volumen de control como\[V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{3} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1} = -\int\limits_{t_{1}}^{t_{3}} \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {in}} \ dt = -\tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}\left(t_{3}-t_{1}\right) \nonumber \] dónde\(\tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}_{\text {in}} = \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}(\tilde{t})\) y\(t_{1} \leq \tilde{t} \leq t_{3}\).

Sustituyendo la Ec. \(\PageIndex{3}\)de nuevo en la Ec. \(\PageIndex{2}\)da una expresión para el trabajo realizado en el sistema cerrado a medida que se mueve hacia el tanque:\[W_{\text {in, } 1 \text{-}3} = -\tilde{P}\left(V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{3} - V\kern-1.0em\raise0.3ex-_{1}\right) = -\tilde{P}\left[-\tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}_{\text {in}} \left(t_{3}-t_{1}\right)\right] = \tilde{P} \tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}_{\text {in}} \left(t_{3}-t_{1}\right) \nonumber \] dónde\(\tilde{P}\) y\(\tilde{\dot{V}}\) se evalúan en\(\tilde{t}\) y\(t_{1} \leq \tilde{t} \leq t_{3}\).

El trabajo promedio por unidad de tiempo (potencia promedio) durante el intervalo de tiempo\(t_{1}\) a ahora se\(t_{3}\) puede escribir reordenando la Ec. \(\PageIndex{4}\)de la siguiente manera:\[\frac{W_{\text{in, } 1 \text{-} 3}}{t_{3}-t_{1}} = \frac{W_{\text{in, } 1 \text{-} 3}}{\Delta t} = \tilde{P} \tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}_{\mathrm{in}} \nonumber \] donde\(t_{3}-t_{1}=\left(t^{*}+\Delta t / 2\right)-\left(t^{*}-\Delta t / 2\right)=\Delta t\).

La potencia instantánea, a diferencia de la potencia promedio, se encuentra tomando el límite de la Ec. \(\PageIndex{5}\)como\(\Delta t \rightarrow 0\) da\[\dot{W}_{\text {flow, in}} = \displaystyle \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{W_{\text {in }, 1 \text{-} 3}}{\Delta t} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \tilde{P} \tilde{\dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}}_{\text {in}} = P \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {in}} \nonumber \]\[ \begin{aligned} \text{where} \quad & \dot{W}_{\text {in, flow}}= \text{the rate of energy transferred by flow work (flow power) into the closed system that occupies the open system at time } t. \\ & P= \text{the pressure at the boundary where the mass flows into the open system at time } t. \\ & \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {in}}= \text{the volumetric flow rate at the flow boundary at time } t. \end{aligned} \nonumber \]

Aunque la Eq. \(\PageIndex{6}\)es correcto, es una práctica estándar escribir la potencia de flujo (velocidad de trabajo de flujo) en términos del caudal másico. Recordemos que el caudal másico es producto de la densidad y del caudal volumétrico. Usando este resultado Eq. \(\PageIndex{6}\)se puede reescribir de la siguiente manera:\[\dot{W}_{\text {flow, in}} = P \dot{V\kern-0.8em\raise0.3ex-}_{\text {in}} = P\left(\frac{\dot{m}_{\text {in}}}{\rho}\right) = \dot{m}_{\text {in}}\left(\frac{P}{\rho}\right) \nonumber \]\[ \begin{aligned} \text{where} \quad & \dot{m}_{\text {in}}= \text{the mass flow rate at the inlet. } [\mathrm{kg} / \mathrm{s} \text{ and } \mathrm{lbm} / \mathrm{s}] \\ & \rho= \text{the density of the substance at the inlet. } [\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} \text{ and } \mathrm{lbm} / \mathrm{ft}^{3}] \\ & P= \text{the pressure at the inlet. } \left[\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}, \mathrm{kPa}\right., \text{ bar, and } \left.\mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{2}\right] \end{aligned} \nonumber \]

Un cambio final de variable se realiza tradicionalmente sustituyendo el volumen específico\(\upsilon\) por la densidad\(\rho\):\[\upsilon=\frac{1}{\rho} \nonumber \] donde el volumen específico tiene unidades de\(\mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg}\) o\(\mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lbm}\). Haciendo esta sustitución, obtenemos la forma tradicional para la potencia de flujo: La potencia de\[\dot{W}_{\text {flow, in}}=\dot{m}_{\text {in }} P \upsilon \nonumber \] flujo tiene las dimensiones de\([\text{Energy}]/[\text{Time}]\).

Sistemas con salida de flujo másico

Usando un desarrollo análogo al realizado para sistemas abiertos con flujo de masa, podemos demostrar que\[\dot{W}_{\text {flow,out }}=\dot{m}_{\text {out }} P v \nonumber \]

Sistemas con múltiples entradas y salidas

Un sistema abierto genérico se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). La tasa de transferencia de energía al sistema por trabajo de flujo (potencia de flujo en) es\[\dot{W}_{\text {flow, net in}} = \sum_{\text {inlets}} \dot{m}_{i}(P \upsilon)_{i}-\sum_{\text {outlets}} \dot{m}_{e}(P \upsilon)_{e} \nonumber \] Tenga en cuenta que la potencia de flujo para un sistema cerrado es cero ya que los caudales son idénticamente cero.

Figura\(\PageIndex{3}\): Sistema abierto con múltiples entradas y salidas.