7.9: Ciclos Termodinámicos

A medida que estudiamos el comportamiento de los dispositivos, descubriremos que uno de los procesos más importantes desde un punto de vista teórico y tecnológico es el ciclo termodinámico. Más específicamente nos ocuparemos del desempeño de tres tipos de ciclos termodinámicos: ciclos de potencia, ciclos de refrigeración y ciclos de bomba de calor. En esta sección, discutiremos las características básicas de un ciclo termodinámico, luego discutiremos tres formas de clasificar estos dispositivos, y finalmente consideraremos cómo medir su rendimiento.

7.9.1 Características y ejemplos clave

La revolución industrial fue impulsada en parte por el desarrollo de la máquina de vapor, un dispositivo que toma el “calor” de un incendio, entrega “trabajo” al entorno y opera como un ciclo. Nuestra sociedad moderna está poblada de máquinas y dispositivos que funcionan como un verdadero ciclo termodinámico o pueden modelarse como uno solo para fines de análisis. El moderno motor de combustión interna comenzó como, y todavía se modela como, ya sea un ciclo Otto, un ciclo Diesel o un ciclo combinado. La moderna planta de vapor de combustible fósil o nuclear se modela como un ciclo de Rankine. El moderno motor de turbina de gas, ya sea utilizado en un motor a reacción para propulsar una aeronave o como parte de una estación de pico de energía eléctrica de gas natural, tiene sus raíces en el ciclo Brayton. Algunos de los innovadores motores de combustión externa que actualmente se están considerando para automóviles y estaciones remotas de generación de energía en regiones remotas se basan en el ciclo Stirling. Uno de los ciclos teóricos más famosos discutidos en la física por su relación con la segunda ley de la termodinámica es el ciclo Carnot. Todos estos ciclos son ejemplos de ciclos de potencia.

Si ahora estás cansado de pensar en la generación de energía pero realmente te gusta relajarte en tu habitación con aire acondicionado, no has terminado con los ciclos. Las tripas de su acondicionador de aire de ventana se modelan como un ciclo mecánico de compresión de vapor. De hecho, la mayoría de los sistemas de refrigeración, ya sea que se usen para enfriar el aire de su casa, mantener la comida en su refrigerador o mantener frías esas vitrinas congeladoras en el supermercado, también son ciclos mecánicos de compresión de vapor. Si viajas en avión y disfrutas de una cabina fresca te has beneficiado de un ciclo de Brayton inverso. A veces te encontrarás con un refrigerador o aire acondicionado que requiere poca o ninguna electricidad pero necesita una llama de gas natural o propano para funcionar. Estos son ejemplos de ciclos de absorción. (Una empresa llamada Arkla solía fabricar este tipo de sistemas en Evansville. Eran especialmente populares antes de la electrificación rural y hoy están regresando). Y por último pero no menos importante, si tu casa tiene una bomba de calor, ¿adivina qué? Esto es típicamente un ciclo mecánico de compresión de vapor.

Ahora que has estado expuesto a lo mucho que depende nuestra sociedad de esta cosa llamada ciclo termodinámico, ¿qué es? Un ciclo termodinámico es un sistema cerrado que ejecuta una serie de procesos que periódicamente devuelven el sistema a su estado inicial.

Esto parece sencillo sobre todo cuando reconoces que es la base para estudiar todos los dispositivos esenciales descritos anteriormente. Dado que estamos limitados a sistemas cerrados, la forma de tasa de la ecuación de conservación de energía se convierte en la siguiente: la\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \] cual es válida en cualquier momento del ciclo. Volveremos a este equilibrio poco después de discutir la estructura física de los ciclos.

7.9.2 Clasificar ciclos

En cualquier discusión sobre los ciclos termodinámicos es útil poder clasificarlos. Presentaremos tres formas diferentes de clasificar los ciclos: fluidos de trabajo, estructura física y propósito.

Clasificación por Fluido de Trabajo

Si examina los diversos dispositivos mencionados anteriormente que operan como ciclos termodinámicos, descubre que todos operan cambiando las propiedades de una sustancia dentro del sistema cerrado. Esta sustancia se llama fluido de trabajo. Todos los ejemplos presentados anteriormente se agrupan en una de dos categorías. En los ciclos para el motor de automóvil o el motor a reacción, el fluido de trabajo sigue siendo un gas durante todo el ciclo. Estos son ejemplos de ciclos que operan con un fluido de trabajo monofásico. Los ciclos que forman la base para la mayoría de los refrigeradores y para las centrales eléctricas de vapor de combustible fósil cambian la fase del fluido de trabajo de un líquido a un vapor y luego de nuevo a un líquido en el ciclo. Estos son ejemplos de ciclos que operan con un fluido de trabajo bifásico. Estas distinciones no serán muy significativas para nosotros este trimestre; sin embargo, para el diseñador tienen un gran significado en la determinación del tamaño, peso, costo y desempeño de un ciclo específico.

Clasificación por estructura física

La mayoría de los dispositivos que funcionan como o pueden modelarse como un ciclo termodinámico tienen una estructura física que se ajusta a una de dos categorías: un ciclo cerrado, periódico o un ciclo de circuito cerrado, en estado estacionario. Estos se ilustran en la Figura\(\PageIndex{1}\).

a) Ciclo cerrado periódico (izquierda) b) Ciclo cerrado en estado estacionario (derecha)
Figura\(\PageIndex{1}\): Clasificación de ciclos termodinámicos por estructura física

El ciclo periódico cerrado se modela como una cantidad fija de materia contenida dentro de un dispositivo simple de cilindro de pistón [ver Figura\(\PageIndex{1}\) (a)]. Este ciclo se caracteriza por propiedades intensivas espacialmente uniformes que varían periódicamente con el tiempo. Este es el ciclo clásico que ha sido estudiado por los ingenieros desde hace años. Es el modelo para las primeras máquinas de vapor y sigue siendo el modelo para el moderno motor de combustión interna donde un gas se comprime y expande dentro de un motor de pistón.

El ciclo de circuito cerrado en estado estacionario se modela como una colección de dispositivos de estado estacionario que se conectan entre sí para formar un circuito cerrado de fluido como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (b). El circuito cerrado de fluido forma un sistema cerrado. Los dispositivos de estado estacionario que se utilizan comúnmente en estos ciclos son bombas, turbinas, compresores, intercambiadores de calor y válvulas. Este ciclo se caracteriza por propiedades intensivas espacialmente no uniformes que dependen de la posición en el circuito de fluido pero que no cambian con el tiempo. Este ciclo es el modelo para el moderno motor de turbina de gas, la moderna planta de energía de vapor y el moderno refrigerador y aire acondicionado.

Para investigar qué nos puede decir la conservación de energía sobre estos ciclos, aplicamos la forma de tasa del balance energético del sistema cerrado a cada tipo de ciclo y manipulamos adecuadamente:\[\frac{d E_{sys}}{dt} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \nonumber \]

\(\text{Closed-periodic cycle}\)

\(\text{Closed-loop, steady-state cycle}\)

\[ \begin{array}{l} \underbrace{\int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \left(\frac{d E_{sys}}{dt}\right) dt}_{\begin{array}{c} \text{Integrated over one period} \\ \text{of the cyle} \end{array}} = \int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \dot{Q}_{\text{net, in}} + \int\limits_{t}^{t + \Delta t_{\text{cycle}}} \dot{W}_{\text{net, in}} \\ \underbrace{\left. E_{sys} \right|_{t + \Delta t_{\text{cycle}}} - \left. E_{sys} \right|_{t}}_{=0. \text{ Why?}} = Q_{\text{net, in}} + W_{\text{net, in}} \\ 0 = Q_{\text{net, in}} + W_{\text{net, in}} \\ Q_{\text{net, in}} = -W_{\text{net, in}} = W_{\text{net, out}} \end{array} \nonumber \]

\[\begin{array}{l} \underbrace{ \cancel{\dfrac{d E_{sys}}{dt}}^{=0} }_{\begin{array}{c} \text{Steady-state} \\ \text{system} \end{array}} = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \\ { } \\ 0 = \dot{Q}_{\text{net, in}} + \dot{W}_{\text{net, in}} \\ \dot{Q}_{\text{net, in}} = -W_{\text{net, in}} = W_{\text{net, out}} \end{array} \nonumber \]

En ambos ciclos, descubrimos algo similar — La transferencia neta de calor (o tasa de transferencia) de energía al sistema equivale a la transferencia neta de trabajo (o tasa de transferencia) de energía fuera del sistema para el ciclo termodinámico.

Este resultado conduce a la interpretación común de un ciclo termodinámico como un dispositivo de conversión de energía para convertir la transferencia de calor de energía en transferencias de energía de trabajo.

Clasificación por Propósito

La experiencia ha demostrado que las transferencias de energía de trabajo son más valiosas que las transferencias de calor de energía. Esto significa que podemos hacer más cosas con una transferencia de energía de trabajo que con una transferencia de calor de energía. Debido a esto, elegiremos definir el propósito de un dispositivo en términos de la transferencia de trabajo de energía para el ciclo.

¿Qué opinas?

Se afirma que el trabajo es más valioso que la transferencia de calor. ¿Se te ocurre algún sistema y proceso que solo se pueda hacer mediante una transferencia de calor de energía? [Si puede, ¿podría redefinirse el sistema y reemplazar la transferencia de calor por una transferencia de trabajo de energía?]

Si la potencia neta o el trabajo fuera del ciclo es positivo, entonces llamamos al dispositivo un ciclo de potencia o motor térmico:\[\dot{W}_{\text {net, out }} \text { or }\left.W_{\text {net, out }}\right|_{\text {cycle}}>0 \quad \rightarrow \quad \text { Power cycle } \nonumber \] El propósito de un ciclo de energía es tomar una cantidad neta de energía por transferencia de calor del entorno y transferir de vuelta al entorno una red cantidad de energía como trabajo.

Si la potencia neta o el trabajo en el ciclo es positivo, entonces llamamos al dispositivo un ciclo de refrigeración o bomba de calor (a veces esto se llama ciclo de energía invertido):\[\dot{W}_{\text {net, in }} \text { or }\left.W_{\text {net, in }}\right|_{\text {cycle }}>0 \quad \rightarrow \quad \begin{array}{c} \text { Refrigeration or } \\ \text{ heat pump cycle } \end{array} \nonumber \] El propósito de un ciclo de refrigeración o bomba de calor es tomar una cantidad neta de energía por trabajo del y transferir una cantidad neta de energía por transferencia de calor de vuelta a los alrededores. Más específicamente, estos ciclos toman una cantidad de energía por transferencia de calor a baja temperatura y rechazan una mayor cantidad de energía por transferencia de calor a una temperatura más alta. Se construye un ciclo de refrigeración para maximizar la cantidad de energía que se puede transferir al ciclo mediante transferencia de calor a baja temperatura. Se construye un ciclo de bomba de calor para maximizar la cantidad de energía que se puede transferir fuera del sistema a alta temperatura.

7.9.3 Cuantificación del rendimiento del ciclo

Dado un ciclo específico, es útil poder cuantificar su desempeño para que podamos compararlo con otros ciclos que hacen lo mismo. Como ingeniero en funcionamiento, es posible que se enfrente a comprar una pieza de equipo de uno de varios fabricantes o proveedores. Si bien el producto de cada proveedor hace la misma tarea, sin duda tendrá un desempeño diferente. Así que necesitamos alguna manera de comparar el rendimiento entre proveedores.

Medida de Rendimiento (MOP)

A partir de nuestra discusión sobre el propósito de los ciclos, parecería que una forma de evaluar el desempeño de un ciclo es comparar dos cosas: lo que cuesta frente al producto o salida deseado.

Usando esta idea, podemos definir una medida de rendimiento (MOP) para un ciclo de la siguiente manera:\[MOP = \frac{\text { (Desired product or output) }}{\text { (What it costs to operate the cycle) }} \nonumber \] Si piensas en un ciclo como un dispositivo de conversión de energía, un nombre igualmente bueno para la medida de rendimiento sería una relación de conversión de energía (ECR). Estos términos serán utilizados indistintamente en este curso. Para ir más allá, debemos examinar cada ciclo y determinar qué constituye la salida deseada y el costo para operar el ciclo.

MOP para un ciclo de alimentación

Si ahora examina un ciclo de energía, puede identificar tres interacciones con el entorno: transferencia de calor al sistema, transferencia de calor fuera del sistema y una transferencia neta de trabajo de energía fuera del sistema (ver Figura\(\PageIndex{2}\)). Ahora, ¿cuál es la salida deseada y cuál es el costo de operar un ciclo de energía?

• ¿Salida deseada? \(\rightarrow\)Transferencia neta de trabajo de energía fuera del sistema.
• ¿Costo? \(\rightarrow\)Transferencia de calor de energía al sistema.

Figura\(\PageIndex{2}\): Ciclo de potencia o motor térmico.

Ante esta información, el MOP para un ciclo de potencia se denomina eficiencia térmica del ciclo\(\eta\) y se define de la siguiente manera:\[\eta = \frac{\dot{W}_{\text {net, out}}}{\dot{Q}_{\text {in}}} \leq 1 \quad\quad \begin{array}{c} \text{ Cycle } \\ \text { Thermal Efficiency } \end{array} \nonumber \] Como se indicó anteriormente, la eficiencia térmica puede tomar valores entre 0 y 1. El peor ciclo de energía sería aquel que tome y rechace una cantidad igual de energía por transferencia de calor y no produzca ninguna salida de energía. Por otro lado, el mejor ciclo de energía parecería ser aquel que intercambia energía por transferencia de calor con una sola fuente y convierte esta energía completamente en una salida de potencia. (Mostraremos en el siguiente capítulo que es imposible construir un ciclo de energía con una eficiencia térmica de uno.) Algunas de las mejores centrales eléctricas de vapor de combustible fósil solo tienen eficiencias de aproximadamente\(30 \%\).

¿Qué opinas?

La eficiencia térmica se define en términos de la transferencia de calor total al sistema. ¿Tendría sentido definirlo en términos de la transferencia neta de calor al sistema? ¿Por qué no?

MOP para un ciclo de refrigeración

Si ahora examina un ciclo de refrigeración, puede identificar tres interacciones con el entorno: transferencia de calor al sistema, transferencia de calor fuera del sistema y una transferencia neta de trabajo de energía al sistema (ver Figura\(\PageIndex{3}\)). Ahora, ¿cuál es la salida deseada y cuál es el costo de operar un ciclo de refrigeración?

• ¿Salida deseada? \(\rightarrow\)Transferencia de calor de energía al sistema.
• ¿Costo? \(\rightarrow\)Transferencia neta de trabajo de energía al sistema

Figura\(\PageIndex{3}\): Refrigeración o ciclo de bomba de calor.

Ante esta información el MOP para un ciclo de refrigeración se denomina Coeficiente de Rendimiento\(\mathrm{COP}_{\mathrm{ref}}\) y se define de la siguiente manera:\[0 \leq COP_{\text {ref}} = \frac{\dot{Q}_{\text {in }}}{\dot{W}_{\text {net, in}}} \quad\quad \begin{array}{c} \text { Coefficient of Performance } \\ \text { (Refrigeration Cycle) } \end{array} \nonumber \] Como se indicó anteriormente, el COP para un ciclo de refrigeración puede tomar valores mayores a cero. El peor ciclo de refrigeración sería aquel que no tome energía por transferencia de calor. Por otra parte, no parece haber límite superior en la COP. (Mostraremos en el siguiente capítulo que de hecho existe un límite superior en el valor COP para un ciclo de refrigeración).

MOP para una bomba de calor

Si examina un ciclo de bomba de calor, puede identificar tres interacciones con el entorno: transferencia de calor al sistema, transferencia de calor fuera del sistema y una transferencia neta de trabajo de energía al sistema (ver Figura\(\PageIndex{3}\)). Ahora, ¿cuál es la salida deseada y cuál es el costo de operar un ciclo de bomba de calor?

• ¿Salida deseada? \(\rightarrow\)Transferencia de calor de energía fuera del sistema.
• ¿Costo? \(\rightarrow\)Transferencia neta de trabajo de energía al sistema

Ante esta información, el MOP para un ciclo de bomba de calor se denomina Coeficiente de Rendimiento\(\text{COP}_{\text{HP}}\) y se define de la siguiente manera:\[1 \leq COP_{\mathrm{hp}} = \frac{\dot{Q}_{\text {out}}}{\dot{W}_{\text {net, in}}} \quad\quad \begin{array}{c} \text { Coefficient of Performance } \\ \text { (Heat Pump Cycle) } \end{array} \nonumber \] Como se indicó anteriormente el COP para un ciclo de bomba de calor puede tomar valores mayores a uno. El peor ciclo de la bomba de calor sería aquel que no toma energía por transferencia de calor y convierte toda la transferencia de trabajo en el sistema en transferencia de calor fuera del sistema. Por otra parte, no parece haber límite superior en la COP. (Mostraremos en el siguiente capítulo que de hecho existe un límite superior en el valor COP para cualquier ciclo de bomba de calor).

Una aplicación de MOP's

Las medidas de rendimiento se utilizan normalmente de una de dos maneras:

• se le pide que calcule el MOP para un ciclo específico dada toda la información necesaria.
• se le da el MOP y otra información, por ejemplo, capacidad de refrigeración (transferencia de calor a un ciclo de refrigeración), y luego se le pide que encuentre la otra transferencia de calor y transferencias de trabajo.

Aquí hay ejemplos de cada tipo de pregunta:

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El rendimiento medido de un ciclo de potencia indica que la transferencia de calor al ciclo es\(800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle}\) y la transferencia de calor fuera del ciclo es\(600 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle}\). Determinar la eficiencia térmica de este ciclo de potencia.

Solución

\[\left.\begin{array}{l} Q_{\text {in}} = 800 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle} \\ \mathrm{Q}_{\text {out}} = 600 \mathrm{~kJ} / \mathrm{cycle} \end{array}\right\} \rightarrow \left\{ \begin{array}{c} 0=Q_{\text {in}}-Q_{\text {out}}-W_{\text {net, out}} \\ W_{\text {net, out}}=Q_{\text {in}}-Q_{\text {out}} \\ W_{\text {net, out}}=(800-600) \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{cycle}} = 200 \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{cycle}} \end{array}\right\} \rightarrow \eta=\frac{W_{\text {net, out}}}{Q_{\text {in}}} = \frac{(200)}{(800)} = 0.25 \nonumber \]

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Una bomba de calor está diseñada para entregar transferencia\(10,000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{~h}\) de calor con un COP de\(4\). ¿Cuál es la potencia requerida para operar esta bomba de calor?

Solución

\[\left.\begin{array}{l} Q_{\text {out}}=10,000 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} \\ COP_{HP} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {out}}}{\dot{W}} \end{array}\right\} \quad \rightarrow \quad \dot{W}_{\text {net, in}} = \dfrac{\dot{Q}_{\text {out}}}{COP_{HP}} = \dfrac{\left(10,000 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}}\right)}{4} = 2,500 \ \dfrac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h}} \nonumber \]¿Cómo calcularía la tasa de transferencia de calor al sistema?

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

El aire está contenido en un dispositivo simple de pistón-cilindro y ejecuta un ciclo de tres pasos descrito en la tabla:

Estado 1	\(P_{1}=200 \mathrm{~kPa}; \quad T_{1}=27^{\circ} \mathrm{C}; \quad V_{1}=0.5 \mathrm{~m}^{3}\)
\(1 \rightarrow 2\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~kPa};\ quad T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0.5\ mathrm {~m} ^ {3}\)” class="LT-ENG-84366">Calentamiento de volumen constante
Estado 2	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~kPa};\ quad T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0.5\ mathrm {~m} ^ {3}\)” class="lt-eng-84366">\(P_{2}=400 \mathrm{~kPa}\)
\(2 \rightarrow 3\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~kPa};\ quad T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0.5\ mathrm {~m} ^ {3}\)” class="LT-ENG-84366">Expansión de temperatura constante (isotérmica)
Estado 3	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~kPa};\ quad T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0.5\ mathrm {~m} ^ {3}\)” class="lt-eng-84366">\(P_{3}=P_{1}\)
\(3 \rightarrow 1\)	\ (P_ {1} =200\ mathrm {~kPa};\ quad T_ {1} =27^ {\ circ}\ mathrm {C};\ quad V_ {1} =0.5\ mathrm {~m} ^ {3}\)” class="LT-ENG-84366">Compresión constante (isobárica)

Suponiendo que el aire puede ser tratado como un gas ideal con calores específicos a temperatura ambiente, determine lo siguiente:

(a) el trabajo y la transferencia de calor por unidad de masa para cada proceso, en\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\),

b) el trabajo neto y la transferencia neta de calor por unidad de masa para el ciclo, en\(\mathrm{kJ} / \mathrm{kg}\),

c) si el dispositivo es un ciclo de potencia (motor térmico) o un refrigerador,

(d) Calcule la Medida de Desempeño apropiada con base en su respuesta a (b).

Solución

\[ \begin{array}{c} \text{Closed system: Air inside piston}; \quad \Delta KE = 0; \quad \Delta PE = 0 \\ \Rightarrow \Delta U = Q_{\text{in}} + W_{\text{in}} \\ \text{Divide by } m \text{ to get:} \quad \boxed{\Delta u = q + w} \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{array}{c} \text{Since there is only } PdV \text{ work, } \quad W_{\text{in}} = - \int\limits_{1}^{2} P \ d V\kern-0.8em\raise0.3ex- \\ \text{Divide by } m \text{ to get:} \quad \boxed{w_{\text{in}} = - \int P \ d \upsilon} \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 1 \rightarrow 2: \text{ Constant Volume} \\ \Delta u &= q_{1 \text{-} 2} - \cancel{ w_{1 \text{-} 2}}^{=0} \\ w_{1 \text{-} 2} &= 0 \quad \text{ since } \upsilon = \text{a constant} \\[4pt] \text{Ideal gas model:} \quad \frac{P_2 \cancel{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_2}}{P_1 \cancel{V\kern-0.8em\raise0.3ex-_1}} &= \frac{\cancel{m} \cancel{R} T_{2}}{\cancel{m} \cancel{R} T_{1}} \\ \Rightarrow T_{2} &= \frac{P_2}{P_1} T_{1} = (2)(600 \mathrm{~K}) = 600 \mathrm{~K} \\[4pt] q_{1 \text{-} 2} &= u_{2} - u_{1} \\ &= C_{v} \left(T_{2}-T_{1}\right) \\ &= (0.718)(600-300) \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \boxed{q_{1 \text{-} 2} = 215.40 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 2 \rightarrow 3: \text{ Isothermal} \\ \Delta u &= C_{v} \cancel{\left(T_{2}-T_{1}\right)}^{=0} = 0 \\ \cancel{\Delta u}^{=0} &= q+w \\ q_{2 \text{-} 3} &= -w_{2 \text{-} 3} \\[4pt] w_{2 \text{-} 3} &= - \int\limits_{2}^{3} P \ d\upsilon \quad \text{ but } P=\frac{RT}{\upsilon} \\ w_{2 \text{-} 3} &= - \int\limits_{2}^{3} \frac{RT}{\upsilon} \ d\upsilon \\ w_{2 \text{-} 3} &= -RT_{2} \ln \left(\frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}}\right) \\[4pt] P_{3} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{2} \rightarrow \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}} &= \frac{P_{2}}{P_{3}} \quad \text{ where } P_{3} = P_{1} \\ \Rightarrow \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{2}} = \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{400}{200} &= 2 \\[4pt] w_{2 \text{-} 3} &= -(0.287)(600) \ln (2) \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \begin{array}{c} \boxed{ w_{2 \text{-} 3} = -119.36 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \\ \boxed{ q_{2 \text{-} 3} = 119.36 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} 3 \rightarrow 1: \text{ Isobaric Compression} \\ \Delta u &= q+w \\ w_{3 \text{-} 1} &= - \int\limits_{3}^{1} P \ d \upsilon \\ &= - \underbrace{P_{3}}_{= P_1} \left(\upsilon_{1} - \upsilon_{3}\right) \\ &= -P_{1} \upsilon_{1} \left(1 - \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{1}}\right) \\ &= -RT_{1} \left(1 - \frac{P_{2}}{P_{1}}\right) \\ \frac{\upsilon_{3}}{\upsilon_{1}} &= \frac{P_{2}}{P_{1}} \text{ since } P_{3} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{2}; \quad P_{3} = P_{1}; \quad \upsilon_{2} = \upsilon_{1} \\ &\Rightarrow P_{1} \upsilon_{3} = P_{2} \upsilon_{1} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \begin{array}{l} { } \\ w_{3 \text{-} 1} = -(0.287)(300)(1-2) \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \\ \boxed{ w_{3 \text{-} 1} = 86.10 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} } \end{array} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} q_{3 \text{-} 1} &= \left(u_{1}-u_{3}\right) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= C_{v} \left(T_{1}-T_{3}\right) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= \left(0.718 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}}\right)(300-600) - w_{3 \text{-} 1} \\ &= (-215.40 - 86.10) \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]

\[ \boxed{q_{3 \text{-} 1} = -301.50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}} \nonumber \]

a) Resumiendo estos resultados:

	\(q_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)	\(w_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)
\(1 \rightarrow 2\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(215.40\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(0\)
\(2 \rightarrow 3\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(119.36\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-119.36\)
\(3 \rightarrow 1\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-301.50\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(86.10\)
\[\mathbf{\sum} \nonumber \]	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(\mathbf{33.26}\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(\mathbf{-33.26}\)

b)\(q_{\text{net, in}} + w_{\text{net, in}} = 0. \) ¡Esto debe suceder para un ciclo!

c) Tipo de ciclo:\[ \begin{gathered} w_{\text{net, in}} = -33.26 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \\ \Rightarrow w_{\text{net, out}} = 33.26 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} > 0 \\ \text{Power cycle} \end{gathered} \nonumber \]

d) Basado en (c): ¡\[ \begin{aligned} \eta &= \frac{w_{\text{net, out}}}{q_{\text{gross, in}}} = \frac{33.26}{215.40 + 119.36} \\ &= 0.09935 \Rightarrow 9.935 \% \end{aligned} \nonumber \]Solo\(\simeq 10 %\) la energía aportada por la transferencia de calor se convierte en calor!

Comentarios:

1) La tabla es una característica esencial de este análisis. Nos permite verificar fácilmente nuestro trabajo.

2) Todo el análisis se realiza sobre una base por masa.

3) Este ciclo se presenta como un ciclo cerrado, periódico. En teoría, si pudiéramos construir dispositivos de estado estacionario para realizar estos tres procesos, podríamos tener un ciclo de ciclo cerrado y de estado estacionario.

Si invertimos la dirección de este ciclo, es decir\(1 \rightarrow 3 \rightarrow 2 \rightarrow 1\), entonces

	\(q_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)	\(w_{\text{in}} \ (\mathrm{kJ}/\mathrm{kg})\)
\(1 \rightarrow 3\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(301.50\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-86.10\)
\(3 \rightarrow 2\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-119.36\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(119.36\)
\(2 \rightarrow 1\)	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-215.40\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(0\)
\[ \mathbf{\sum} \nonumber \]	\ (q_ {\ texto {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(-33.26\)	\ (w_ {\ text {in}}\ (\ mathrm {kJ}/\ mathrm {kg})\) ">\(33.26\)

\[ w_{\text{net, in}} = 33.26 \ \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} > 0 \Rightarrow \text{Refrigeration cycle} \nonumber \]

\[ \begin{aligned} COP &= \frac{q_{\text{in, gross}}}{w_{\text{net, in}}} = \frac{119.36+215.40}{33.26} \\ &= 10.06 \end{aligned} \nonumber \]