9.2: Apéndice B- Dimensiones y Unidades
- Page ID
- 86267
B.1 Dimensiones y Unidades
Considera la siguiente afirmación matemática:\[L=3.00 \mathrm{~m} \nonumber \] En palabras podrías decir, “La longitud\(L\) son\(3.00\) metros”. Implícita en la expresión matemática hay una indicación tanto de una cantidad física como de su tamaño.
La naturaleza o descripción de una cantidad física se conoce como su dimensión. El tamaño de la cantidad física se expresa como un cierto número de cantidades de referencia estándar. Estos montos de referencia se conocen como unidades. En el ejemplo anterior, la dimensión es longitud y las unidades son metros. (Tenga en cuenta que el símbolo de unidad\(m\) "" es una entidad matemática, no una abreviatura.) Para cualquier dimensión dada, hay un número infinito de unidades posibles.
B.2 Sistemas de Unidades y Dimensiones
La experiencia ha demostrado que existe un conjunto de dimensiones independientes que pueden ser utilizadas para representar todas las cantidades físicas. Los miembros de este conjunto son conocidos como las dimensiones fundamentales (primarias). Una vez seleccionadas las dimensiones fundamentales, todas las demás cantidades físicas se describen en términos de dimensiones derivadas (secundarias).
Una vez elegidas las dimensiones fundamentales, es posible entonces seleccionar sus unidades correspondientes, las unidades base (primarias). Y como cabría esperar, las dimensiones derivadas tienen un conjunto correspondiente de unidades, las unidades derivadas (secundarias).
Existen muchos sistemas diferentes de unidades y dimensiones basados en la elección de dimensiones fundamentales. Dos de los sistemas de unidades más comunes son el sistema SI y el American Engineering System. En el Cuadro B.1 se muestran las unidades base para estos dos sistemas.
| Cantidad | Unidades Base SI | Unidades Base AES | ||
|---|---|---|---|---|
| Nombre | Símbolo | Nombre | Símbolo | |
| longitud | medidor | \(\mathrm{m}\) | pie | \(\mathrm{ft}\) |
| masa | kilogramo | \(\mathrm{kg}\) | Liba-Masa | \(\mathrm{lbm}\) |
| tiempo | segundo | \(\mathrm{s}\) | segundo | \(\mathrm{s}\) |
| corriente eléctrica | amperio | \(\mathrm{A}\) | amperio | \(\mathrm{A}\) |
| temperatura termodinámica | kelvin | \(\mathrm{K}\) | Rankine | \({ }^{\circ}\)R |
| cantidad de sustancia | mole | \(\mathrm{mol}\) | Liba-mole | \(\mathrm{lbmol}\) |
| intensidad luminosa | candela | \(\mathrm{cd}\) | candela | \(\mathrm{cd}\) |
B.3 Cálculos con Dimensiones y Unidades
Las unidades no proporcionarían problemas significativos si no tuviéramos que utilizarlas en los cálculos. Desafortunadamente, los errores unitarios son uno de los peores enemigos de un ingeniero. Aunque siempre parecen errores triviales en la escuela, en la práctica las consecuencias pueden ser catastróficas.
B.3.1 Homogeneidad dimensional
Todas las ecuaciones teóricamente derivadas que describen fenómenos físicos deben ser dimensionalmente homogéneas. Una ecuación es dimensionalmente homogénea si las dimensiones de ambos lados de la ecuación son las mismas y todos los términos aditivos tienen las mismas dimensiones.
B.3.2 Convertir Unidades
Los errores más comunes al usar unidades ocurren al convertir una cantidad física de un conjunto de unidades a otro conjunto. Cuando conviertes unidades no estás cambiando el tamaño de la cantidad física, solo el valor numérico asociado a las unidades en las que se mide.
La relación entre dos unidades para una misma dimensión se encuentra típicamente en un manual como una relación de equivalencia, como\(1 \mathrm{~ft}=12 \mathrm{~in}\). Obsérvese nuevamente que los símbolos unitarios son entidades matemáticas y no pueden descuidarse.
La clave para convertir unidades es recordar que multiplicar una expresión matemática por unidad (1) no cambia la magnitud de la expresión matemática. Un factor de conversión de unidades es igual a unidad y se puede construir a partir de una relación de equivalencia. El ejemplo B.1 muestra cómo convertir declaraciones de equivalencia en factores de conversión de unidades.
Convertir las relaciones de equivalencia dadas en factores de conversión de unidades.
\[ \begin{aligned} 1 \mathrm{~ft} = 12 \mathrm{~in} \quad\quad &\Rightarrow \quad\quad 1 = 12 \ \frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}} \\ 1 \mathrm{~slug} = 32.174 \mathrm{~lbm} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 32.174 \ \frac{\mathrm{lbm}}{\mathrm{slug}} \\ 1 \mathrm{~mol} = 0.001 \mathrm{~kmol} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 0.001 \ \frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm{mol}} \\ 1 \mathrm{N} = 1 \ \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \quad &\Rightarrow \quad 1 = 1 \ \frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \end{aligned} \nonumber \]
La columna izquierda muestra las relaciones de equivalencia de un manual y la columna derecha muestra los factores de conversión de unidades resultantes. Observe cómo sería matemáticamente incorrecto simplemente soltar los símbolos de unidad.
El ejemplo B.2 ilustra cómo realizar una conversión de unidad simple para presión, ahora que tenemos los factores de conversión de unidades.
Dada una presión de\(13.0 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2}\), convertir la presión a\(\mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{2}\).
\[ p = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} \times \left(12 \ \frac{\mathrm{in}}{\mathrm{ft}}\right)^{2} = 1872.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{ft}^{2}} \nonumber \]
Ahora convierta el valor de presión a\(\mathrm{N} / \mathrm{m}^{2}\).
\[p = 13.0 \ \frac{\mathrm{lbf}}{\mathrm{in}^{2}} \times \underbrace{\left(4.448 \ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{lbf}}\right)}_{1} \times \underbrace{\left(\frac{1 \mathrm{~in}}{0.0254 \mathrm{~m}}\right)^{2}}_{1} = 89,627 \ \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}^{2}} \nonumber \]
Si se hace, correctamente las unidades intermedias deben cancelar. Echa un vistazo a esto dibujando líneas a través de las unidades que cancelan.
El ejemplo B.2 es relativamente sencillo. A veces, sin embargo, te enfrentas a una conversión de unidades que parece ser tanto una unidad como una conversión de dimensión. Sin embargo, es imposible convertir dimensiones. El ejemplo B.3 demuestra este tipo de conversión de unidades.
La energía cinética por unidad de masa para una pelota de béisbol puede ser descrita por la expresión\(k e=(1 / 2) V^{2}\). Calcula la energía cinética por unidad de masa en kilojulios por kilogramo si la velocidad del beisbol es\(10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}\).
\[\begin{aligned} ke &= \frac{\mathrm{V}^{2}}{2} = \frac{\left(10 \ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^{2}}{2} = 50 \ \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \\[5pt] &= 50 \frac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}} \times \underbrace{\left[\frac{\left(\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right)}{\left(\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right)}\right]}_{1} = \left[50 \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}\right] \times \left[\frac{\dfrac{\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}}{\dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}}}\right] = 50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \times \frac{\left[\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right]}{\mathrm{kJ}} \\[5pt] &= 50 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \times \frac{\left[\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}^{2}}{\mathrm{~s}^{2}}\right]}{\mathrm{kJ}} \times \underbrace{\left[ \dfrac{\mathrm{kJ}}{1000 \mathrm{~J}} \right]}_{1} \times \underbrace{\left[\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{N} \cdot \mathrm{m}}\right]}_{1} \times \underbrace{\left[ \frac{\mathrm{N}}{\dfrac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}} \right]}_{1} = 0.050 \ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg}} \end{aligned} \nonumber \]
El procedimiento aquí fue multiplicar la cantidad calculada en la segunda línea por un factor de conversión unitario formado a partir de las unidades finales deseadas. Entonces solo era cuestión de masajear las unidades hasta que eliminamos todas menos las combinaciones deseadas. Si no hubiera sido posible lograrlo, entonces la conversión propuesta es realmente una conversión de dimensiones y eso es imposible.
B.4 Unidades de manejo en ecuaciones
Los errores unitarios también pueden ocurrir dentro de las ecuaciones al sustituir los valores numéricos en ecuaciones simbólicas. Para evitar este tipo de error debes seguir tres pasos:
- siempre anote las unidades con un número cuando sustituya en un valor numérico,
- anote sus factores de conversión de unidades y muestre el álgebra que cancela las unidades, y
- mostrar las conversiones de unidades como un paso separado.
El último paso no siempre es necesario, pero siempre es una buena idea cuando las conversiones son complicadas. Además, es un paso útil para los novatos. Este enfoque se demuestra en el Ejemplo B.4.
Un tanque contiene\(15 \mathrm{~mol}\) de un gas ideal. La presión en el tanque es\(1500 \mathrm{~kPa}\) y el volumen del tanque es\(10 \mathrm{~m}^3\). La constante de gas ideal es\(8.314 \mathrm{~kJ} / ( \mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K})\). Determinar la temperatura del gas en el tanque.
\[ \begin{aligned} & \text{The ideal gas equation is } pV = n \bar{R} T. \\ & \text{We solve for } T = \frac{pV}{n \bar{R}} \\ &\therefore T = \frac{pV}{n \bar{R}} = \frac{(1500 \mathrm{~kPa}) \times \left(10 \mathrm{~m}^{3}\right)}{(15 \mathrm{~kmol}) \times \left(8.314 \ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kmol} \cdot \mathrm{K}}\right)} = \frac{15000 \ \mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^{3}}{124.71 \ \dfrac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{K}}} \times \underbrace{\left[ \frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kPa} \cdot \mathrm{m}^{3}} \right]}_{1} = 120.3 \mathrm{~K} \end{aligned} \nonumber \]
Nuevamente, el cheque es para ver si las unidades correspondientes cancelan.
B.5 Peso y Masa
La gente confunde frecuentemente los términos peso y masa. El peso de un objeto es la fuerza ejercida por el campo gravitacional de la tierra sobre el objeto. Matemáticamente,\(W=m g\), donde\(m\) está la masa del objeto y\(g\) es la fuerza del campo gravitacional local. La intensidad del campo gravitacional local también se conoce como la aceleración local de la gravedad.
Los valores estándar para la intensidad del campo gravitacional local son\[g = 9.80665 \mathrm{~N} / \mathrm{kg} = 32.174 \mathrm{~lbf} / \mathrm{slug} = 1.000 \mathrm{~lbf} / \mathrm{lbm}. \nonumber \]
Los valores estándar para la aceleración local de la gravedad son\[g = 9.80665 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} = 32.174 \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2} . \nonumber \]
PRUEBA A TI MISMO: ¿Por qué estas dos interpretaciones para\(g\) llegar a números similares pero diferentes unidades?
Gran parte de la confusión sobre la masa y el peso se puede atribuir directamente al hecho de que las unidades de masa y fuerza en el Sistema Americano de Ingeniería se denominan “libras”. Para eliminar este problema, es muy recomendable que solo hables de libra-fuerza\((\mathrm{lbf})\) o de una libra-masa\((\mathrm{lbm})\). Nunca confundirías un newton con un kilogramo, pero luego tienen nombres diferentes. Desafortunadamente, todavía encontrarás “libra” y "\(\mathrm{lb}\)" utilizados frecuentemente para significar tanto masa como peso. Siempre acércate a las “libras” con precaución al hacer cálculos. Recuerde que el peso de un objeto es siempre una función de la fuerza del campo gravitacional local, pero su masa es independiente del campo gravitacional.
B.6 Problemas
Calcular la magnitud de las cantidades físicas en las unidades indicadas. Muestra todo tu trabajo, es decir, mostrar explícitamente el uso de los factores de conversión de unidades y cómo se cancelan las unidades. Si es imposible realizar las conversiones indicadas, por favor indique las razones por las que cree que este es el caso. [Pista: Con frecuencia es necesario descomponer una unidad secundaria en sus unidades primarias u otras unidades secundarias en el proceso de conversión a las unidades secundarias deseadas. Véase el Ejemplo B.3 en el Apéndice B de las notas ES201.]
a) Presión:\(100 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2} = \text{_______________ } \mathrm{N} / \mathrm{cm}^{2} = \mathrm{bar}\)
b) Energía por unidad de masa:\(2000 \mathrm{~Btu} / \mathrm{slug} = \text{_______________ } \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm} = \text{_______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \)
c) Producto de presión y volumen: [”\(\text{psi}\) "equivale a “libras-fuerza por pulgada cuadrada”\(\mathrm{lbf} / \mathrm{in}^{2}\)]
\(3000 \mathrm{~psi} \cdot \mathrm{ft} = \text{_______________ } \mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} = \text{_______________ } \mathrm{N} / \mathrm{kg} \)
En uno de los alunizajes, los astronautas recolectaron rocas lunares para estudiarlas en la tierra. El peso de las rocas medidas en la luna fue\(50 \mathrm{~lbf}\). La fuerza de la gravedad en la luna es\(1 / 6\) el valor en la tierra. (Muchas veces esto se afirma como “La aceleración de la gravedad en la luna es\(1 / 6\) el valor en la tierra”).
a) Determinar la masa de las rocas recolectadas en la luna, en\(\mathrm{lbm}\) y en babosas.
(b) Determinar la masa y el peso de las rocas de nuevo en la tierra, en\(\mathrm{lbm}\) y\(\mathrm{lbf}\), respectivamente.
c) Un reporte periodístico de un alunizaje posterior informa que los astronautas recolectaron “200 libras de rocas”. ¿Cuál, en su caso, información adicional necesitaría para especificar realmente la cantidad de rocas que trajeron de vuelta? (Tenga cuidado de hacer suposiciones implícitas.)
Las unidades para una cantidad física a menudo parecen estar en desacuerdo con la descripción utilizada para ellas. Un buen ejemplo son las unidades comunes para “energía por unidad de masa”. Mostrando todos los pasos, desarrollar y verificar el siguiente factor de conversión:\(1 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm} = 32.174 \mathrm{~ft}^{2} / \mathrm{s}^{2}\).
Tenga en cuenta que ambos\(\mathrm{ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{lbm}\) y\(\mathrm{ft}^{2} / \mathrm{s}^{2}\) son unidades correctas para\([\mathrm{energy}] / [\mathrm{mass}]\).
Calcular la magnitud de las cantidades físicas en las unidades indicadas. Muestra todo tu trabajo. [No se limite a buscar un factor de conversión de una sola unidad en una tabla.] Si es imposible realizar las conversiones indicadas, por favor indique las razones por las que cree que este es el caso.
a) Viscosidad Dinámica:\(15 \mathrm{~kg} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{s}) = \text{________________ } \mathrm{Pa} \cdot \mathrm{s} = \text{_______________ } \mathrm{slug} / \mathrm{ft} \cdot \mathrm{s} \)
b) Presión:\(100 \mathrm{~lbf} / \mathrm{in}^{2} = \text{________________ } \mathrm{lbf} / \mathrm{ft}^{2} = \text{________________ } \mathrm{bar}\)
c) Energía por unidad de masa:\(2000 \mathrm{~ft} \cdot \mathrm{lbf} / \mathrm{slug} = \text{______________ } \mathrm{ft}^{2} / \mathrm{s}^{2} = \text{______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} \)
d) Producto de presión y volumen específico:
\(3000 \mathrm{~bar} \cdot \mathrm{m}^{3} / \mathrm{kg} = \text{______________ } \mathrm{kJ} / \mathrm{kg} = \text{________________ } \mathrm{Btu} / \mathrm{s}\)
Los siguientes factores de equivalencia unitaria para el momento de inercia se copiaron de un libro de texto de controles estándar:\ [1\ mathrm {~lb}\ cdot\ mathrm {in}\ cdot\ mathrm {s} ^ {2} =386\ mathrm {~lb}\ cdot\ mathrm {in} ^ {2}\ quad\ text {and}\ quad 1\ mathrm {~g}\ cdot\ mathrm {cm}\ cdot\ mathrm {s} ^ {2} =980
\ mathrm {~g}\ cdot\ mathrm {cm} ^ {2}\ nonumber\]
Un examen rápido parece indicar algunos resultados extraños que son dimensionalmente inconsistentes, por ejemplo\(1 \mathrm{~in} \cdot \mathrm{s}^{2} = 386 \(\mathrm{~in}^{2}\) y\(1 \mathrm{~cm} \cdot \mathrm{s}^{2}=980 \mathrm{~cm}^{2}\). ¿Cómo puede ser esto? ¿Y si el autor hubiera distinguido entre\(\mathrm{lbf}\) (libra-fuerza) y\(\mathrm{lbm}\) (libra-masa) y entre\(\mathrm{g}_{\mathrm{f}}\) (gram-fuerza) y\(\mathrm{g}_{\mathrm{m}}\) (gramo-masa)? ¿Eso haría que las expresiones anteriores fueran dimensionalmente correctas? Por favor explique.
Una nave de alunizaje tiene una masa de\(5000 \mathrm{~lbm}\) en la superficie de la tierra.
a) Determinar la siguiente información cuando el objeto se encuentre en la superficie de la tierra:
- peso del objeto en\(\mathrm{lbf}\)
- masa de la masa objeto en babosas
(b) Determinar la siguiente información para el objeto cuando se asiente en la superficie de la luna si la fuerza de gravedad en la luna es\(1 / 6\) del valor en la tierra:
- peso del objeto en\(\mathrm{lbf}\)
- masa del objeto en\(\mathrm{lbm}\) y babosas
(c) Una unidad de fuerza poco utilizada, la poundal, se define por la siguiente expresión:\[1 \text { poundal } = 1 \mathrm{~lbm} \cdot \mathrm{ft} / \mathrm{s}^{2} \nonumber \] Determinar el peso del objeto en libras cuando se encuentra en la superficie de la tierra y la superficie de la luna.
Una nave de alunizaje tiene una masa de\(5000 \mathrm{~kg}\) en la superficie de la tierra.
a) Determinar la siguiente información cuando el objeto se encuentre en la superficie de la tierra:
- peso del objeto en newtons
- masa de la masa objeto en kilogramos.
(b) Determinar la siguiente información para el objeto cuando se asiente en la superficie de la luna si la fuerza de gravedad en la luna es\(1 / 6\) del valor en la tierra:
- peso del objeto en newtons
- masa del objeto en kilogramos.
(c) Aunque no es una unidad de medida estándar, a veces encontrarás fuerzas expresadas en términos de kilogramo-fuerza, e.g\(1 \mathrm{~kgf}=9.81 \mathrm{~kg} \cdot\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\). Determinar el peso del objeto en\(\mathrm{kgf}\) cuando está en la superficie de la tierra y la superficie de la luna.
Los ingenieros suelen definir unidades que facilitan su vida y simplifican los cálculos. Calcular la magnitud de las cantidades físicas en las unidades indicadas. Consulta un buen manual de ingeniería para encontrar las unidades de términos con las que no estás familiarizado. Muestra todo tu trabajo. [No se limite a buscar un factor de conversión de una sola unidad en una tabla.] Si es imposible realizar las conversiones indicadas, por favor indique las razones por las que cree que este es el caso.
a) Unidad de masa:\(1 \mathrm{~blob} = 1 \mathrm{~lbf} / \left(\mathrm{in} / \mathrm{s}^{2} \right)\)
\(100 \mathrm{~blobs} = \text{_______________ } \mathrm{lbm} = \text{_______________ } \mathrm{kg}\)
b) Unidades de volumen:\(\text{acre-foot}\)
\(10 \text{ acre-foot} = \text{_______________ } \mathrm{ft}^{3} = \text{_______________ } \mathrm{gal}\)
c) Unidad de área:\(\text{circular mils}\)
\(1000 \text{ circular mils} = \text{_______________ } \mathrm{in}^{2} = \text{_______________ } \mathrm{mm}^{2}\)
d) Unidad de resistividad eléctrica:\(\mathrm{microhms} \text{-} \mathrm{cm}\)
\(1000 \text{ microhms-cm} = \text{_______________ } \text{ohms-in} = \text{_______________ } \text{volt-cm} / \mathrm{amp}\)
e) Unidad de inductancia eléctrica:\(1 \mathrm{~henry} = 1 \text{volt-s} / \mathrm{amp}\)
\(100 \mathrm{~henrys} = \text{_________________ } \mathrm{joule} / \mathrm{amp}^{2} = \text{_________________ } \text{hp-s}^{3} / \mathrm{coulomb}^{2}\)
Las unidades de energía y poder ocurren frecuentemente en muchas formas diferentes. Calcular la magnitud de las cantidades físicas en las unidades indicadas. Muestra todo tu trabajo. [No se limite a buscar un factor de conversión de una sola unidad en una tabla.] Si es imposible realizar las conversiones indicadas, por favor indique las razones por las que cree que este es el caso.
a)\(100 \mathrm{~hp} = \text{_______________ } \mathrm{kW} = \text{_______________ } \mathrm{J} / \mathrm{s}\)
b)\(100 \text{ kW-h} = \text{_______________ } \text{hp-s} = \text{_______________ } \mathrm{J}\)
c)\(1000 \text{ lbf-in}^{3} = \text{_______________ bar-cm}^{2} = \text{_______________ ft-lbf}\)
d)\(1000 \mathrm{~J} = \text{_______________ N-m} = \text{_______________ Btu-h}\)
(e)\(1000 \mathrm{~Btu} = \text{_______________ J-ft} = \text{_______________ hp-h}\)