3.1: Equilibrio

\(\require{cancel} \let\vecarrow\vec \renewcommand{\vec}{\mathbf} \newcommand{\ihat}{\vec{i}} \newcommand{\jhat}{\vec{j}} \newcommand{\khat}{\vec{k}} \DeclareMathOperator{\proj}{proj} \newcommand{\kg}[1]{#1~\text{kg} } \newcommand{\lbm}[1]{#1~\text{lb}_m } \newcommand{\slug}[1]{#1~\text{slug} } \newcommand{\m}[1]{#1~\text{m}} \newcommand{\km}[1]{#1~\text{km}} \newcommand{\cm}[1]{#1~\text{cm}} \newcommand{\mm}[1]{#1~\text{mm}} \newcommand{\ft}[1]{#1~\text{ft}} \newcommand{\inch}[1]{#1~\text{in}} \newcommand{\N}[1]{#1~\text{N} } \newcommand{\kN}[1]{#1~\text{kN} } \newcommand{\MN}[1]{#1~\text{MN} } \newcommand{\lb}[1]{#1~\text{lb} } \newcommand{\lbf}[1]{#1~\text{lb}_f } \newcommand{\Nm}[1]{#1~\text{N}\!\cdot\!\text{m} } \newcommand{\kNm}[1]{#1~\text{kN}\!\cdot\!\text{m} } \newcommand{\ftlb}[1]{#1~\text{ft}\!\cdot\!\text{lb} } \newcommand{\inlb}[1]{#1~\text{in}\!\cdot\!\text{lb} } \newcommand{\lbperft}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft} } \newcommand{\lbperin}[1]{#1~\text{lb}/\text{in} } \newcommand{\Nperm}[1]{#1~\text{N}/\text{m} } \newcommand{\kgperkm}[1]{#1~\text{kg}/\text{km} } \newcommand{\psinch}[1]{#1~\text{lb}/\text{in}^2 } \newcommand{\pqinch}[1]{#1~\text{lb}/\text{in}^3 } \newcommand{\psf}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft}^2 } \newcommand{\pqf}[1]{#1~\text{lb}/\text{ft}^3 } \newcommand{\Nsm}[1]{#1~\text{N}/\text{m}^2 } \newcommand{\kgsm}[1]{#1~\text{kg}/\text{m}^2 } \newcommand{\kgqm}[1]{#1~\text{kg}/\text{m}^3 } \newcommand{\Pa}[1]{#1~\text{Pa} } \newcommand{\kPa}[1]{#1~\text{kPa} } \newcommand{\aSI}[1]{#1~\text{m}/\text{s}^2 } \newcommand{\aUS}[1]{#1~\text{ft}/\text{s}^2 } \newcommand{\unit}[1]{#1~\text{unit} } \newcommand{\ang}[1]{#1^\circ } \newcommand{\second}[1]{#1~\text{s} } \newcommand{\lt}{<} \newcommand{\gt}{>} \newcommand{\amp}{&} \)

Ingeniería estática es el estudio de cuerpos rígidos en equilibrio por lo que es apropiado comenzar por definir lo que queremos decir con cuerpos rígidos y lo que entendemos por equilibrio.

Un cuerpo es un objeto, posiblemente compuesto por muchas partes, que pueden ser examinadas como una unidad. En la estática, consideramos las fuerzas que actúan sobre el objeto en su conjunto y también lo examinamos con mayor detalle estudiando cada una de sus partes, que son cuerpos por derecho propio. La elección del cuerpo es una decisión de ingeniería basada en lo que nos interesa averiguar. Podríamos, por ejemplo, considerar todo un edificio de gran altura como un cuerpo con el propósito de diseñar los cimientos del edificio, y luego considerar cada columna y viga de la estructura para asegurarnos de que sean lo suficientemente fuertes como para desempeñar sus funciones individuales.

Un cuerpo rígido es un cuerpo que no se deforma bajo carga, es decir, un objeto que no se dobla, estira o tuerce cuando se le aplican fuerzas. Se trata de una idealización o aproximación porque ningún objeto en el mundo real se comporta de esta manera; sin embargo, esta simplificación todavía produce información valiosa. Dejarás caer la suposición del cuerpo rígido y estudiarás la deformación, el estrés y la deformación en un curso posterior llamado Fuerza de Materiales o Mecánica de Materiales. En ese curso realizarás análisis de cuerpos no rígidos, pero cada problema que hagas ahí comenzará con el análisis del cuerpo rígido que aprenderás a hacer aquí.

Un cuerpo en equilibrio no está acelerando. Como aprendiste en física, la aceleración es la velocidad de cambio de velocidad, y es una cantidad vectorial. Para movimiento lineal,

\[ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\text{.} \nonumber \]

Para un objeto en equilibrio\(\vec{a} = 0\) lo que implica que el cuerpo es estacionario o se mueve con una velocidad constante

\[ \vec{a} = 0 \implies \begin{cases}\vec{v}=0\\\vec{v}=C\end{cases}\text{.} \nonumber \]

La aceleración de un objeto está relacionada con la fuerza neta que actúa sobre él por la Segunda Ley de Newton

\[ \Sigma\vec{ F} = m \vec{a}\text{.} \nonumber \]

Entonces, para el caso especial del equilibrio estático, la ley de Newton se convierte en

\[\Sigma\vec{F} = 0\text{.}\label{SigmaF}\tag{3.1.1}\]

Esta sencilla ecuación es uno de los dos fundamentos de la estática de ingeniería.

Hay varias formas de pensar sobre esta ecuación. Al leerlo de izquierda a derecha dice que si todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo suman a cero, entonces el cuerpo estará en equilibrio. Si lo lees de derecha a izquierda dice que si un cuerpo está en equilibrio, entonces todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo deben sumar a cero. Ambas interpretaciones son igualmente válidas pero vamos a utilizar la segunda más a menudo. En un problema típico el equilibrio de un cuerpo implica que las fuerzas suman a cero, y utilizamos ese hecho para encontrar las fuerzas desconocidas que lo hacen así. Recuerda que aquí estamos hablando de adición de vectores, por lo que las sumas de las fuerzas deben calcularse usando las reglas de suma de vectores; ¡no obtendrás respuestas correctas si no puedes agregar vectores!

Utilizaremos todas las diferentes técnicas de adición de vectores introducidas en la Sección 2.6, lo que puede generar cierta confusión. No importa, matemáticamente, qué técnica uses pero parte del desafío y recompensa de la estática es aprender a seleccionar la mejor herramienta para el trabajo en cuestión; seleccionar la forma más simple, fácil, rápida o más clara de llegar a la solución. Lo harás mejor en este curso si puedes usar múltiples enfoques para resolver el mismo problema.

En el capítulo 5 agregaremos otro requisito para el equilibrio, a saber, la ecuación de equilibrio (5.3.2) que dice que las fuerzas que causan el movimiento rotacional y la aceleración angular\(\vec{\alpha}\) también deben sumar a cero, pero para los problemas de este capítulo la única condición que necesitaremos para el equilibrio es\(\Sigma\vec{F} = 0\text{.}\)