8.3: Cargas internas en un punto
- Page ID
- 86977
Esta sección cubre el procedimiento para calcular la fuerza normal interna, la fuerza cortante y el momento de flexión en un punto designado en un cuerpo rígido multifuerza.
Considere el marco que se muestra en la Figura 8.3.1 que consiste en miembros de dos fuerzas\(GD\)\(BE\text{,}\) y y miembros multifuerza\(AD\) y\(CF\text{.}\) Dado que no se proporciona información, podemos suponer que los componentes tienen un peso despreciable. La carga interna dentro de los miembros de dos fuerzas es puramente axial, pero los miembros multifuerza estarán sujetos al conjunto completo de cargas internas.
Figura 8.3.1. Un marco que soporta una carga en\(F\text{.}\)
Para encontrar las cargas internas en un punto determinado dentro de uno de los miembros, hacemos allí un corte imaginario.
La Figura 8.3.2 muestra el digrama de cuerpo libre del miembro\(AD\text{,}\) con un corte propuesto entre puntos\(D\) y\(C\text{.}\) El diagrama de cuerpo libre se muestra con reacciones para conexiones con clavijas en\(A\)\(C\) y fuerzas de los miembros de dos fuerzas en ubicaciones\(B\) y\(D\text{.}\)
Figura 8.3.2. La línea ondulada indica la ubicación del corte imaginario.
Luego separamos el diagrama de cuerpo libre del miembro en dos diagramas independientes de cuerpo libre, uno encima del corte y otro debajo. Esto es análogo a la técnica del Método de Secciones del Capítulo 6. Los diagramas de cuerpo libre para las dos secciones del miembro se muestran en la Figura 8.3.3. Las tres fuerzas internas están expuestas y etiquetadas\(V\text{,}\)\(N\text{,}\) y\(M\text{.}\) cualquiera de los dos diagramas de cuerpo libre se puede utilizar para resolver las fuerzas internas, por lo que es aconsejable elegir la más fácil. Reconocer cuál es más fácil requiere práctica, pero busca la pieza con valores más conocidos y menos desconocidos.
Figura 8.3.3. Las fuerzas internas son expuestas por el corte.
Tenga en cuenta que las cargas internas en el corte se dibujan en la dirección positiva de acuerdo con las convenciones de señal 8.2 para cargas internas, que actúan en dirección opuesta a cada lado del corte, y cancelan si el objeto se vuelve a juntar.
Esta técnica se puede utilizar para encontrar las cargas internas en cualquier punto dentro de cualquier objeto. En los ejemplos a continuación encontraremos las cargas internas en un punto específico en las vigas portadoras de carga.
Ejemplo 8.3.4. Cargas internas en una viga simplemente soportada.
Una viga de longitud\(L\) es soportada por un pasador en\(A\) y un rodillo en\(B\) y se somete a una fuerza horizontal\(F\) aplicada al punto\(B\) y una carga uniformemente distribuida en toda su longitud. La intensidad de la carga distribuida es\(w\) con unidades de [fuerza/longitud].
Encuentre las cargas internas en el punto medio de la viga.
- Contestar
-
En el punto medio de la viga,
\ begin {align*} A\ amp = F\\ V\ amp = 0\\ M\ amp = WL^2/8\ end {align*}
- Solución
-
1. Encuentra las reacciones externas.
Comience dibujando un diagrama de cuerpo libre de toda la viga, simplificado reemplazando la carga\(w\) distribuida por una carga concentrada equivalente en el centroide del rectángulo. La magnitud de la carga equivalente\(W\) es igual al “área” bajo la curva de carga rectangular.
\[ W = w(L) \nonumber \]
Luego aplique y simplifique las ecuaciones de equilibrio para encontrar las reacciones externas en\(A\) y\(B\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ Sigma M_A\ amp = 0\\ - (wL) (\ cancelar {L} /2) + (B)\ cancelar {L}\ amp = 0\\ B\ amp = Wl/2\\\\ Sigma F_x\ amp = 0\\ -A_x+F\ amp = 0\ A_x\ amp = F\\\ Sigma F_y\ = 0\\ a_y-wl +b_y\ amp = 0\\ a_Y\ amp = wl-wl/2\\ amp = wl/2\ final {alinear*}
2. Corta la viga.
Corte la viga en el punto de interés y separe la viga en dos secciones. Observe que como la viga se corta en dos, la carga distribuida también\(w\) se corta. Cada una de estas mitades de carga distribuida soportará cargas puntuales equivalentes de\(wL/2\) actuar a través del centroide de cada mitad de corte.
3. Sumar las fuerzas internas.
En cada corte, se expondrá una fuerza cortante, una fuerza normal y un momento de flexión, y estos deben incluirse en el diagrama de cuerpo libre.
En este punto, desconocemos las direcciones reales de las cargas internas, pero sí sabemos que actúan en direcciones opuestas. Supondremos que actúan en el sentido positivo según lo define la convención de signo estándar 8.2.
Las fuerzas axiales son positivas en tensión y actúan en direcciones opuestas en las dos mitades de la viga cortada.
Las fuerzas de corte positivas actúan hacia abajo al mirar el corte desde la derecha, y hacia arriba cuando se mira el corte desde la izquierda. Una definición alternativa de cizallas positivas es que las cizallas positivas causan rotación en el sentido de las agujas del reloj. Esta definición es útil si se trata de una columna vertical en lugar de una viga horizontal.
Los momentos de flexión son positivos cuando el momento tiende a doblar la viga en forma de U sonriente. Los momentos negativos doblan la viga en forma de ceño fruncido.
Para columnas verticales, los momentos de flexión positivos doblan una viga en forma de C y negativos en una forma de C hacia atrás.
Los diagramas finales de cuerpo libre se ven así.
Las vigas horizontales siempre deben haber asumido cargas internas en estas direcciones en el corte, lo que indica que se ha asumido cizallamiento positivo, fuerza normal positiva y momentos de flexión positivos en ese punto.
4. Resolver por las fuerzas internas.
Puede usar cualquiera de los dos FBD para encontrar las cargas internas usando las técnicas que ya ha aprendido. Entonces, con un sistema de\(xy\) coordenadas estándar, las fuerzas hacia la izquierda o hacia arriba son positivas al sumar fuerzas y los momentos en sentido antihorario son positivos al sumar momentos.
Usando el diagrama de cuerpo libre izquierdo y sustituyendo en las reacciones, obtenemos:
\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\\ -A_x+A\ amp = 0\\ A\ amp = A_x = F\\\\ Sigma F_y\ amp = 0\ A_y-wl/2-v\ amp = 0\ V\ amp = Wl/2 - Wl/2\ V\ amp = 0\\\ Sigma M_\ texto {corte}\ amp = 0\\ (Wl/2) (L/4) - (A_Y) (L/2) +M\ amp = 0\\ M\ amp = - WL^2/8 + WL^2/4\\ M\ amp = WL^2/8\ end {align*}
Usando el diagrama de cuerpo libre del lado derecho obtenemos:
\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\\ -A+F\ amp = 0\\ A\ amp = F\\\\ Sigma F_y\ amp = 0\\ v-wl/2+b_y\ amp = 0\ V\ amp = Wl/2 - B_y\\ V\ amp = Wl/2 - Wl/2\ V\ amp = 0\\\ Sigma M_\ texto {corte}\ amp = 0\\ -M- (L/4) (WL/2) + (L/2) (B_y)\ amp = 0\\ M\ amp = -W L^2/8 + WL^2/4\ M\ amp = WL^2/8\ final {alinear*}
Independientemente de qué lado se elija, obtenemos los mismos resultados para las cargas internas en el punto elegido.
Cuando resuelves para las cargas internas, los resultados pueden ser positivos, negativos o, a veces, cero. Los valores negativos indican que la dirección real de la carga es opuesta a la dirección asumida. Dado que asumimos que las tres cargas internas eran positivas según lo definido por la convención de signo estándar 8.2, una respuesta negativa significa que la carga realmente actúa en la dirección opuesta al vector que se muestra en el diagrama de cuerpo libre.
Ejemplo 8.3.5. Cargas internas en una viga en voladizo.
Considere una viga en voladizo que es soportada por una conexión fija\(A\text{,}\) y cargada por una fuerza vertical\(P\) y una fuerza horizontal\(F\) en el extremo libre\(B\text{.}\) Determine las cargas internas en un punto a una\(a\) distancia del extremo izquierdo.
- Pista
-
Si piensa en el futuro, es posible que no necesite encontrar las reacciones en\(A\text{.}\)
- Contestar
-
En el punto medio,
\ comenzar {reunir*} N = F\\ V = A_Y\\ M = - Pb\ final {reunir*}
- Solución
-
1. Determinar las reacciones.
Dibuje un FBD de todo el haz sin cortar y determinar las reacciones.
Observe que solo las cargas aplicadas y las reacciones de soporte están incluidas en esta viga sin cortar FBD. Las cargas internas solo se exponen y se muestran en un FBD después de cortar la viga.
Utilice este diagrama de cuerpo libre y las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas de reacción externas.
\ begin {alinear*}\ Sigma F_x\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ implica\ amp a_X\ amp = F\\ Sigma F_y\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ implica\ amp a_Y\ amp = P\\ Sigma M_A\ amp = 0\ amp\ amp\ amp\ implica\ amp M_A\ amp = PL\ end {align*}
2. Seccionar la viga.
Tome un corte en el punto de interés y dibuje un FBD de una o ambas partes. Intenta elegir el diagrama de cuerpo libre más simple. Si un lado no tiene reacciones externas, entonces puedes saltarte el paso anterior si eliges ese lado.
Los diagramas de cuerpo libre de ambas porciones se han dibujado con las cargas internas indicadas en la dirección positiva definida por la convención de signo estándar 8.2.
La fuerza axial se muestra en tensión en ambas partes. Esta fuerza ha sido nombrada\(\vec{N}\) por lo que su nombre no entra en conflicto con las fuerzas en el punto\(A\text{.}\)
La fuerza de corte\(\vec{V}\) es positiva cuando la cizalla es hacia abajo en la cara derecha del corte y hacia arriba en la cara izquierda.
el momento de flexión\(\vec{M}\) es positivo si la dirección de flexión tendería a doblar la viga en una curva cóncava hacia arriba.
Siempre asuma que las cargas internas desconocidas actúan en la dirección positiva definida por la convención de signo estándar.
3. Resuelva para las cargas internas.
Resuelve para las tres cargas internas desconocidas.
\ comenzar {reunir*}\ Sigma F_x = 0\ implica N = F\\ Sigma F_y = 0\ implica V = a_Y\\ Sigma M_\ texto {corte} = 0\ implica M = - Pb\ final {reunir*}
Una vez que haya encontrado las reacciones y dibujado un diagrama de cuerpo libre de la porción más simple con la fuerza normal, la fuerza cortante y el momento de flexión asumidos positivos, luego resuelve los valores y signos desconocidos como cualquier otro problema de equilibrio.
Este flujo de trabajo suele incluir:
- Establecer un sistema de\(y\) coordenadas horizontal\(x\) y vertical.
- Tomando un corte en el punto de interés.
- Suponiendo que la fuerza interna actúe en la dirección positiva y dibujando un diagrama de cuerpo libre en consecuencia
- Usar\(\Sigma F_x=0\text{,}\)\(\Sigma F_y=0\text{,}\) y\(\Sigma M_z=0\) resolver para las tres cargas internas desconocidas.
La fuerza de cizallamiento, la fuerza\(V\text{,}\) normal\(N\text{,}\) y el momento de flexión\(M\) son componentes escalares y pueden ser positivos, cero o negativos dependiendo de las cargas aplicadas. Los signos de los componentes escalares junto con la convención de signos para cargas internas establecen las direcciones reales de los vectores de fuerza cortante, fuerza normal y momento de flexión.
Carga Interna Interactiva
La carga interna dentro de una viga depende de la carga que soporta la viga y difiere de un punto a otro. Esta viga simplemente soportada soporta una carga uniformemente variable. El interactivo traza el valor del momento de cizallamiento y flexión a medida que se mueve el punto ¿\(C\text{.}\)Se puede deducir la relación entre la carga triangular y el valor de la cizalla y el momento de flexión?
Este interactivo permite cambiar la ubicación de corte en una viga con una carga distribuida hacia abajo que varía de un máximo en el punto\(A\) a 0 en\(B\text{.}\) el punto La casilla de verificación corta la viga y expone las cargas internas. El punto móvil\(C\) traza el cizallamiento y el momento como funciones de\(x\text{.}\)