10.2: Momentos de inercia de formas comunes
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En las siguientes secciones usaremos las definiciones integrales de momento de inercia (10.1.3) para encontrar los momentos de inercia de cinco formas comunes: rectángulo, triángulo, círculo, semicírculo y cuarto de círculo con respecto a un eje especificado. Las técnicas de integración demostradas pueden ser utilizadas para encontrar el momento de inercia de cualquier forma bidimensional alrededor de cualquier eje deseado.
Los momentos de inercia dependen tanto de la forma como del eje. Preste atención a la colocación del eje con respecto a la forma, ya que si el eje está ubicado en otro lugar u orientado de manera diferente, los resultados serán diferentes.
Comenzaremos con el caso más simple: el momento de inercia de un rectángulo alrededor de un eje horizontal ubicado en su base. Este caso surge con frecuencia y es especialmente sencillo porque los límites de la forma son todos constantes.
Momento de inercia de un rectángulo
Considera el\((b \times h)\) rectángulo que se muestra. Este rectángulo está orientado con su esquina inferior izquierda en el origen y su esquina superior derecha en el punto\((b,h)\text{,}\) donde\(b\) y\(h\) son constantes.
¿Cuál es el momento de inercia de este rectángulo con respecto al\(x\) eje?
Para encontrar el momento de inercia, divida el área en elementos diferenciales cuadrados\(dA\) en\((x,y)\) donde\(x\) y\(y\) pueden oscilar sobre todo el rectángulo y luego evaluar la integral usando doble integración.
El elemento diferencial\(dA\) tiene ancho\(dx\) y alto\(dy\text{,}\) por lo que
\ begin {ecuación} dA = dx\ dy = dy\ dx\ text {.} \ tag {10.2.1}\ fin {ecuación}
Parecería que esta es una diferencia insignificante, pero el orden de\(dx\) y\(dy\) en esta expresión determina el orden de integración de la doble integral. Intentaremos en ambos sentidos y veremos que el resultado es idéntico.
Usando\(dA = dx\ dy\)
Primero, evaluaremos (10.1.3) usando\(dA = dx\ dy\text{.}\)
Si no estás familiarizado con la doble integración, brevemente puedes pensar en una doble integral como dos integrales simples normales, una 'dentro' y la otra 'exterior', que se evalúan una a la vez de adentro hacia afuera. Nuestra integral se convierte
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_a y^2 dA\\ amp =\ iint y^2\ underbrackets {dx\ dy} _ {dA}\\ amp =\ underbrackets {\ int_\ text {abajo} ^\ texto {arriba}\ underbrackets {\ left [\ int_\ text {left} ^\ text {right} y^2 dx\ right]} _\ texto {interior} dy} _\ texto {exterior}\ end {alinear*}
Los límites en las integrales dobles suelen ser funciones de\(x\) o\(y\text{,}\) pero para este rectángulo los límites son todas constantes. Los límites inferior y superior son\(y=0\) y\(y=h\text{;}\) los límites izquierdo y derecho son\(x=0\) y\(x = b\text{.}\) Tenga en cuenta que el\(y^2\) término se puede sacar de la integral interna, porque en términos de\(x\text{,}\) ello es constante.
Insertando\(dx\ dy\) para\(dA\) y los límites en (10.1.3), e integrando comenzando con la integral interna da
\ begin {alinear*} i_x\ amp\ int_a y^2 dA\\ amp =\ int_0^h\ int_0^b y^2\ dx\ dy\\ amp =\ int_0^h y^2\ int_0^b dx\ dy\\ amp =\ int_0^h y^2\ en caja {b\ dy}\ amp\ amp =\ int_0^h y^2\ dy\\ amp = b\ izquierda. \ frac {y^3} {3}\ derecho\ vert_0^h\ texto {.} \ end {alinear*}
Evaluar el límite da el resultado
\ begin {ecuación} i_x =\ frac {b h^3} {3}\ texto {.} \ label {ix-rectángulo}\ tag {10.2.2}\ end {ecuación}
Esta es la fórmula para el momento de inercia de un rectángulo alrededor de un eje que pasa por su base, y vale la pena recordar.
La cantidad en caja es el resultado de los tiempos integrales internos\(dx\text{,}\) y puede interpretarse como el área diferencial de una tira horizontal,
\[ dA = b\ dy\text{.} \nonumber \]
Esto nos permitirá configurar un problema como una sola integral usando tiras y saltarnos completamente la integral interna como veremos en la Subsección 10.2.2.
Este resultado significa que el momento de inercia del rectángulo depende únicamente de las dimensiones de la base y la altura y tiene unidades\([\text{length}]^4\text{.}\) El término de altura es cúbico y la base no lo es, lo cual no es sorprendente porque el momento de inercia da más importancia a las partes de la forma que están más alejadas de el eje. Duplicar el ancho del rectángulo se duplicará\(I_x\) pero duplicar la altura aumentará\(I_x\) ocho veces. En todas las fórmulas de momento de inercia, la dimensión perpendicular al eje siempre está en cubos.
- Advertencia 10.2.1.
-
Este resultado es para esta situación particular; obtendrás un resultado diferente para una forma diferente o un eje diferente.
Usando\(dA = dy\ dx\)
Ahora, evaluaremos (10.1.3) utilizando el\(dA = dy\ dx\) cual invierte el orden de integración y significa que el sobre integral\(y\) se lleva a cabo primero. Dado que el término distancia-cuadrado\(y^2\) es una función de\(y\) éste permanece dentro de la integral interna esta vez y el resultado de la íntergral interior no es un área como lo era anteriormente.
Insertando\(dy\ dx\) para\(dA\) y los límites en (10.1.3), e integrando da
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_a y^2\ dA\\ amp =\ int_0^b\ int_0^h y^2\ dy\ dx\\ amp =\ int_0^b\ izquierda. \ frac {y^3} {3}\ dy\ derecha\ vert_0^h\ dx\\ amp =\ int_0^b\ en caja {\ frac {h^3} {3}\ dx}\\ amp =\ frac {h^3} {3}\ int_0^b\ dx\ i_x\ amp =\ frac {bh^3} {3}}\ texto {.} \ end {alinear*}
Como antes, el resultado es el momento de inercia de un rectángulo con base\(b\) y altura\(h\text{,}\) alrededor de un eje que pasa por su base. Hemos encontrado que el momento de inercia de un rectángulo alrededor de un eje a través de su base es (10.2.2), el mismo que antes.
La cantidad en caja es el resultado de los tiempos integrales internos\(dx\text{,}\) y puede interpretarse como el momento diferencial de inercia de una tira vertical alrededor del\(x\) eje. Esto es consistente nuestro resultado anterior. La tira vertical tiene una base de\(dx\) y una altura de por\(h\text{,}\) lo que su momento de inercia por (10.2.2) es
\ begin {ecuación} di_x =\ frac {h^3} {3} dx\ text {.} \ label {diX1}\ tag {10.2.3}\ fin {ecuación}
Utilizaremos estos resultados para establecer problemas como una sola integral que suma los momentos de inercia de las bandas diferenciales que cubren el área en la Subsección 10.2.3.
Ejemplo 10.2.2. \(I_y\) of a Rectangle.
Encuentra el momento de inercia del rectángulo alrededor del\(y\) eje usando elementos diferenciales cuadrados (dA\ text {.}\)
- Contestar
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\[ I_x = \frac{1}{3} hb^3 \nonumber \]
- Solución 1
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Siguiendo el mismo procedimiento que antes, dividimos el rectángulo en elementos diferenciales cuadrados\(dA = dx\ dy\) y evaluamos la doble integral para\(I_y\) desde (10.1.3) primero integrando una\(x\text{,}\) y otra vez\(y\text{.}\)
\ begin {align*} i_y\ amp =\ int_a x^2 dA\\ amp =\ int_0^h\ int_0^b x^2\ dx\ dy\\ amp =\ int_0^h\ izquierda [\ int_0^b x^2\ dx\ derecha]\ dy\\ amp =\ int_0^h\ izquierda [\ frac {x^3} {3}\ derecha] _0^b\ dy\\ amp =\ int_0^h\ en caja {\ frac {b^3} {3} dy}\\ amp =\ frac {b^3} {3} y\ Grande |_0^h\ i_y\ amp =\ frac {b^3h} {3}\ end {align* }
La fórmula para\(I_y\) es la misma que la fórmula que encontramos anteriormente para\(I_x\) excepto que los términos base y altura tienen roles invertidos. Aquí, la dimensión horizontal es cúbica y la dimensión vertical es el término lineal. En todas las fórmulas de momento de inercia, la dimensión perpendicular al eje es cúbica.
- Solución 2
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Esta solución demuestra que el resultado es el mismo cuando se invierte el orden de integración. Esta vez evaluamos\(I_y\) dividiendo el rectángulo en elementos diferenciales cuadrados por\(dA = dy\ dx\) lo que la integral interior es ahora con respecto a\(y\) y la integral externa es con respecto a\(x\text{.}\)
\ begin {alinear*} i_y\ amp =\ int_a x^2\ dA\\ amp =\ int_0^b x^2\ izquierda [\ int_0^h\ dy\ derecha]\ dx\\ amp =\ int_0^b x^2\ en caja {h\ dx}\\ amp = h\ int_0^b x^2\ dx\\ amp = h\ izquierda. \ frac {x^3} {3}\ derecha |_0^b\\ i_y\ amp =\ frac {hb^3} {3}\ end {align*}
Momento de inercia centroidal
Como se discute en la Subsección 10.1.3, un momento de inercia alrededor de un eje que pasa por el centroide de la zona es un Momento de Inercia Centroidal. La convención es colocar una barra sobre el símbolo\(I\) cuando el eje es centroidal.
En el siguiente ejemplo se encuentra el momento centroidal de inercia de un rectángulo mediante integración.
Ejemplo 10.2.3. Rectángulo.
Utilice la integración para encontrar el momento de inercia de un\((b \times h)\) rectángulo alrededor de los\(y'\) ejes\(x'\) y que pasan por su centroide.
Indicar que el resultado es un momento centroidal de inercia poniendo una barra sobre el símbolo\(I\text{.}\)
- Contestar
-
\ begin {align*}\ bar {I} _ {x'}\ amp =\ frac {1} {12} bh^3\\ bar {I} _ {y'}\ amp =\ frac {1} {12} hb^3\ text {.} \ end {alinear*}
- Solución
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Podemos usar el mismo enfoque con\(dA = dy\ dx\text{,}\) pero ahora los límites de la integración\(y\) son ahora de\(-h/2\) a\(h/2\text{.}\)
\ begin {alinear*}\ bar {I} _ {x'}\ amp =\ int_a y^2\ dA\\ amp =\ int_0^b\ int_ {-h/2} ^ {h/2} y^2\ dy\ dx\ amp =\ int_0^b\ izquierda [\ frac {y^3} {3}\ dy\ derecha] _ {-h/2} ^ {h/2}\ dx\\ amp =\ frac {h^3} {12}\ int_0^b\ dx\\ bar {I} _ {x'}\ amp =\ frac {bh^3} {12}\ end {align*}
Observe que el momento centroidal de inercia del rectángulo es menor que el momento de inercia correspondiente alrededor de la línea base.
La solución para\(\bar{I}_{y'}\) es similar.
- Pensar más profundo 10.2.4. Tensiones en una Viga Rectangular.
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Para proporcionar algún contexto para los momentos de inercia del área, examinemos las fuerzas internas en una viga elástica. Supongamos que alguna carga externa está causando un momento de flexión externo que es opuesto por las fuerzas internas expuestas en un corte.
Cuando se carga una viga elástica desde arriba, se hundirá. Las fibras en la superficie superior se comprimirán y las fibras en la superficie inferior se estirarán, mientras que en algún lugar entre las fibras no se estirarán ni comprimirán. Los puntos donde no se deforman las fibras definen un eje transversal, denominado eje neutro. El eje neutro pasa por el centroide de la sección transversal de la viga.
El cambio en la longitud de las fibras es causado por la compresión interna y las fuerzas de tensión que aumentan linealmente con la distancia desde el eje neutro. Las fuerzas internas suman cero en la dirección horizontal, pero producen un par de momentos netos que resiste el momento de flexión externo.
Figura 10.2.5. Fuerzas internas en una viga causadas por una carga externa.
Piense en sumar los momentos internos sobre el eje neutro en la cara de corte de viga. Este momento en un punto de la cara aumenta con el cuadrado de la distancia\(y\) del punto desde el eje neutro porque tanto la fuerza interna como el brazo de momento son proporcionales a esta distancia. La aparición de\(y^2\) en esta relación es lo que conecta una viga de flexión con el área momento de inercia.
La forma de la sección transversal de la viga determina la facilidad con la que se dobla la viga. Un haz con más material más alejado del eje neutro tendrá un mayor momento de inercia y será más rígido. Por supuesto, el material del que está hecha la viga también es un factor, pero es independiente de este factor geométrico.
Momento de inercia de un triángulo
Vimos en el último apartado que al resolver (10.1.3) la doble integración se podía realizar en cualquier orden, y que el resultado de completar la integral interna era una sola integral. Utilizaremos estas observaciones para optimizar el proceso de búsqueda de momentos de inercia para otras formas evitando la doble integración.
El enfoque más directo es usar las definiciones del momento de inercia (10.1.3) junto con tiras paralelas al eje designado, es decir, franjas horizontales cuando se quiere encontrar el momento de inercia alrededor del\(x\) eje y tiras verticales para el momento de inercia alrededor del \(y\)eje.
Este enfoque solo funciona si la función delimitadora puede describirse como una función de\(y\) y como una función de\(x\text{,}\)\(x\) para permitir la integración con respecto a la tira vertical, y con respecto a\(y\) la tira horizontal.
Ejemplo 10.2.6. Triángulo.
Considera el\((b \times h)\) triángulo rectángulo ubicado en el primer cuadrante con es base en el\(x\) eje.
¿Cuál es su momento de inercia de este triángulo con respecto a los\(y\) ejes\(x\) y?
- Contestar
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\ begin {ecuación} i_x =\ frac {bh^3} {12}\ label {MOI-triángulo-base}\ tag {10.2.4}\ end {ecuación}
- Solución
-
Como hicimos al encontrar centroides en la Sección 7.7 necesitamos evaluar la función delimitadora del triángulo. La parte inferior son valores constantes,\(y=0\) y\(x=b\text{,}\) pero el límite superior es una línea recta que pasa por el origen y el punto en el\((b,h)\text{,}\) que tiene la ecuación
\ begin {ecuación} y (x) =\ frac {h} {b} x\ texto {.} \ label {línea recta}\ tag {10.2.5}\ fin {ecuación}
Por inspección vemos que la tira vertical se extiende desde el\(x\) eje hasta la función así\(dA= y\ dx\text{.}\)
Dado que las tiras verticales son paralelas al\(y\) eje podemos encontrar\(I_y\) evaluando esta integral con\(dA = y\ dx\text{,}\) y sustituyendo\(\frac{h}{b} x\)\(y\)
\ begin {alinear*} i_y\ amp =\ int_a x^2\ dA\\ amp =\ int_0^b x^2\ y\ dx\\ amp =\ int_0^b x^2\ izquierda (\ frac {h} {b} {b} x\ derecha) dx\\ amp =\ frac {h} {b}\ int_0^b x^3 dx\\\ amp =\ frac {h} {b}\ izquierda. \ frac {x^4} {4}\ derecha\ vert_0^b\\ i_y\ amp =\ frac {hb^3} {4}\ text {.} \ end {alinear*}
De igual manera encontraremos\(I_x\) usando tiras horizontales, evaluando esta integral con\(dA = (b-x) dy\)
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_a y^2 dA\ texto {.} \ end {alinear*}
Estamos expresando\(dA\) en términos de\(dy\text{,}\) por lo que todo dentro de la integral debe ser constante o expresado en términos de\(y\) para poder integrarse. En particular, tendremos que resolver (10.2.5) porque\(x\) en función de\(y.\) Esto no es difícil.
\[ x(y) = \frac{b}{h} y \text{.} \nonumber \]
Una vez hecho esto, evaluar la integral es sencillo.
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_a y^2\ dA\\ amp =\ int_0^h y^2 (b-x)\ dy\\ amp =\ int_0^h y^2\ izquierda (b -\ frac {b} {h} y\ derecha) dy\\ amp = b\ int_0^h y^2 dy -\ frac {b} {h}\ int_0^h y^3 dy\\ amp =\ frac {bh^3} {3} -\ frac {b} {h}\ frac {h}\ frac {h^4} {4}\ i_x\ amp =\ frac {bh^3} {12}\ end {align*}
Este es el momento de inercia de un triángulo rectángulo alrededor de un eje que pasa por su base. Al invertir los roles de b y h, ahora también tenemos el momento de inercia de un triángulo rectángulo alrededor de un eje que pasa por su lado vertical.
\[ I_y = \frac{hb^3}{12} \text{.} \nonumber \]
Momento de inercia de una tira diferencial
Vimos en la Subsección 10.2.2 que una manera sencilla de encontrar el momento de inercia usando una sola integración es usar tiras que son paralelas al eje de interés, así que usa tiras verticales para encontrar\(I_y\) y tiras horizontales para encontrar\(I_x\text{.}\)
Este método requiere expresar la función delimitadora tanto en función de\(x\) como en función de\(y\text{:}\)\(y = f(x)\) y\(x = g(y)\text{.}\) Hay muchas funciones donde convertir de una forma a otra no es fácil.
A modo de ejemplo, intentemos encontrar\(I_x\) y\(I_y\) para el spandrel delimitado por
\[ y = f(x) = x^3+x, \text{ the } x \text{ axis, and }x=1\text{.} \nonumber \]
Encontrar\(I_y\) usando tiras verticales es relativamente fácil. Dejando\(dA = y\ dx\) y sustituyendo\(y = f(x) = x^3 +x\) tenemos
\ begin {alinear*} i_y\ amp =\ int_a x^2\ dA\\ amp =\ int_0^1 x^2 y\ dx\\ amp =\ int_0^1 x^2 (x^3+x)\ dx\\ amp =\ int_0^1 (x^5 + x^3) dx\\ amp =\ izquierda. \ frac {x^6} {6} +\ frac {x^4} {4}\ derecha\ vert_0^1\\ i_y\ amp =\ frac {5} {12}\ text {.} \ end {alinear*}
Encontrar\(I_x\) el uso de tiras horizontales es todo menos fácil. De hecho, la integral que hay que resolver es esta monstruosidad
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_a y^2\ (1-x)\ dy\\ amp =\ int_0^2 y^2\ left (1-\ frac {\ sqrt [3] {2}\ left (\ sqrt {81 y^2 + 12} + 9y\ derecha) ^ {2/3} - 2\ sqrt [3] {3} {6^ {2/3}\ sqrt [3] {\ sqrt {81 y^2 + 12} + 9y}}\ derecha)\ dy\\ amp\ puntos\ texto {y luego ocurre un milagro}\\ i_x\ amp =\ frac {49} {120}\ text {.} \ end {alinear*}
Claramente, sería útil un mejor enfoque.
Cuando el uso de tiras paralelas al eje de interés no es práctico matemáticamente, la alternativa es usar tiras que sean perpendiculares al eje.
Aplicando nuestro resultado anterior (10.2.2) a una tira vertical con altura\(h\) y ancho infinitesimal\(dx\) da el momento diferencial de inercia de la tira. En la mayoría de los casos,\(h\) será una función de\(x\text{.}\)
\ begin {align} i_x\ amp=\ frac {bh^3} {3}\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp di_x\ amp=\ frac {h^3} {3} dx\ text {.} \ label {DiX}\ tag {10.2.6}\ end {align}
Este es el mismo resultado que vimos anteriormente (10.2.3) después de integrar la integral interna para el momento de inercia de un rectángulo.
Este resultado hace que sea mucho más fácil encontrar\(I_x\) para la spandrel que era casi imposible de encontrar con tiras horizontales.
\ begin {alinear*} i_x\ amp =\ int_a di_x =\ frac {y^3} {3} dx\\ amp =\ int_0^1\ frac {(x^3+x) ^3} {3} dx\\ amp =\ frac {1} {3}\ int_0^1 (x^9+3x^7 + 3x^5 ^3) dx\\\ amp =\ frac {1} {3}\ izquierda [\ frac {x^ {10}} {10} +\ frac {3 x^8} {8} +\ frac {3 x^6} {6} +\ frac {x^4} {4}\ derecha] _0^1\\ amp =\ frac {1} {3} izquierda [\ frac {1} {10} +\ frac { 3} {8} +\ frac {3} {6} +\ frac {1} {4}\ derecha]\\ amp =\ frac {1} {3}\ izquierda [\ frac {12 + 45 + 60 + 30} {120}\ derecha]\ i_x\ amp =\ frac {49} {120}\ end {align*}
El mismo enfoque se puede utilizar con una tira horizontal\(dy\) alta y\(b\) ancha, en cuyo caso tenemos
\ begin {align} i_y\ amp=\ frac {b^3h} {3}\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp di_y\ amp =\ frac {b^3} {3} dy\ text {.} \ label {di_y}\ tag {10.2.7}\ end {align}
El ancho generalmente\(b\) tendrá que expresarse en función de\(y\text{.}\)
La expresión for\(dI_x\) asume que la tira vertical tiene un límite inferior en el\(x\) eje. Si este no es el caso, entonces encuentre el\(dI_x\) para el área entre los límites restando\(dI_x\) para el elemento rectangular debajo del límite inferior del\(dI_x\) elemento desde el\(x\) eje hasta el límite superior. Un procedimiento similar se puede utilizar para tiras horizontales.
\[ dI_x = \frac{y_2^3}{3} - \frac{y_1^3}{3} = \frac{1}{3}(y_2^3-y_1^3) \nonumber \]
Este enfoque se ilustra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 10.2.7. Momento de Inercia para Área Entre Dos Curvas.
Use tiras verticales para encontrar ambos\(I_x\) y\(I_y\) para el área delimitada por las funciones
\ begin {alinear*} y_1\ amp = x^2/2\ texto {y,}\\ y_2\ amp = x/4\ texto {.} \ end {alinear*}
Las unidades son cm.
- Contestar
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\ begin {alinear*} i_x\ amp = 3.49\ veces\ cm {10^ {-6}} ^4\ amp i_y\ amp = 7.81\ veces\ cm {10^ {-6}} ^4\ end {alinear*}
- Solución
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1. Configurar la integral.
El área está delimitada por las funciones
\ begin {align*} y_2\ amp = x/4\ amp y_2\ amp = x^2/2\ end {align*}
Al igualar las dos funciones, aprendemos que se cruzan en\((0,0)\) y\((1/2,1/8)\text{,}\) así los límites en\(x\) son\(x=0\) y\(x=1/2\text{.}\)
El área diferencial\(dA\) para la tira vertical es
\[ dA = (y_2-y_1)\ dx = \left (\frac{x}{4} - \frac{x^2}{2} \right)dx\text{.} \nonumber \]
2. Encuentra\(I_y\text{.}\)
Para las tiras verticales, que son paralelas al\(y\) eje podemos utilizar la definición del Momento de Inercia.
\ begin {alinear*} i_y\ amp =\ int x^2 dA\\ amp =\ int_0^ {0.5} {x^2}\ izquierda (\ frac {x} {4} -\ frac {x^2} {2}\ derecha) dx\\ amp=\ int_0^ {1/2}\ izquierda (\ frac {x^3} {4} -\ frac {x^4} {2}\ derecha) dx\\ amp=\ izquierda. \ izquierda (\ frac {x^4} {16} -\ frac {x^5} {12}\ derecha)\ derecha\ vert_0^ {1/2}\\ amp=\ izquierda (\ frac {({1/2}) ^4} {16} -\ frac
ParseError: EOF expected (click for details)^4\ end {align*}Callstack: at (Ingenieria/Ingeniería_Mecánica/Estática_de_Ingeniería:_Abierta_e_Interactiva_(Baker_y_Haynes)/10:_Momentos_de_inercia/10.02:_Momentos_de_inercia_de_formas_comunes), /content/body/div[4]/article/div/dl[2]/dd/p[9]/span, line 1, column 63. Encuentra\(I_x\text{.}\)
Para las franjas verticales, que son perpendiculares al\(x\) eje, tomaremos restar el momento de inercia del área\(y_1\) de abajo del momento de inercia del área inferior\(y_2\text{.}\)
\ begin {align*} i_x\ amp =\ int_ {A_2} di_x -\ int_ {A_1} di_x\\ amp =\ int_0^ {1/2}\ frac {y_2^3} {3} dx -\ int_0^ {1/2}\ frac {y_1^3} {3} dx\\ amp =\ frac {1} {3}}\ int_0^ {1/2}\ izquierda [\ izquierda (\ frac {x} {4}\ derecha) ^3 -\ izquierda (\ frac {x^2} {2}\ derecha) ^3\ derecha] dx\\ amp =\ frac {1} {3}\ int_0^ {1/2}\ izquierda [\ frac {x^3} {64} -\ frac {x^6} {8}\ derecha] dx\\\ amp =\ frac {1} {3}\ izquierda [\ frac {x^4} {256} -\ frac {x^7} {56}\ derecha] _0^ {1/2}\ i_x\ amp =\ frac {1} {28672} = 3.49\ veces\ cm {10^ {-6}} ^4\ end {align*}
Círculos, semicírculos y cuartos de círculos
En esta sección, utilizaremos coordenadas polares y simetría para encontrar los momentos de inercia de círculos, semicírculos y cuartos de círculos.
Comenzaremos por encontrar el momento polar de inercia de un círculo con radio\(r\text{,}\) centrado en el origen. Recordarás de la Subsección 10.1.4 que el momento polar de inercia es similar al momento ordinario de inercia, excepto que el término la distancia al cuadrado es la distancia del elemento a un punto en el plano en lugar de la distancia perpendicular a un eje, y utiliza el símbolo\(J\) con un subíndice indicando el punto.
Para aprovechar la geometría de un círculo, dividiremos el área en anillos delgados, como se muestra en el diagrama, y definiremos la distancia desde el origen hasta un punto en el anillo como\(\rho\text{.}\) La razón para usar anillos delgados para\(dA\) es la misma razón por la que usamos tiras paralelas al eje de interés para encontrar \(I_x\)y\(I_y\text{;}\) todos los puntos del anillo diferencial están a la misma distancia del origen, por lo que podemos encontrar el momento de inercia usando una sola integración.
El área diferencial de un anillo circular es la circunferencia de un círculo de radio\(\rho\) multiplicado por el grosor\(d\rho\text{.}\)
\[ dA = 2 \pi \rho\ d\rho\text{.} \nonumber \]
Adaptando la fórmula básica para el momento polar de inercia (10.1.5) a nuestras etiquetas, y señalando que los límites de integración son de\(\rho = 0\) a\(\rho = r\text{,}\) obtenemos
\ begin {align} J_O\ amp=\ int_a r^2\ dA\ amp\ amp\ amp\ fila derecha\ amp J_O\ amp =\ int_0^r\ rho^2\ pi\ rho\ d\ rho\ texto {.} \ tag {10.2.8}\ end {align}
Procediendo con la integración,
\ begin {align} J_O\ amp =\ int_0^r\ rho^2\ pi\ rho\ d\ rho\ notag\\\ amp = 2\ pi\ int_0^r\ rho^3 d\ rho\ notag\\\ amp = 2\ pi\ left [\ frac {\ rho^4} {4}\ derecha] _0^r\ notag\ noetiqueta\ no\\ J_O\ amp =\ frac {\ pi r^4} {2}\ texto {.} \ tag {10.2.9}\ end {align}
Este es el momento polar de inercia de un círculo alrededor de un punto en su centro.
Con este resultado, podemos encontrar los momentos rectangulares de inercia de círculos, semicírculos y cuartos de círculo simplemente. Señalando que el momento polar de inercia de una forma es la suma de sus momentos rectangulares de inercia y eso\(I_x\) y\(I_y\) son iguales para un círculo debido a su simetría. Por lo tanto, por (10.5.2), que se demuestra fácilmente,
\ begin {align} J_O\ amp = i_x + i_y\ notag\\\ bar {I} _x\ amp =\ bar {I} _y =\ frac {J_O} {2} =\ frac {\ pi r^4} {4}\ texto {.} \ label {ix-circle}\ tag {10.2.10}\ end {align}
Este es el momento de inercia de un círculo alrededor de un eje vertical u horizontal que pasa por su centro.
Un círculo consta de dos semicírculos por encima y por debajo del\(x\) eje, por lo que el momento de inercia de un semicírculo alrededor de un diámetro en el\(x\) eje es apenas la mitad del momento de inercia de un círculo. El momento de inercia alrededor de la línea central vertical es el mismo.
\ begin {ecuación} i_x =\ bar {I} _y =\ frac {\ pi r^4} {8}\ texto {.} \ tag {10.2.11}\ fin {ecuación}
De igual manera, el momento de inercia de un cuarto de círculo es la mitad del momento de inercia de un semicírculo, por lo que
\ begin {ecuación} i_x = i_y =\ frac {\ pi r^4} {16}\ texto {.} \ tag {10.2.12}\ fin {ecuación}
En estos diagramas, los ejes centroidales son rojos, y los momentos de inercia alrededor de los ejes centroidales están indicados por la barra superior. Veremos cómo utilizar el teorema del eje paralelo para encontrar los momentos centroidales de inercia para semicírculos y cuartos de círculos en la Sección 10.3.
Resumen de Integration Techniques
Aquí un resumen de los enfoques alternos para encontrar el momento de inercia de una forma utilizando la integración.
Se puede optar por dividir la forma en elementos diferenciales cuadrados para calcular el momento de inercia, utilizando las definiciones fundamentales, La desventaja de este enfoque es que se necesita configurar y computar una doble integral. Identificar los límites correctos en las integrales suele ser difícil.
Si deseas evitar la doble integración, puedes usar tiras verticales u horizontales, pero debes tener cuidado para aplicar la integral correcta. Si usa tiras verticales para encontrar\(I_y\) o tiras horizontales para encontrar\(I_x\text{,}\) entonces aún puede usar (10.1.3), pero omita la doble integración. Cuando toda la tira está a la misma distancia del eje designado, la integración con una tira paralela equivale a realizar la integración interior de (10.1.3).
Como hemos visto, puede ser difícil resolver adecuadamente las funciones delimitadoras en términos de\(x\) o\(y\) usar tiras paralelas. En este caso, se pueden utilizar tiras verticales para encontrar\(I_x\) o tiras horizontales para encontrar\(I_y\) como se discute integrando el momento diferencial de inercia de la tira, como se discute en la Subsección 10.2.3.
Cuadro 10.2.8. Estrategias de integración de Momento de Inercia
| Element | \(dA\) | \(dI_x\) | \(dI_y\) |
  |
\(dx\ dy\) o \(dy\ dx\) |
\(y^2\ dA\) | \(x^2\ dA\) |
  |
\((a-x)\ dy\) | \(y^2\ dA\) | \(\dfrac{(a^3-x^3)}{3}\ dx \) |
  |
\(y\ dx\) | \(\dfrac{y^3}{3}\ dx\) | \(x^2\ dA\) |