2.5: Análisis de equilibrio para sistemas de fuerza concurrentes

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Si un cuerpo está en equilibrio estático, entonces por definición ese cuerpo no está acelerando. Si sabemos que el cuerpo no está acelerando entonces sabemos que la suma de las fuerzas que actúan sobre ese cuerpo debe ser igual a cero. Esta es la base para el análisis de equilibrio de una partícula.

Para resolver cualquier incógnitas en nuestra ecuación de suma de fuerzas, en realidad necesitamos convertir la ecuación de un vector en un conjunto de ecuaciones escalares. Para problemas bidimensionales, dividiremos nuestra ecuación de un vector en dos ecuaciones escalares. Esto lo hacemos sumando todos los\(x\) componentes de los vectores de fuerza y poniéndolos iguales a cero en nuestra primera ecuación, y sumando todos los\(y\) componentes de los vectores de fuerza y estableciéndolos iguales a cero en nuestra segunda ecuación.

\[ \sum \vec{F} \, = \, 0 \]

\[ \sum F_x \, = \, 0 \, ; \,\,\, \sum F_y \, = \, 0 \]

Hacemos algo similar en problemas tridimensionales excepto que dividiremos todos nuestros vectores de fuerza en\(x\),\(y\), y\(z\) componentes, estableciendo la suma de\(x\) componentes igual a cero para nuestra primera ecuación, la suma de todos los\(y\) componentes igual a cero para nuestra segunda y la suma de todos nuestros\(z\) componentes igual a cero para nuestra tercera ecuación.

\[ \sum \vec{F} \, = \, 0 \]

\[ \sum F_x \, = \, 0 \, ; \,\,\, \sum F_y \, = \, 0 \, ; \,\,\, \sum F_z \, = \, 0 \]

Una vez que hayamos escrito las ecuaciones de equilibrio, podemos resolver las ecuaciones para cualquier fuerza desconocida.

Encontrar las ecuaciones de equilibrio:

El primer paso para encontrar las ecuaciones de equilibrio es dibujar un diagrama de cuerpo libre del cuerpo que se está analizando. Este diagrama debe mostrar todos los vectores de fuerza conocidos y desconocidos que actúan sobre el cuerpo. En el diagrama de cuerpo libre, proporcione valores para cualquiera de las magnitudes o direcciones conocidas para los vectores de fuerza y proporcione nombres de variables para cualquier incógnitas (ya sea magnitudes o direcciones).

Ejemplo de reducción de la imagen que acompaña a un problema de análisis de fuerza en un diagrama de cuerpo libre. — Figura\(\PageIndex{1}\): El primer paso en el análisis de equilibrio es dibujar un diagrama de cuerpo libre. Esto se hace quitando todo menos el cuerpo y dibujando todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo. También es útil para etiquetar todas las fuerzas, dimensiones clave y ángulos.

A continuación tendrás que elegir los\(z\) ejes\(x\)\(y\),, y. Estos ejes sí necesitan ser perpendiculares entre sí, pero no necesariamente tienen que ser horizontales o verticales. Si eliges ejes de coordenadas que se alinean con algunos de tus vectores de fuerza simplificarás el análisis posterior.

Una vez que haya elegido los ejes, debe dividir todos los vectores de fuerza en componentes a lo largo de las\(x\)\(z\) direcciones\(y\) y (consulte la página de vectores en el Apéndice 1 si necesita más orientación al respecto). Tu primera ecuación será la suma de las magnitudes de los componentes en la\(x\) dirección siendo igual a cero, la segunda ecuación será la suma de las magnitudes de los componentes en la\(y\) dirección siendo igual a cero, y la tercera (si tienes un problema 3D) será la suma de la magnitudes en la\(z\) dirección siendo iguales a cero. Colectivamente estas se conocen como las ecuaciones de equilibrio.

Una vez que tengas tus ecuaciones de equilibrio, puedes resolverlas para incógnitas usando álgebra. El número de incógnitas por las que podrás resolver será el número de ecuaciones de equilibrio que tengas. En los casos en los que tienes más incógnitas que ecuaciones, el problema se conoce como un problema estáticamente indeterminado y necesitarás información adicional para resolver las incógnitas dadas.

Videoconferencia que cubre esta sección, impartida por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/Dbd9SvdfoN8.

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

El siguiente diagrama muestra una caja de 3 lb (Caja A) sentada encima de una caja de 5 lb (caja B). Determinar la magnitud y dirección de todas las fuerzas que actúan sobre el recuadro B.

Una caja de 3 libras (A) descansa sobre una caja de 5 libras (B), que descansa sobre una superficie plana.

Solución: Video\(\PageIndex{2}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{1}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/J54OZSitzzM.

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Un barril de 600 libras descansa en una artesa como se muestra a continuación. El cañón está soportado por dos fuerzas normales (\(F_2\)y\(F_3\)). Determinar la magnitud de ambas fuerzas normales.

Un barril se acuña en un hueco con forma de triángulo de punto hacia abajo, con el lado izquierdo de ese triángulo formando un ángulo de 45 grados con la horizontal y el lado derecho del triángulo formando un ángulo de 30 grados con respecto a la vertical. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{2}\); un barril que descansa en un comedero con lados rectos y angulados.

Solución: Video\(\PageIndex{3}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{2}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/qKhZvf55Bc0.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Un semáforo de 6 kg es soportado por dos cables como se muestra a continuación. Encuentra la tensión en cada uno de los cables que soportan el semáforo.

Un semáforo sostenido en el aire por dos cables: uno horizontal a la izquierda y otro a la derecha levantado a 15 grados por encima de la horizontal. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{3}\); un semáforo se sostiene en el aire por dos cables, uno horizontal y otro en ángulo..

Solución: Video\(\PageIndex{4}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{3}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/Oi2yDg1SmrI.

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Una bola de naufragio de 400 kg descansa sobre una superficie como se muestra a continuación. Suponiendo que la bola de naufragio está actualmente en equilibrio, determinar la fuerza de tensión en el cable que soporta la bola de naufragio y la fuerza normal que existe entre la bola de naufragio y la superficie.

Una bola de naufragio descansa sobre una superficie inclinada a 45 grados sobre el conjunto, con su cable estirado tenso y sostenido en un ángulo de 15 grados lejos de la vertical, inclinado hacia la superficie de soporte. — Figura\(\PageIndex{5}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{4}\); una bola de naufragio sobre un cable descansa contra una superficie en ángulo.

Solución: Video\(\PageIndex{5}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{4}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/gETMTfy5Sew.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Los barriles A y B se soportan en una camioneta a pie como se ve a continuación. Suponiendo que los barriles están en equilibrio, determinar todas las fuerzas que actúan sobre el cañón B.

Un barril de 150 lb (A) se apila encima de un barril de 200 lb (B), con ambos colocados en un carro de mano. El carrito está inclinado por lo que el fondo está 30 grados por encima de la horizontal. — Figura\(\PageIndex{6}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{5}\); dos barriles apilados en sus lados están en un carro de mano, cuyo fondo está inclinado hacia arriba.

Solución: Video\(\PageIndex{6}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{5}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/8DgrClhT4AM.

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Tres latas de soda, cada una con un peso de 0.75 lbs y con un diámetro de 4 pulgadas, se apilan en una formación como se muestra a continuación. Suponiendo que no haya fuerzas de fricción, determine las fuerzas normales que actúan sobre la lata B.

Dos latas de refresco de igual radio, B y C, se encuentran en sus lados uno al lado del otro sobre una superficie plana de 9 pulgadas de ancho. La superficie plana está delimitada a la izquierda y a la derecha por una pared vertical. Una tercera lata de refresco del mismo tamaño, A, se apila en su costado encima de B y C. — Figura\(\PageIndex{7}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{6}\); tres latas de refresco están apiladas acostadas de costado, en una zona plana delimitada en dos lados por paredes.

Solución: Video\(\PageIndex{7}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{6}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/lAUahV7Mml4.

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

La cámara Skycam que se muestra a continuación es soportada por tres cables. Suponiendo que la skycam tenga una masa de 20 kg y que actualmente se encuentre en un estado de equilibrio, encuentre la tensión en cada uno de los tres cables que soportan la skycam.

Una skycam, representada como una caja rectangular, se dibuja en un plano de coordenadas tridimensional y se muestra sujetada por 3 cables. Uno hace un ángulo de 10 grados por encima del eje x en la dirección negativa, uno hace un ángulo de 15 grados por encima del eje x en la dirección positiva, y uno hace un ángulo de 15 grados por encima del plano xz con su proyección sobre dicho plano formando un ángulo de 60 grados con el eje z negativo. — Figura\(\PageIndex{8}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{7}\); una cámara Skycam se sostiene en el aire por 3 cables, cuyos ángulos en relación a un plano de coordenadas tridimensional se muestran. Imagen de Jrienstra CC-BY-SA 3.0.

Solución: Video\(\PageIndex{8}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{7}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/FD3yKyfXkGU.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Un globo de aire caliente está atado al suelo con tres cables como se muestra a continuación. Si el globo está tirando hacia arriba con una fuerza de 900 lbs, ¿cuál es la tensión en cada uno de los tres cables?

Un globo aerostático estacionario, unido al suelo por 3 cables, se muestra en un plano de coordenadas tridimensionales. El globo está a 30 pies sobre el origen, el cable A está unido al suelo 20 pies a la izquierda del origen, el cable B está unido al suelo 30 pies a la derecha y 20 pies frente al origen, y el cable C está unido al suelo 20 pies detrás del origen. — Figura\(\PageIndex{9}\): diagrama de problemas por Ejemplo\(\PageIndex{8}\); un globo de aire caliente está atado al suelo por 3 cables, cuyos puntos de contacto con el suelo se dan en relación a un plano de coordenadas tridimensional. Adaptado de imagen de L. Aragon CC-BY-SA 3.0.

Solución: Video\(\PageIndex{9}\): Solución trabajada a problema de ejemplo\(\PageIndex{8}\), proporcionado por el Dr. Jacob Moore. Fuente de YouTube: https://youtu.be/HQqNGJR3ybQ.