17.8: Apéndice 2 Problemas con las tareas

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Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Una forma está delimitada a la izquierda por el\(y\) eje -eje, en la parte inferior por el\(x\) eje -y a lo largo de su lado restante por la función\(y = - \dfrac{1}{2} x^2 + 8\). Determinar las\(y\) coordenadas\(x\) y del centroide de esta forma vía integración. (Sugerencia: para\(\bar{y}\), trabajar de arriba hacia abajo para facilitar las matemáticas.)

El primer cuadrante de un plano de coordenadas cartesianas estándar, con todas las unidades en centímetros. Una forma en este cuadrante está delimitada a la izquierda por el eje y, que cruza en el punto (0,8); en la parte inferior por el eje x, que cruza en el punto (4,0); y en el lado restante por la función y = -1/2 x^2 + 8. — Figura\(\PageIndex{1}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{1}\). Una forma en el primer cuadrante de un plano de coordenadas cartesianas está delimitada por la intersección de la función\(y = - \dfrac{1}{2} x^2 + 8\) con los\(y\) ejes\(x\) - y -.

Solución:: \(\bar{x} = 1.5 \ cm, \, \bar{y} = 3.2 \ cm\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Determinar las\(y\) coordenadas\(x\) y del centroide de la forma que se muestra a continuación mediante integración.

El primer cuadrante de un plano de coordenadas cartesianas estándar, con todas las unidades en pulgadas. Un trapecio se encuentra en este cuadrante con una base que discurre a lo largo del eje x y un lado a lo largo del eje y. Los vértices del trapecio se localizan en los puntos (0,0), (8,0), (0,10) y (3,10). — Figura\(\PageIndex{2}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{2}\). Un trapecio se encuentra en el primer cuadrante del plano de coordenadas cartesianas, con dos lados a lo largo de los ejes.

Solución:: \(\bar{x} = 2.94 \ in, \, \bar{y} = 4.24 \ in.\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Un tanque de agua como se muestra a continuación toma la forma de un cono invertido y truncado. El diámetro de la base es de 4 pies, el diámetro de la parte superior es de 8 pies y la altura del tanque es de 4 pies. Mediante la integración, determine la altura del centro de masa del tanque lleno. (Supongamos que el tanque está lleno de agua y las paredes tienen una masa insignificante).

Un cono circular invertido tiene una parte superior ancha de diámetro de 8 pies. Se trunca para tener una base más estrecha de 4 pies de diámetro, ubicada a 4 pies por debajo de la parte superior. Un plano de coordenadas cartesianas tridimensional tiene su origen ubicado en el centro de la base del cono, con el eje x acostado horizontalmente en el plano de la página, el eje y apuntando hacia la página y el eje z tendido verticalmente en el plano de la página. — Figura\(\PageIndex{3}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{3}\). Un tanque de agua en forma de cono circular truncado invertido, con una parte superior ancha y una base más estrecha.

Solución:: \(z_c = 2.43 \ ft\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\)

Utilice el método de piezas compuestas para determinar el centroide de la forma que se muestra a continuación.

El primer cuadrante de un plano de coordenadas cartesianas estándar, con todas las unidades en pulgadas. En este cuadrante se encuentra una forma, compuesta por dos trapecios contiguos. Un trapecio tiene el origen ubicado en su esquina inferior izquierda y contiene bases paralelas al eje y, separadas 2 pulgadas; la base izquierda tiene 4 pulgadas de largo y la base derecha tiene 2 pulgadas de largo. El segundo trapecio tiene un lado izquierdo vertical de 0.5 pulgadas de alto, ubicado en x = 2; las bases del trapecio son paralelas al eje x. La base inferior es de 2 pulgadas de largo y se encuentra a lo largo del eje x, y la base más alta tiene 1.5 pulgadas de largo. — Figura\(\PageIndex{4}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{4}\). Una forma compuesta en el primer cuadrante de un plano de coordenadas cartesianas, con dos lados a lo largo de los ejes, consiste en dos trapecios, o dos rectángulos y dos triángulos rectos.

Solución:: \(x_c = 1.14 \ in, \, y_c = 1.39 \ in\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\)

Una plataforma flotante consiste en una pieza cuadrada de madera contrachapada que pesa 50 lbs con un grosor insignificante en la parte superior de un prisma rectangular de un material de espuma que pesa 100 lbs como se muestra a continuación. Con base en esta información, ¿cuál es la ubicación del centro de masa para la plataforma flotante?

El primer octante de un sistema de coordenadas cartesianas con el eje z apuntando fuera de la pantalla, el eje x acostado horizontalmente en el plano de la pantalla, y el eje y acostado verticalmente en el plano de la pantalla. Un prisma rectangular en este octante, con su base en el plano xz contra el origen, tiene una longitud de 8 pies (medida paralela al eje x), una profundidad de 4 pies (medida paralela al eje z) y una altura de 2 pies (medida paralela al eje y). Una placa cuadrada plana de 4 pies por 4 pies se encuentra en la parte superior del prisma contra su borde izquierdo. — Figura\(\PageIndex{5}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{5}\). Un prisma rectangular de espuma con la mitad de su cara superior cubierta por un cuadrado de contrachapado se encuentra en el primer octante de un sistema de coordenadas cartesianas.

Solución:: \(x_c = 3.33 \ ft, \, y_c = 1.33 \ ft, \, z_c = 2 \ ft\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\)

Utilice el método de integración para encontrar los momentos de inercia para la forma que se muestra a continuación...

Acerca del\(x\) eje -a través del centroide.
Acerca del\(y\) eje -a través del centroide.

Un triángulo isósceles tiene una base horizontal de 3 cm y un vértice de 9 cm por debajo del punto medio de esa base. Su centro de masa se encuentra a 3 cm por debajo del punto medio de su base. — Figura\(\PageIndex{6}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{6}\). Un triángulo isósceles orientado hacia abajo tiene una base horizontal y un centro de masa en su línea de simetría.

Solución:

\(I_{xx} = 6.075 * 10^{-7} \ m^4\)

\(I_{yy} = 5.0625 * 10^{-8} \ m^4\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\)

Utilice el método de integración para encontrar el momento polar de inercia para el semicírculo que se muestra a continuación sobre el punto O.

Un semicírculo de radio de 6 pulgadas se encuentra con su lado plano a lo largo del eje x de un plano de coordenadas cartesianas. El punto medio del lado plano se ubica en el origen O, y el semicírculo se estira hacia arriba en la dirección y positiva. — Figura\(\PageIndex{7}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{7}\). Un semicírculo se encuentra con su borde recto centrado en el\(x\) eje -eje de un plano de coordenadas cartesianas, con origen O.

Solución:: \(J_{zz} = 1017.9 \ in^4\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\)

Una viga de plástico tiene una sección transversal cuadrada con recortes semicirculares en la parte superior e inferior como se muestra a continuación. ¿Cuál es el momento de inercia del área de la sección transversal de la viga sobre los\(y\) ejes\(x\) y a través del punto central?

Un cuadrado tiene lados que miden 4 pulgadas de largo. Los lados superior e inferior del cuadrado tienen cada uno recortes semicirculares centrados recibidos de radio de 1.5 pulgadas. El centroide de la forma es el origen de un plano de coordenadas cartesianas de orientación estándar. — Figura\(\PageIndex{8}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{8}\). Una sección transversal de viga consiste en un cuadrado con recortes semicirculares centrados en los lados superior e inferior.

Solución:: \(I_{xx} = 7.08 \ in^4, \, I_{yy} = 17.36 \ in^4\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\)

Una pieza de acero en ángulo tiene una sección transversal que es de 1 cm de grosor y tiene una longitud de 6 cm en cada lado como se muestra a continuación. ¿Cuáles son los momentos de inercia\(x\) y del\(y\) área a través del centroide de la sección transversal?

Una forma de L consiste en dos rectángulos de 6 cm por 1 cm. Uno de estos rectángulos es horizontal. El otro rectángulo es vertical con su borde izquierdo coincidente con el borde izquierdo del rectángulo horizontal, y su borde inferior coincidente con el borde inferior del rectángulo horizontal. — Figura\(\PageIndex{9}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{9}\). Una sección transversal parcial consiste en una forma de L compuesta por dos rectángulos de tamaño identico.

Solución:: \(I_{xx} = I_{yy} = 35.462 \ cm^4 = 3.546 * 10^{-7} \ m^4\)

Ejercicio\(\PageIndex{10}\)

El péndulo en un reloj antiguo consiste en un disco de latón con una masa de 0.25 kg y diámetro de 6 cm al final de una esbelta varilla de madera con una masa de 0.1 kg. Determinar el momento de inercia de masa del péndulo alrededor de la parte superior de la varilla.

Un péndulo se representa como una varilla vertical de madera de longitud 24 cm que sostiene un disco de latón de diámetro 6 cm en su extremo inferior. — Figura\(\PageIndex{10}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{10}\). Un péndulo de reloj se representa como una varilla vertical de madera con un disco de latón unido a su borde inferior.

Solución:: \(I_{zz} = 0.02026 \ kg \ m^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Un telescopio espacial se puede aproximar como un cilindro de 600 kg con un diámetro de 4 metros y una altura de 4 metros unido a dos paneles solares de 100 kg como se muestra a continuación. ¿Cuál es el momento de inercia de masa aproximado para el telescopio espacial alrededor del\(y\) eje mostrado?

El eje central de un cilindro vertical de diámetro 4 metros y altura 4 metros actúa como el eje y del sistema. Dos barras horizontales de 5 metros de largo en el plano de la pantalla se extienden desde lados opuestos del exterior del cilindro, a la mitad de su altura. El extremo libre de cada varilla está unido al punto medio de un borde más largo de un panel solar, con una longitud horizontal de 3 metros y una profundidad de 5 metros (entrando o saliendo de la página). — Figura\(\PageIndex{11}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{11}\). Un telescopio espacial se representa como un cilindro vertical con dos barras horizontales que se extienden desde la mitad a lo largo de la altura del cilindro, cada una soportando un panel solar.

Solución:: \(I_{yy} = 10,216.7 \ kg \ m^2\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Un volante tiene un peso original de 15 libras y un diámetro de 6 pulgadas. Para reducir el peso, se perforan cuatro orificios de dos pulgadas de diámetro en el volante, cada uno dejando media pulgada hacia el borde exterior como se muestra a continuación. ¿Cuál fue el momento original de la masa polar sobre el punto central? Asumiendo un espesor uniforme, ¿cuál es el nuevo momento de inercia de masa después de perforar los agujeros? (Sugerencia: los agujeros cuentan como masa negativa en los cálculos de momento de masa.)

Un disco circular de 6 pulgadas de diámetro contiene 4 orificios circulares perforados en un patrón radialmente simétrico alrededor del punto central. Cada orificio tiene un diámetro de 2 pulgadas, y el punto más externo de cada orificio está a una distancia de 0.5 pulgadas desde el borde del disco. — Figura\(\PageIndex{12}\): diagrama de problemas para Ejercicio\(\PageIndex{12}\). Un volante consiste en un disco circular con cuatro orificios circulares perforados en un patrón radialmente simétrico alrededor de su punto central.

Solución:

\(J_{without holes} = 0.01456 \ slug \ ft^2\)

\(J_{with holes} = 0.01060 \ slug \ ft^2\)