27.1: Matrices con Bandas

Una clase de matrices dispersas que a menudo surgen en la práctica de ingeniería, especialmente en la mecánica continua, es la matriz de bandas. Un ejemplo de matriz bandeada se muestra en la Figura 27.1. Como muestra la figura, las entradas distintas de cero de una matriz de bandas están confinadas dentro de\(m_{\mathrm{b}}\) las entradas de la diagonal principal. Más precisamente,\[A_{i j}=0, \quad \text { for } \quad j>i+m_{\mathrm{b}} \text { or } j<i-m_{\mathrm{b}},\] y\(A\) puede tomar cualquier valor dentro de la banda (incluyendo cero). La variable\(m_{\mathrm{b}}\) se conoce como el ancho de banda. Tenga en cuenta que el número de entradas distintas de cero en una matriz de\(n \times n\) bandas con un ancho de banda\(m_{\mathrm{b}}\) es menor que\(n\left(2 m_{\mathrm{b}}+1\right)\).

Consideremos algunos tipos diferentes de matrices bandeadas.

Figura 27.1: Matriz bandeada con ancho de banda\(m_{\mathrm{b}}\).

Figura 27.2: Sistema de masa de resorte cuyo cálculo del estado de equilibrio da lugar a una matriz pentadiagonal.

Ejemplo 27.1.1 Matriz tridiagonal:\(m_{\mathrm{b}}=1\)

Como hemos comentado en los dos capítulos anteriores, las matrices tridiagonales tienen entradas distintas de cero solo a lo largo de la diagonal principal, subdiagonal y súper diagonal. Pictorialmente, una matriz tridiagonal toma la siguiente forma:

Claramente el ancho de banda de una matriz tridiagonal es\(m_{\mathrm{b}}=1\). Una matriz\(n \times n\) tridiagonal surge de, por ejemplo, el cálculo del desplazamiento de equilibrio de\(n\) masas conectadas por resortes, como hemos visto en capítulos anteriores.

Ejemplo 27.1.2 Matriz pentadiagonal:\(m_{\mathrm{b}}=2\)

Como su nombre indica, una matriz pentadiagonal se caracteriza por tener entradas distintas de cero a lo largo de la diagonal principal y las dos diagonales por encima y por debajo de ella, para el total de cinco diagonales. Pictorialmente, una matriz pentadigonal toma la siguiente forma:

Figura\(\underline{27.2}\).

Ejemplo 27.1.3 Matriz de “soporte”

Otro tipo importante de matriz bandeada es una matriz cuyas entradas cero están confinadas dentro de la\(m_{\mathrm{b}}\) banda de la diagonal principal pero para la cual un gran número de entradas entre la diagonal principal y la banda más externa es cero. Nos referiremos a tal matriz como “soporte”. Un ejemplo de tal matriz es

En este ejemplo, hay cinco bandas diagonales distintas de cero, pero las dos bandas externas están localizadas lejos de las tres bandas medias. El ancho de banda de la matriz\(m_{\mathrm{b}}\),, se especifica por la ubicación de las diagonales exteriores. (Tenga en cuenta que esta no es una matriz pentadiagonal ya que las entradas distintas de cero no se limitan a dentro\(m_{\mathrm{b}}=2\).) Las matrices de “soporte” a menudo surgen de la discretización de diferencias finitas (o elementos finitos) de ecuaciones diferenciales parciales en dos o mayores dimensiones.