6.1: Ecuación de deflexión del haz
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Los tres grupos de ecuaciones para el problema de flexión de placas, formuladas en los capítulos 1, 2 y 3 son:
\[\text{ Geometry } \quad \kappa_{\alpha \beta} = −w_{,\alpha \beta} \label{7.1}\]
\[\text{ Equilibrium } \quad M_{\alpha \beta,\alpha \beta} + p = 0 \label{7.2}\]
\[\text{ Elasticity law } \quad M_{\alpha \beta} = D[(1 − \nu)\kappa_{\alpha \beta} + \nu\kappa_{\gamma\gamma}\delta_{\alpha \beta}] \label{7.3}\]
Eliminando\(\kappa_{\alpha \beta}\) entre ecuaciones\ ref {7.1} y\ ref {7.2}
\[M_{\alpha \beta} = D[(1 − \nu)w_{,\alpha \beta} + \nu w_{,\gamma\gamma}\delta_{\alpha \beta}] \label{7.4}\]
y sustituyendo el resultado en Ecuación\ ref {7.3} da
\[D[(1 − \nu)w_{,\alpha \beta} + \nu w_{,\gamma\gamma}\delta_{\alpha \beta}]_{, \alpha \beta} + p = 0 \]
El segundo término entre paréntesis es distinto de cero sólo cuando\(\alpha = \beta\). Por lo tanto, la ecuación\ ref {7.4} se transforma en
\[Dw_{,\alpha\alpha \beta\beta}[−1 + \nu − \nu] + p = 0 \label{7.6}\]
o finalmente
\[Dw_{,\alpha\alpha \beta\beta} = p\]
Introduciendo la definición de laplaciano\(\nabla^2\) y bi-laplaciano\(\nabla^4\) en el sistema de coordenadas rectangulares,
\[\nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}, \nabla^4 = \nabla^2\nabla^2\]
una forma alternativa de Ecuación\ ref {7.6} es
\[D\nabla^4w = p \label{7.9}\]
Esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea de cuarto orden. Las condiciones de contorno en el sistema de coordenadas locales fueron dadas por Ecuaciones (2.8.4 - 2.8.7).
Se debe establecer un conjunto separado de ecuaciones para la respuesta en el plano de la placa
\[\text{ Geometry } \quad \epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} = \frac{1}{2}(u_{\alpha , \beta} + u_{\beta , \alpha})\]
\[\text{ Equilibrium } \quad N_{\alpha \beta , \beta} = 0\]
\[\text{ Elasticity } \quad N_{\alpha \beta} = C[(1 − \nu)\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ} + \nu\epsilon_{\gamma \gamma}^{\circ}\delta_{\alpha \beta}] \]
Eliminando las tensiones\(\epsilon_{\alpha \beta}^{\circ}\) y la fuerza de membrana\(N_{\alpha \beta}\) entre el sistema anterior, se obtienen dos ecuaciones diferenciales parciales acopladas de segundo orden para\(u_{\alpha} (u_1, u_2)\).
\[(1 − \nu)u_{\alpha , \beta \beta} + (1 + \nu)u_{\beta , \alpha \beta} = 0 \]
Dicho sistema rara vez se resuelve, ya que en la aplicación práctica se consideran fuerzas constantes de membrana.
En cualquier caso, la respuesta en plano y fuera del plano de las placas está desacoplada en la teoría clásica de flexión infinitesimal de las placas. Estos dos sistemas se acoplan a través del término de rotación finita\(N_{\alpha \beta}w_{,\alpha \beta}\). La ecuación gobernante extendida en la teoría de la deflexión moderadamente grande es
\[D\nabla^4w + N_{\alpha \beta}w_{,\alpha \beta} = 0 \]
La ecuación anterior será re-derivada y resuelta para pocos casos típicos de carga en el Capítulo 9. El análisis de la ecuación diferencial\ ref {7.9} en la teoría clásica de flexión de placas junto con soluciones ejemplares se puede encontrar en las notas de conferencia del curso 2.081 placas y conchas. En esta sección analizaremos el problema de flexión de las placas circulares, que se rige por la ecuación diferencial lineal ordinaria.