10.2: El decibelio
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La mayoría de las personas están familiarizadas con el término “decibelios” en referencia a la presión sonora. No es raro escuchar a alguien decir algo como “Fueron 110 decibelios en el concierto de anoche y mis oídos siguen sonando”. Este uso popular es algo inexacto, pero sí muestra que los decibelios indican algún tipo de cantidad o nivel relativo; en este caso, nivel de presión sonora.
Representación de decibelios de ganancias de potencia y voltaje
En su forma más simple, el decibelio se utiliza para medir la ganancia del sistema, como la ganancia de potencia o voltaje, donde la ganancia es simplemente la relación de una señal de salida a una señal de entrada. Para un circuito amplificador, la ganancia sería mayor que uno, pero para sistemas puramente pasivos probablemente será fraccional (es decir, la cantidad de salida es menor que la cantidad de entrada). Por ejemplo, se podría decir que un divisor de voltaje simple tiene una “ganancia” de 0.2, o algo así, lo que significa que la señal de salida es solo el 20% de la señal de entrada. A diferencia de las mediciones de ganancia ordinarias, la forma de decibelios es logarítmica. Debido a esto, puede ser muy útil para mostrar proporciones de cambio, así como cambio absoluto. La unidad base es el Bel, que lleva el nombre de Alexander Graham Bell, el destacado científico e inventor estadounidense. Para convertir una ganancia ordinaria a su contraparte Bel, simplemente tome el logaritmo común (base 10) de la ganancia. En forma de ecuación:
\[\text{Bel gain } = \log_{10}( \text{ ordinary gain }) \label{10.1} \]
Tenga en cuenta que en la mayoría de las calculadoras de mano el registro común se denota como “\(\log\)” mientras que el registro natural se da como “\(\ln\)”. Desafortunadamente, algunos lenguajes de programación utilizan “\(\log\)” para indicar log natural y “\(\log 10\)” para log común. Más de un estudiante ha sido mordido por este bicho, ¡así que esté prevenido! Como ejemplo, si un circuito amplificador produce una potencia de salida de 200 milivatios para una entrada de 10 milivatios, normalmente diríamos que tiene una ganancia de potencia de:
\[G = \frac{P_{out}}{P_{i n}} \nonumber \]
\[G = \frac{ 200mW}{10 mW} \nonumber \]
\[G = 20 \nonumber \]
Para la versión de Bel, solo toma el registro de este resultado.
\[G ' = \log_{10} G \nonumber \]
\[G ' = \log_{10} 20 \nonumber \]
\[G ' = 1.301 \nonumber \]
La ganancia de Bel es 1.3 Bels. El término “Bels” no es una unidad en el sentido estricto de la palabra (como en “vatios”), sino que simplemente se usa para indicar que no se trata de una ganancia ordinaria. Por el contrario, las ganancias ordinarias de potencia y voltaje a veces reciben unidades de W/W y V/V para distinguirlas de las ganancias de Bel. También, tenga en cuenta que el símbolo para la ganancia de potencia de Bel es\(G'\) y no\(G\). Todas las ganancias de Bel se denotan con la siguiente notación prime (\(’\)) para evitar confusiones. Debido a que los Bels tienden a ser bastante grandes, normalmente usamos una décima parte de un Bel como norma. El resultado es el decibelio (una décima Bel). Para convertir a decibelios, simplemente multiplique el número de Beles por 10. Nuestra ganancia de 1.3 Beles equivale a 13 decibelios. Las unidades se acortan comúnmente a dB. En consecuencia, podemos decir:
\[G ' = 10 \log_{10} G \label{10.2} \]
Donde el resultado es en dB.
En este punto, tal vez se esté preguntando cuál es la gran ventaja del sistema de decibelios. Para responder a esto, recuerde algunas identidades de registro. La multiplicación normal se convierte en suma en el sistema de registro, y la división se convierte en resta. De igual manera, los poderes y las raíces se convierten en multiplicación y división. Debido a esto, aparecen dos cosas importantes. Primero, las relaciones de cambio se convierten en compensaciones constantes en el sistema de decibelios y, en segundo lugar, todo el rango de valores disminuye en tamaño. El resultado es que se puede representar un rango muy amplio de ganancias dentro de un alcance bastante pequeño de valores, y los cálculos correspondientes pueden volverse más rápidos.
Hay un par de valores de dB que son útiles para recordar, y se ilustran en la Tabla\(\PageIndex{1}\). Con la ayuda de tu calculadora, es muy fácil mostrar lo siguiente:
| Factor | Valor dB usando\(G’ = 10 \log_{10} G\) |
|---|---|
| 1 | \ (G' = 10\ log_ {10} G\) ">0 dB |
| 2 | \ (G' = 10\ log_ {10} G\) ">3.01 dB |
| 4 | \ (G' = 10\ log_ {10} G\) ">6.02 dB |
| 8 | \ (G' = 10\ log_ {10} G\) ">9.03 dB |
| 10 | \ (G' = 10\ log_ {10} G\) ">10 dB |
Cuadro\(\PageIndex{1}\): Factores positivos en dB.
También podemos observar factores fraccionarios (es decir, pérdidas en lugar de ganancias, Tabla\(\PageIndex{2}\)):
| Factor | Valor dB |
|---|---|
| 0.5 | -3.01 dB |
| 0.25 | -6.02 dB |
| 0.125 | -9.03 dB |
| 0.1 | -10 dB |
Cuadro\(\PageIndex{2}\): Factores negativos en dB.
Si miras con atención, notarás que una duplicación está representada por un aumento de aproximadamente 3 dB. Un factor de 4 es en esencia, dos duplicaciones. Por lo tanto, es equivalente a 3 dB + 3 dB, o 6 dB. Recuerde, debido a que estamos usando registros, la multiplicación se convierte en simple suma. De manera similar, un halving se representa por aproximadamente −3 dB. El signo negativo indica una reducción. Para simplificar un poco las cosas, piensa en factores de 2 como\(\pm\) 3 dB, el signo que indica si estás aumentando (multiplicando), o disminuyendo (dividiendo). Como puedes ver, factores de 10 funcionan a un muy conveniente 10 dB. Al recordar estos dos factores, a menudo puede estimar una conversión de dB sin el uso de su calculadora. Por ejemplo, podríamos reelaborar nuestro problema de conversión inicial de la siguiente manera:
- El amplificador tiene una ganancia de 20.
- 20 se puede escribir como 2 veces 10.
- El factor de 2 es 3 dB, el factor de 10 es 10 dB.
- La respuesta debe ser de 3 dB + 10 dB, o 13 dB.
Tiempo para algunos ejemplos.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\)
Un amplificador tiene una ganancia de potencia de 800. ¿Cuál es la ganancia de poder de decibelios?
\[G ' = 10 \log_{10} G \nonumber \]
\[G ' = 10 \log_{10} 800 \nonumber \]
\[G ' = 10\times 2.903 \nonumber \]
\[G ' = 29.03dB \nonumber \]
También podríamos usar nuestra técnica de estimación:
- \(G = 800 = 8\cdot 10^2\)
- 8 es equivalente a 3 factores de 2, o\(2\cdot 2\cdot 2\), y se puede expresar como 3 dB + 3 dB + 3 dB, que es, por supuesto, 9 dB
- \(10^2\)es equivalente a 2 factores de 10, o 10 dB + 10 dB = 20 dB. Como alternativa, la potencia de 2 representa literalmente 2 Beles, y por lo tanto 20 dB.
- El resultado es 9 dB + 20 dB, o 29 dB
Tenga en cuenta que si el dígito inicial no es una potencia de 2, la estimación no será tan precisa. Por ejemplo, si la ganancia es 850, sabes que la ganancia de decibelios es apenas un poco más de 29 dB. También sabes que debe ser menor a 30 dB (\(1000 = 10^3\)que es 3 factores de 10, o 30 dB.) Como puede ver, al usar la forma dB, tiende a concentrarse en la magnitud de la ganancia, y no tanto en los dígitos finales.
Ejemplo\(\PageIndex{2}\)
Un atenuador reduce la potencia de la señal en un factor de 10,000. ¿Qué es esta pérdida expresada en dB?
\[G ' = 10 \log_{10} \frac{1}{10,000} \nonumber \]
\[G ' = 10\times (−4) \nonumber \]
\[G ' = −40 dB \nonumber \]
Mediante el uso de la aproximación, podemos decir,
\[\frac{1}{10,000} = 10^{−4} \nonumber \]
El exponente negativo nos dice que tenemos una pérdida (valor negativo en dB), y 4 factores de 10 (es decir, 4 Bels).
\[G ' = −10 dB −10dB −10dB −10 dB \nonumber \]
\[G ' = −40dB \nonumber \]
Recuerde, si se produce un aumento en la señal, el resultado será un valor de dB positivo. Una disminución en la señal siempre dará como resultado un valor negativo en dB. Una señal que no se modifica indica una ganancia de unidad, o 0 dB.
Para convertir de dB a forma ordinaria, basta con invertir los pasos; es decir, dividir por diez y luego tomar el antilog.
\[G = \log_{10}^{−1} \frac{G'}{10} \label{10.3} \]
En la mayoría de las calculadoras de mano, la base 10 antilog se denota como\(10^x\). En la mayoría de los lenguajes informáticos, simplemente subes 10 a la potencia apropiada, como en G = 10.0** (Gprime/10.0) (Python), o usas una función exponente, como en pow (10.0, Gprime/10.0) (C).
Ejemplo\(\PageIndex{3}\)
Un amplificador tiene una ganancia de potencia de 23 dB. Si la entrada es de 1 mW, ¿cuál es la salida?
Para encontrar la potencia de salida, necesitamos encontrar la ganancia de potencia ordinaria,\(G\).
\[G = \log_{10}^{−1} \frac{G '}{10} \nonumber \]
\[G = \log_{10}^{−1} \frac{23}{10} \nonumber \]
\[G = 199.5 \nonumber \]
Por lo tanto,\(P_{out} = 199.5 \cdot 1 \) mW, o 199.5 mW\ nonumber\]
También se podría utilizar la técnica de aproximación a la inversa. Para ello, rompa la ganancia de dB en trozos de 10 dB y 3 dB:
\[23dB = 3dB+10dB+10dB \nonumber \]
Ahora reemplace cada pedazo con el factor apropiado, y multiplíquelos juntos (recuerde, al pasar del tronco a la forma ordinaria, la suma se convierte en multiplicación).
\[3dB = 2X ,10dB = 10X, \text{ so,} \nonumber \]
\[G = 2\times 10\times 10 \nonumber \]
\[G = 200 \nonumber \]
Si bien la técnica de aproximación parece ser más lenta que la calculadora, la práctica mostrará lo contrario. Ser capaz de estimar rápidamente los valores de dB puede resultar una habilidad muy útil en el campo de la electrónica. Esto es particularmente cierto en diseños más grandes de varias etapas.
Ejemplo\(\PageIndex{4}\)
Un amplificador de tres etapas tiene ganancias de 10 dB, 16 dB y 14 dB por sección. ¿Cuál es la ganancia total de dB?
Debido a que las ganancias de dB son un formulario de registro, simplemente agregue las ganancias de etapa individuales para llegar a la ganancia del sistema.
\[G'_{total} = G'_1+G'_2 + G'_3 \nonumber \]
\[G'_{total} = 10dB+16 dB+14dB \nonumber \]
\[G'_{total} = 40 dB \nonumber \]
Como habrás notado, todos los ejemplos hasta este punto han utilizado ganancia de potencia y no ganancia de voltaje. Es posible que tenga la tentación de usar las mismas ecuaciones para la ganancia de voltaje. En una palabra, no lo hagas.Si piensas un momento atrás, recordarás que la potencia varía según el cuadrado de voltaje. En otras palabras, una duplicación del voltaje producirá un cuadruplicado de la potencia. Si usaras las mismas conversiones de dB, una duplicación del voltaje sería de 3 dB, sin embargo, debido a que la potencia se ha cuadruplicado, esto indicaría un aumento de 6 dB. En consecuencia, la ganancia de voltaje (y también la ganancia de corriente) se tratan de una manera ligeramente diferente. Preferiríamos que nuestra duplicación de voltaje funcione a 6 dB, para que coincida con el cálculo de potencia. El factor de corrección es muy sencillo. Debido a que la potencia varía como la segunda potencia de voltaje, la forma de dB debe ser el doble de grande para el voltaje (recuerde, la exponenciación se convierte en multiplicación cuando se usan registros). Al aplicar este factor a la ecuación\ ref {10.2} se obtienen:
\[A'_v = 20 \log_{10} A_v \label{10.4} \]
Sin embargo, tenga cuidado, la ganancia de voltaje Bel solo es igual a la ganancia de potencia Bel si las impedancias de entrada y salida del sistema coinciden (puede recordar de su otro trabajo que es muy posible diseñar un circuito con ganancias de voltaje y potencia muy diferentes). Si tuviéramos que recalcular nuestra tabla anterior de factores comunes, encontraríamos que una duplicación de la ganancia de voltaje equivale a una subida de 6 dB, y un aumento de diez veces equivale a una subida de 20 dB, el doble del número de decibelios de sus contrapartes de ganancia de potencia.
Tenga en cuenta que la ganancia de corriente puede tratarse de la misma manera que la ganancia de voltaje (aunque esto se hace menos comúnmente en la práctica).
Ejemplo\(\PageIndex{5}\)
Un circuito tiene una señal de salida de 2 V para una entrada de 50 mV. ¿Qué es\(A'_v\)? Primero encuentra la ganancia ordinaria.
\[A_v = \frac{2}{0.05} = 40 \nonumber \]
Ahora convierte a forma dB.
\[A'_v = 20 \log_{10} 40 \nonumber \]
\[A'_v = 20\times 1.602 \nonumber \]
\[A'_v = 32.04 dB \nonumber \]
La técnica de aproximación rinde\(40 = 2\cdot 2\cdot 10\), o 6 dB + 6 dB + 20 dB, o 32 dB.
Para convertir\(A'v\) a\(A\), revertir el proceso.
\[A_v = \log_{10}^{−1} \frac{A'_v}{20} \label{10.5} \]
Ejemplo\(\PageIndex{6}\)
Un amplificador tiene una ganancia de 26 dB. Si la señal de entrada es de 10 mV, ¿cuál es la salida?
\[A_v = \log_{10}^{−1} \frac{A'_v}{20} \nonumber \]
\[A_v = \log_{10}^{−1} \frac{26}{20} \nonumber \]
\[A_v = 19.95 \nonumber \]
\[V_{out} = A_v V_{i n} \nonumber \]
\[V_{out} = 19.95\times 10mV \nonumber \]
El último punto a tener en cuenta en esta sección es que, como en el caso de la ganancia de potencia, un valor de decibelios negativo indica una pérdida. Por lo tanto, un divisor de voltaje 2:1 tendría una ganancia de −6 dB.
Representación de señal en dBW y dBV
Como puede ver en la sección anterior, es posible pasar un tiempo considerable convirtiendo entre ganancias de decibelios y voltajes y potencias ordinarias. Debido a que la forma de decibelios ofrece ventajas para la medición de ganancia, tendría sentido usar una forma de decibelios para los niveles de potencia y voltaje también. Este es un proceso relativamente sencillo. No hay razón por la que no podamos expresar una potencia o voltaje en forma logarítmica. Debido a que un valor de dB solo indica una relación, todo lo que necesitamos hacer es decidir sobre una referencia (es decir, una base comparativa para la relación). Para las mediciones de potencia, una opción probable sería de 1 vatio. En otras palabras, podemos describir una potencia como un cierto número de dB por encima o por debajo de 1 vatio. Los valores positivos indicarán potencias mayores a 1 vatio, mientras que los valores negativos indicarán potencias menores a 1 vatio. En forma de ecuación general:
\[P' = 10 \log_{10} \frac{P}{reference} \label{10.6} \]
La respuesta tendrá unidades de dBW, es decir, decibelios relativos a 1 vatio.
Ejemplo\(\PageIndex{7}\)
Un amplificador de potencia tiene una salida máxima de 120 W. ¿Cuál es esta potencia en dBW?
\[P' = 10 \log_{10} \frac{P}{1 Watt} \nonumber \]
\[P' = 10 \log_{10} \frac{120W}{1W} \nonumber \]
\[P' = 20.8 dBW \nonumber \]
No hay nada sagrado en la referencia de 1 vatio, por debajo de su conveniencia. Con la misma facilidad podríamos elegir una referencia diferente. Otros puntos de referencia comunes son 1 milivatio (dBm) y 1 femtovatio (dBf). Obviamente, dBf se utiliza para niveles de señal muy bajos, como los que provienen de una antena. dBm es muy utilizado en la industria de las comunicaciones. Para utilizar estas otras referencias, basta con dividir el poder dado por el nuevo referente.
Ejemplo\(\PageIndex{8}\)
Un pequeño reproductor de música de audio personal entrega 200 mW a sus auriculares. ¿Cuál es esta potencia de salida en dBW y en dBm?
Para una respuesta en unidades de dBW, utilice la referencia de 1 vatio.
\[P ' = 10 \log_{10} \frac{P}{1Watt} \nonumber \]
\[P' = 10 \log_{10} \frac{200mW}{1W} \nonumber \]
\[P' = −7dBW \nonumber \]
Para unidades de dBm, utilice una referencia de 1 milivatio.
\[P ' = 10 \log_{10} \frac{P}{1Watt} \nonumber \]
\[P' = 10 \log_{10} \frac{200mW}{1 mW} \nonumber \]
\[P' = 23 dBm \nonumber \]
200 mW, −7 dBW y 23 dBm son tres formas de decir lo mismo. Tenga en cuenta que los valores de dBW y dBm están separados por 30 dB. Esto siempre será cierto, porque las referencias son un factor de 1000 (30 dB) de diferencia.
Para transferir un dBW o un valor similar a vatios, invierta el proceso.
\[P = \log_{10}^{−1} \frac{P'}{10} \times reference \label{10.7} \]
Ejemplo\(\PageIndex{9}\)
Un micrófono de estudio produce una señal de 12 dBm mientras graba el habla normal. ¿Cuál es la potencia de salida en vatios?
\[P = \log_{10}^{−1} \frac{P'}{10} \times reference \nonumber \]
\[P = \log_{10}^{−1} \frac{12dBm}{10} \times 1mW \nonumber \]
\[P = 15.8mW = 0.0158W \nonumber \]
Para voltajes, podemos usar un sistema similar. Una referencia lógica es 1 V, siendo las unidades resultantes dBV. Como antes, estas mediciones de voltaje usarán un multiplicador de 20 en lugar de 10.
\[V ' = 20 \log_{10} \frac{V}{reference} \label{10.8} \]
Ejemplo\(\PageIndex{10}\)
Un oscilador de prueba produce una señal de 2 voltios. ¿Cuál es este valor en dBV?
\[V ' = 20 \log_{10} \frac{V}{reference} \nonumber \]
\[V ' = 20 \log_{10} \frac{2 V}{1V} \nonumber \]
\[V ' = 6.02dB \nonumber \]
Cuando tanto las ganancias del circuito como los niveles de señal se especifican en forma de decibelios, el análisis puede ser muy rápido. Dado un nivel de entrada, basta con agregarle la ganancia para encontrar el nivel de salida. Dados los niveles de entrada y salida, restarlos para encontrar la ganancia.
Ejemplo\(\PageIndex{11}\)
Un amplificador de lectura/escritura de disco duro de computadora exhibe una ganancia de 35 dB. Si la señal de entrada es −42 dBV, ¿cuál es la señal de salida?
\[V'_{out} = V'_{i n} + A'_v \nonumber \]
\[V'_{out} = −42 dBV+35dB \nonumber \]
\[V'_{out} = −7dBV \nonumber \]
Tenga en cuenta que las unidades finales son dBV y no dB, lo que indica una tensión y no meramente una ganancia.
Ejemplo\(\PageIndex{12}\)
Un amplificador de potencia de guitarra necesita una entrada de 20 dBm para lograr una salida de 25 dBW. ¿Cuál es la ganancia del amplificador en dB?
Primero, es necesario convertir las lecturas de potencia para que compartan la misma unidad de referencia. Debido a que dBm representa una referencia 30 dB más pequeña que la referencia de dBW, simplemente reste 30 dB para compensar.
\[20 dBm = −10 dBW \nonumber \]
\[G ' = P'_{out} − P'_{i n} \nonumber \]
\[G ' = 25dBW−(−10 dBW) \nonumber \]
\[G ' = 35 dB \nonumber \]
Tenga en cuenta que las unidades son dB y no dBW. ¡Esto es muy importante! Decir que la ganancia es “tantos” dBW es lo mismo que decir que la ganancia es “tantos” vatios. Obviamente, las ganancias son números “puros” y no llevan unidades como vatios o voltios.
El uso de un sistema basado en DB se muestra gráficamente en la Figura\(\PageIndex{1}\). Observe cómo se agregan las ganancias de etapa a la señal de entrada para formar la salida. Incluso los circuitos grandes se pueden analizar rápidamente en esta forma. Para facilitar aún más la vida en el laboratorio, es posible tomar medidas directamente en forma de dB. Al hacer esto, nunca necesita convertir mientras soluciona problemas de un diseño. Para el trabajo de propósito general, las mediciones de voltaje son la norma y, por lo tanto, a menudo se usa una escala de dBV.
Artículos De Interés En El Laboratorio
Cuando se usa un medidor digital en una escala dBV es posible “subdesbordar” el medidor si la señal es demasiado débil. Esto sucederá si intentas medir alrededor de cero voltios, por ejemplo. Si intenta calcular el valor de dBV correspondiente, su calculadora probablemente mostrará “error”. El valor efectivo es negativo infinito dBV. ¡El medidor sin duda tendrá dificultad para mostrar este valor! Otro elemento de interés gira en torno al uso de mediciones de dBm. Es común utilizar un voltímetro para realizar mediciones de dBm, en lugar de un vatímetro. Si bien las conexiones son considerablemente más simples, un voltímetro no puede medir la potencia. ¿Cómo se logra esto entonces? Bueno, siempre y cuando se conozca la impedancia del circuito, la potencia se puede derivar de una medición de voltaje. Una impedancia común en los sistemas de comunicación (como los estudios de grabación) es de 600\(\Omega\), por lo que se puede calibrar un medidor para dar lecturas correctas de dBm mediante el uso de Power Law. Si este medidor se usa en un\(\Omega\) circuito que no es de 600, las lecturas ya no reflejarán valores precisos de dBm (pero seguirán reflejando correctamente los cambios relativos en dB).
Por último, recordando la introducción del capítulo relativo a los niveles de concierto “110 dB”, propiamente, que diría “110 dB-SPL”, refiriéndose a “Nivel de Presión Sonora”. El nivel de referencia correspondiente a 0 dB-SPL es el sonido más silencioso que la persona promedio puede escuchar; el umbral de audición (20 micropascales para humanos jóvenes sanos). Así, 110 dB-SPL se refiere a una presión sonora que es 110 dB mayor que el umbral de audición. Por lo general, 1 dB representa una “diferencia apenas perceptible” en el volumen para los humanos, aunque esto depende de la frecuencia precisa y la presión sonora.