12.3: Identidades vectoriales

Identidades algebraicas

\[ \begin{align} \mathbf { A } \cdot ( \mathbf { B } \times \mathbf { C } ) &= \mathbf { B } \cdot ( \mathbf { C } \times \mathbf { A } ) = \mathbf { C } \cdot ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) \\[5pt] \mathbf { A } \times ( \mathbf { B } \times \mathbf { C } ) &= \mathbf { B } ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { C } ) - \mathbf { C } ( \mathbf { A } \cdot \mathbf { B } ) \end{align} \nonumber \]

Identidades que involucran operadores diferenciales

\[ \begin{align} \nabla \cdot ( \nabla \times \mathbf { A } ) &= 0\\[5pt] \nabla \times ( \nabla f ) &= 0\\[5pt] \nabla \times ( f \mathbf { A } ) &= f ( \nabla \times \mathbf { A } ) + ( \nabla f ) \times \mathbf { A }\\[5pt] \nabla \cdot ( \mathbf { A } \times \mathbf { B } ) &= \mathbf { B } \cdot ( \nabla \times \mathbf { A } ) - \mathbf { A } \cdot ( \nabla \times \mathbf { B } )\\[5pt] \nabla \cdot ( \nabla f ) &= \nabla ^ { 2 } f\\[5pt] \nabla \times \nabla \times \mathbf { A } &= \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { A } ) - \nabla ^ { 2 } \mathbf { A }\\[5pt] \nabla ^ { 2 } \mathbf { A }& = \nabla ( \nabla \cdot \mathbf { A } ) - \nabla \times ( \nabla \times \mathbf { A } )\end{align} \nonumber \]

Teorema de Divergencia

Dada una superficie cerrada que\({\mathcal S}\) encierra un volumen contiguo\({\mathcal V}\),\[\int_{\mathcal V} \left( \nabla \cdot {\bf A} \right) dv = \oint_{\mathcal S} {\bf A}\cdot d{\bf s} \nonumber \] donde la superficie normal\(d{\bf s}\) está apuntando hacia fuera del volumen.

Teorema de Stokes

Dada una curva cerrada que\({\mathcal C}\) delimita una superficie contigua\({\mathcal S}\),\[\int_{\mathcal S} \left( \nabla \times {\bf A} \right) \cdot d{\bf s} = \oint_{\mathcal C} {\bf A}\cdot d{\bf l} \nonumber \] donde la dirección de la superficie normal\(d{\bf s}\) está relacionada con la dirección de integración a lo largo\({\mathcal C}\) de la “regla de la derecha”.