5.2: Características dependientes de la frecuencia
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En esta sección se examinan los orígenes del comportamiento dependiente de la frecuencia de una línea de microcinta. El más importante dependiente de la frecuencia
Figura Dependencia\(\PageIndex{1}\) de frecuencia de los parámetros de la línea de transmisión.
los efectos son
- cambios de las propiedades del material (permitividad, permeabilidad y conductividad) con la frecuencia (Sección 5.2.1),
- Apilamiento de corriente (discutido en la Sección 5.2.3),
- efecto de la piel (Secciones 5.2.4 y 5.2.5),
- variación de la inductancia del conductor interno (Sección 5.2.4),
- dispersión dieléctrica (Sección 5.2.6), y
- multimodo (Sección 5.3).
5.2.1 Dependencia material
Los cambios de permitividad, permeabilidad y conductividad con frecuencia son propiedades de los materiales utilizados. Afortunadamente las características de los materiales de microondas son casi independientes de la frecuencia, al menos hasta\(300\text{ GHz}\).
5.2.2 Distribución de carga dependiente de la frecuencia
El efecto de la piel, la acumulación de corriente y la inductancia del conductor interno se deben al retraso necesario en la transferencia de información EM de una ubicación a otra. Esta información no puede viajar más rápido que la velocidad de la luz en el medio. En un material dieléctrico la velocidad de una onda EM será más lenta que la del espacio libre por un factor de\(\sqrt{\varepsilon_{r}}\), por ejemplo,\(c/3.2\) for\(\varepsilon_{r} = 10\). La velocidad en un conductor es extremadamente baja, alrededor\(c/1000\), debido a la alta conductividad. En resumen, la acumulación de corriente se debe a cambios relacionados con la velocidad finita de transferencia de información a través del dieléctrico, y el efecto piel se debe a la muy lenta velocidad de transferencia de información dentro de un conductor. A medida que aumenta la frecuencia, solo se puede enviar información limitada para reorganizar las cargas antes de que la polaridad de la señal se invierta y se 'envíe' información para revertir los cambios. Los efectos de la piel y el agrupamiento de carga en una línea de microcinta se ilustran en la Figura\(\PageIndex{3}\).
5.2.3 Apilamiento de corriente
Considere la distribución de carga de microcinta que se muestra en la Figura\(\PageIndex{3}\). El grosor de la microcinta suele ser una fracción significativa de su ancho, aunque esto es exagerado aquí.
La distribución de carga mostrada en la Figura\(\PageIndex{3}\) (a) se aplica cuando hay un voltaje de CC positivo en la tira y las cargas positivas en el conductor superior dispuestas con una distribución bastante uniforme. Las cargas positivas individuales tienden a repelerse unas a otras, pero esto tiene poco efecto en la
Figura\(\PageIndex{2}\): Dispersión de un pulso a lo largo de una línea.
Figura\(\PageIndex{3}\): Vista transversal de la distribución de carga en una interconexión a diferentes frecuencias. Los\(+\) e\(−\) indican concentraciones de carga de diferente polaridad y densidades de corriente correspondientes. No hay corriente de acumulamiento o efecto de piel a DC.
distribución de carga a bajas frecuencias para conductores prácticos con conductividad finita. En el plano de tierra hay cargas negativas de equilibrio que se distribuyen uniformemente a través de todo el plano de tierra. La distribución de carga a CC, indica que la corriente fluiría uniformemente por toda la banda y la corriente de retorno en el plano de tierra se distribuiría por todo el plano de tierra.
La distribución de carga se vuelve menos uniforme a medida que aumenta la frecuencia y eventualmente la señal cambia tan rápidamente que la información para reorganizar las cargas en el plano de tierra pronto es contrarrestada por instrucciones inversas (medio período último). Por lo tanto, la distribución de carga depende de qué tan rápido cambie la señalización. Una forma de ver este efecto es ver las cargas en la tira de la línea de microcinta a la vez. Esto se muestra en la Figura\(\PageIndex{4}\) para una señal de CC en la línea y para una señal de alta frecuencia.
Las líneas de campo eléctrico, que deben originarse y terminar con cargas, se concentrarán en el sustrato más estrechamente debajo de la tira a medida que aumente la frecuencia. Los dos efectos principales son que la permitividad efectiva de la línea de microcinta aumenta con la frecuencia, y la pérdida resistiva aumenta a medida que aumenta la densidad de corriente en el suelo, que corresponde a la densidad de carga neta. De esta manera la resistencia de la línea y la capacitancia aumentan con la frecuencia, ver Figuras\(\PageIndex{1}\) (a y d). Para la mayoría de los sustratos\(G\) se debe a la relajación dieléctrica y así aumenta linealmente con la frecuencia con un incremento superlineal a frecuencias muy altas cuando el campo eléctrico está más concentrado en el dieléctrico, ver Figura\(\PageIndex{1}\) (c).
En el dominio de frecuencia los efectos de acumulación de corriente se ven en las vistas de mayor frecuencia mostradas en las Figuras\(\PageIndex{3}\) (b y c). (La concentración de cargas cerca de la superficie metálica es un efecto separado conocido como efecto piel).
Figura\(PageIndex{4}\): Efecto actual de agrupamiento en el tiempo. Las cargas positivas y negativas se muestran en la tira y en el plano de tierra. El mirador está en el plano de tierra.
Figura\(\PageIndex{5}\): Secciones transversales de la tira de una línea de microcinta que muestran el impacto del efecto de la piel y la acumulación de corriente sobre la densidad de corriente: (a) a dc (densidad de corriente uniforme); (b) el espesor de la tira,\(t\), es igual a la profundidad de la piel,\(\delta_{s}\) (es decir, a una frecuencia de microondas baja); (c)\(t = 3\delta_{s}\); ( d)\(t = 5\delta_{s}\) (es decir, a una alta frecuencia de microondas); y (e)\(t = 5\delta_{s}\) para una franja estrecha. Las gráficas son el resultado de simulaciones 3D de una línea de microcinta utilizando rejillas de conductores internos.
5.2.4 Efecto de la piel e inductancia interna del conductor
A bajas frecuencias, las corrientes se distribuyen uniformemente a lo largo de un conductor. Por lo tanto, hay campos magnéticos dentro del conductor y por lo tanto el almacenamiento de energía magnética. Como resultado, hay inductancia adicional. La transferencia de carga al interior de los conductores es particularmente lenta, y a medida que aumenta la frecuencia de la señal, las cargas se confinan más cerca de la superficie del metal, ver Figura\(\PageIndex{5}\). Este fenómeno se conoce como el efecto piel. Con corrientes internas más bajas, la inductancia del conductor interno se reduce y la inductancia total de la línea disminuye, ver Figura\(\PageIndex{1}\) (b). Solo por encima de unos pocos gigahercios o así se puede aproximar la inductancia de línea como constante para una línea típica de microcinta.
La profundidad de la piel\(\delta_{s}\),, es la distancia a la que el campo eléctrico, o la densidad de carga, se reduce a\(1/e\) de su valor en la superficie. La profundidad de la piel es
\[\label{eq:1}\delta_{s}=1/\sqrt{\pi f\mu_{0}\sigma_{2}} \]
Aquí\(f\) está la frecuencia y\(\sigma_{2}\) es la conductividad del conductor. La (parte real de la) permitividad y permeabilidad de los metales que normalmente se utilizan para las interconexiones (por ejemplo, oro, plata, cobre y aluminio) son las del espacio libre ya que no hay mecanismo para almacenar energía eléctrica o magnética adicional.
5.2.5 Efecto Piel y Resistencia a la Línea
El efecto de la piel se ilustra en la Figura\(\PageIndex{3}\) (b) en\(1\text{ GHz}\). La situación es más extrema ya que la frecuencia sigue aumentando. Hay varias consecuencias importantes de esto. En el conductor superior, a medida que aumenta la frecuencia, el flujo de corriente se concentra principalmente cerca de la superficie de los conductores y el área de sección transversal efectiva del conductor, en lo que a la corriente se refiere, es menor. Así aumenta la resistencia del conductor superior. Existe una situación más dramática para la carga en el plano de tierra que se concentra más bajo la franja. Además de esto, las cargas y la corriente se limitan a la piel del conductor de tierra de manera que el cambio relativo dependiente de la frecuencia de la resistencia del plano de tierra con frecuencia creciente es mayor que el de la tira.
El efecto piel y el agrupamiento actual dan como resultado la dependencia de la frecuencia de la resistencia de la línea\(R\), con
\[\label{eq:2}R(f)=\left\{\begin{array}{ll}{R(0)}&{f\text{ such that }t\leq 3\delta_{s}}\\ {R(0)+R_{\text{skin}}(f)}&{f\text{ such that }t> 3\delta_{s}} \end{array} \right. \]
donde\(R(0) = R_{\text{strip}}(0) + R_{\text{ground}}(0)\) está la resistencia de la línea a bajas frecuencias. \(R(f)\)describe la resistencia de la línea dependiente de la frecuencia que se debe tanto al efecto de la piel como al agrupamiento actual. Aproximadamente
\[\label{eq:3}R_{\text{skin}}(f)=R(0)k\sqrt{f} \]
donde\(k\) es una constante dependiente de la geometría. Tenga en cuenta que no tiene sentido hacer una tira o de tierra más gruesa que tres veces la profundidad de la piel.
Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Skin Depth
Determinar la profundidad de piel para cobre (Cu), plata (Ag), aluminio (Al), oro (Au), y titanio (Ti) en\(100\text{ MHz},\: 1\text{ GHz},\: 10\text{ GHz}\), y\(100\text{ GHz}\).
Solución
La profundidad de la piel se calcula usando la Ecuación\(\eqref{eq:1}\).
| Metal |
Resistividad\((n\Omega\cdot\text{m})\) | Conductividad\((\text{MS/m})\) | Profundidad de la piel,\(\delta_{s}\text{ (}\mu\text{m)}\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(100\text{ MHz}\) | \(1\text{ GHz}\) | \(10\text{ GHz}\) | \(100\text{ GHz}\) | |||
| Cobre (Cu) | \ ((n\ Omega\ cdot\ texto {m})\) ">\(16.78\) | \ ((\ text {mS/m})\) ">\(59.60\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ MHz}\) “>\(6.52\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(1\text{ GHz}\) “>\(2.06\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(10\text{ GHz}\) “>\(0.652\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ GHz}\) “>\(0.206\) |
| Plata (Ag) | \ ((n\ Omega\ cdot\ texto {m})\) ">\(15.87\) | \ ((\ text {mS/m})\) ">\(63.01\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ MHz}\) “>\(6.34\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(1\text{ GHz}\) “>\(2.01\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(10\text{ GHz}\) “>\(0.634\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ GHz}\) “>\(0.201\) |
| Aluminio (Al) | \ ((n\ Omega\ cdot\ texto {m})\) ">\(26.50\) | \ ((\ text {mS/m})\) ">\(37.74\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ MHz}\) “>\(8.19\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(1\text{ GHz}\) “>\(2.59\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(10\text{ GHz}\) “>\(0.819\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ GHz}\) “>\(0.259\) |
| Oro (Ag) | \ ((n\ Omega\ cdot\ texto {m})\) ">\(22.14\) | \ ((\ text {mS/m})\) ">\(45.17\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ MHz}\) “>\(7.489\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(1\text{ GHz}\) “>\(2.37\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(10\text{ GHz}\) “>\(0.749\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ GHz}\) “>\(0.237\) |
| Titanio (Ti) | \ ((n\ Omega\ cdot\ texto {m})\) ">\(4200\) | \ ((\ text {mS/m})\) ">\(0.2381\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ MHz}\) “>\(103.1\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(1\text{ GHz}\) “>\(32.6\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(10\text{ GHz}\) “>\(10.3\) | \ (\ delta_ {s}\ texto {(}\ mu\ texto {m)}\)\(100\text{ GHz}\) “>\(3.26\) |
Mesa\(\PageIndex{1}\)
5.2.6 Dispersión dieléctrica
La dispersión es principalmente el resultado de que la velocidad de propagación de una señal sinusoidal depende de la frecuencia, ya que la permitividad efectiva depende de la frecuencia. Las líneas de campo eléctrico se desplazan como resultado con más energía eléctrica que está en el dieléctrico a medida que aumenta la frecuencia. A altas frecuencias, el reordenamiento da como resultado que la capacitancia de la línea aumente, típicamente menor que\(10\%\) de CC a\(100\text{ GHz}\).
Los límites de\(\varepsilon_{e}(f)\) se establecen fácilmente; en el extremo de baja frecuencia se reduce al valor TEM estático\(\varepsilon_{e}\) (o\(\varepsilon_{e}(0)\)), mientras que a medida que la frecuencia se incrementa indefinidamente, se\(\varepsilon_{e}(f)\) acerca a la permitividad del sustrato en sí,\(\varepsilon_{r}\). Es decir,
\[\label{eq:4}\varepsilon_{e}(f)\to\left\{\begin{array}{ll}{\varepsilon_{e}(0)}&{\text{as }f\to 0}\\{\varepsilon_{r}}&{\text{as }f\to ∞}\end{array}\right. \]
donde\(\varepsilon_{e}(0)\) viene dada por la Ecuación (4.4.12). Rendimiento de análisis detallado
\[\label{eq:5}\varepsilon_{e}(f)=\varepsilon_{r}-\frac{\varepsilon_{r}-\varepsilon_{e}(0)}{1+(f/f_{a})^{m}} \]
donde\(m\) y\(f_{a}\) depender de\(w,\: h,\) y\(\varepsilon_{r}\), ver Sección 24.3 de [1]. Muy aproximadamente\(m ≈ 2\) y\(f_{a} ≈ 50\text{ GHz}\) para una línea de\(50\:\Omega\) microcinta con/ un\(500\:\mu\text{m}\) sustrato. La impedancia característica dependiente de la frecuencia es
\[\label{eq:6}Z_{0}(f)=Z_{0}(0)\frac{\sqrt{\varepsilon_{e}(0)}}{\varepsilon_{e}(f)} \]
donde\(Z_{0}(0)\) es el valor de baja frecuencia dado por la Ecuación (4.4.9).
5.2.7 Resumen
Para microstrip, al aumentar la frecuencia la proporción de energía de señal en la región del aire se reduce y la proporción en el dieléctrico aumenta. La tendencia general es que los campos estén más concentrados en el dieléctrico a medida que aumenta la frecuencia y por lo tanto aumenta la permitividad relativa efectiva.