2.1: Ecuaciones de Maxwell

Las ecuaciones de Maxwell vienen dadas por

$$\vec{\nabla} \times \vec{H} = \vec{j} + \dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}, \nonumber$$

$$\vec{\nabla} \times \vec{E} = -\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}, \label{eq2.1.2}$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{D} = \rho, \nonumber$$

$$\vec{\nabla} \cdot \vec{B} = 0 \nonumber$$ .

Las ecuaciones materiales que acompañan a las ecuaciones de Maxwell son:

$$\vec{D} = \epsilon_0 \vec{E} + \vec{P}, \nonumber$$

$$\vec{B} = \mu_0 \vec{H} + \vec{M}. \nonumber$$

Aquí,$\vec{E}$ y$\vec{H}$ están el campo eléctrico y magnético,$\vec{D}$ el flujo dieléctrico,$\vec{B}$ el flujo magnético,$\vec{j}$ la densidad de corriente de los acargas libres,$\rho$ es la densidad de carga libre,$\vec{P}$ es la polarización, y$\vec{M}$ la magnetización. Al tomar el rizo de la Ecuación\ ref {eq2.1.2} y considerando$\vec{\nabla} \times (\vec{\nabla} \times \vec{E}) = \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \vec{E}) - \Delta \vec{E}$, obtenemos

$$\Delta \vec{E} - \mu_0 \dfrac{\partial}{\partial t} \left (\vec{j} + \epsilon_0 \dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t} + \dfrac{\partial \vec{P}}{\partial t} \right ) = \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{E}) \nonumber$$

y por lo tanto

$$\left (\Delta - \dfrac{1}{c_0^2} \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \right ) \vec{E} = \mu_0 \left ( \dfrac{\partial vec{j}}{\partial t} + \dfrac{\partial^2}{\partial t^2} \vec{P} \right ) + \dfrac{\partial}{\partial t} \vec{\nabla} \times \vec{M} + \vec{\nabla} ( \vec{\nabla} \cdot \vec{E}).\label{eq2.1.8}$$

La velocidad de vacío de la luz es

$$c_0 = \sqrt{\dfrac{1}{\mu_0 \epsilon_0}}. \nonumber$$