7.2: Límites de Fano-Bode

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Figura\(\PageIndex{1}\): Límites de Fano-Bode para circuitos con cargas reactivas.

Figura\(\PageIndex{2}\): Respuesta buscando en la red coincidente utilizada en la definición de criterios no integrales de Fano-Bode. El ancho de banda de paso (bajo\(\Gamma\), es BW).

Una carga compleja que tiene elementos de almacenamiento de energía limita el ancho de banda de la coincidencia lograda por una red coincidente. Los límites teóricos que abordan el ancho de banda y la calidad del partido fueron desarrollados por Fano [1, 2] con base en trabajos anteriores de Bode [3]. Estos límites teóricos se conocen como los criterios FanoBode o los límites Fano-Bode. Los límites para cargas simples se muestran en la Figura\(\PageIndex{1}\). Las cargas más generales son tratadas por Fano [1]. Los criterios Fano-Bode se utilizan para justificar la amplia afirmación de que cuanto más energía reactiva se almacena en una carga, más estrecho es el ancho de banda de una coincidencia.

Los criterios Fano-Bode incluyen el término\(1/ |\Gamma (\omega )|\), que es el inverso de la magnitud del coeficiente de reflexión mirando hacia la red coincidente, como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). Una red coincidente proporciona coincidencia sobre un ancho de banda radián BW, y fuera de la banda de frecuencia coincidente se acerca la magnitud del coeficiente de reflexión\(1\). Introduciendo\(\Gamma_{\text{avg}}\) como el valor absoluto promedio\(\Gamma (\omega )\) dentro de la banda de paso, y con\(f_{0} = \omega_{0}/(2\pi )\) como la frecuencia central de la coincidencia (ver Figura\(\PageIndex{2}\)), entonces los cuatro criterios Fano-Bode mostrados en la Figura se\(\PageIndex{1}\) pueden escribir como

Carga RC paralela:

\[\label{eq:1}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi}{R(\omega_{0}C)} \]

Carga RL paralela:

\[\label{eq:2}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi(\omega_{0}L)}{R} \]

Carga de la serie RL:

\[\label{eq:3}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi R}{(\omega_{0} L)} \]

Carga RC de la serie:

\[\label{eq:4}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\pi R(\omega_{0}C) \]

En términos de reactancia y susceptancia, estos pueden escribirse como

Carga paralela:

\[\label{eq:5}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi G}{|B|} \]

Carga en serie:

\[\label{eq:6}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi R}{|X|} \]

donde\(G = 1/R\) esta la conductancia de la carga,\(B\) es la susceptancia de carga, y\(X\) es la reactancia de carga. \(\text{BW}/\omega_{0}\)es el ancho de banda fraccional de la red coincidente. Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) e\(\eqref{eq:6}\) indican que cuanto mayor es la proporción de energía almacenada de forma reactiva en la carga en comparación con la potencia disipada en la carga, menor es el ancho de banda fraccional\((\text{BW}/\omega_{0})\) para el mismo coeficiente de reflexión en banda promedio\(\Gamma_{\text{avg}}\).

Ecuaciones\(\eqref{eq:5}\) y se\(\eqref{eq:6}\) pueden simplificar un paso más allá:

\[\label{eq:7}\frac{\text{BW}}{\omega_{0}}\ln\left(\frac{1}{\Gamma_{\text{avg}}}\right)\leq\frac{\pi}{Q} \]

donde\(Q\) esta el de la carga. Se pueden extraer varios resultados generales de la ecuación de la\(\eqref{eq:7}\) siguiente manera:

Si la carga almacena cualquier energía reactiva,\(Q\) de modo que la carga no sea cero, el coeficiente de reflexión en banda que busca en la red coincidente no puede ser cero a través de la banda de paso.
Cuanto mayor sea\(Q\) la carga, más estrecho será el ancho de banda de la coincidencia para el mismo coeficiente promedio de reflexión en banda.
Cuanto mayor sea\(Q\) la carga, más difícil será diseñar la red coincidente para lograr un ancho de banda coincidente específico.
Una coincidencia en todas las frecuencias solo es posible si el\(Q\) de la carga es cero; es decir, si la carga es resistiva. En este caso, una carga resistiva podría adaptarse a una fuente resistiva mediante el uso de un transformador magnético. El uso de una red coincidente con\(C\) componentes\(L\) agrupados dará como resultado una coincidencia sobre un ancho de banda finito. Sin embargo, con más de dos\(L\) y\(C\) elementos se puede aumentar el ancho de banda del partido.
Se requieren redes de coincidencia multielemento para maximizar el ancho de banda de la red coincidente y minimizar el coeficiente de reflexión en banda. El diseño de la red coincidente se vuelve más difícil a\(Q\) medida que aumenta la carga.