5.10: Diferencial y Modos Comunes

Al trabajar con RFIC es conveniente usar definiciones de modo diferencial y común, en lugar de definiciones de modo impar y par, ya que estas se relacionan directamente con los circuitos diferenciales más utilizados en el diseño CMOS. Hay varias razones para esto y una es que el tipo más común de amplificador con circuitos CMOS es un amplificador diferencial donde hay dos líneas de señal de entrada y dos líneas de señal de salida y la señal real es la señal diferencial que, en términos de voltaje, es la diferencia de las dos tensiones en las líneas. La situación es como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\) (a) donde hay dos conductores de señal y un plano de tierra (at\(0\text{ V}\)). Aquí está el voltaje diferencial\(V_{d} = (V_{1}−V_{2})\). El voltaje de modo común es el\(V_{c} = \frac{1}{2}(V_{1}+V_{2})\) que normalmente consistirá en un voltaje de CC y una señal de modo común generalmente pequeña e idealmente cero, que es la parte no CC de\(V_{c}\). La mayoría de los circuitos CMOS están diseñados para que el componente de CC de\(V_{d} = 0\). Es una peculiaridad de la historia que la ingeniería de microondas y, por lo tanto, el análisis EM utilizaron señales de modo par e impar cuyas definiciones difieren en un factor de dos de las definiciones de señales de modo común y diferencial. Esta sección relaciona los dos grupos de señales y parámetros para el grupo de modos común/diferencial y el grupo de modos par/impar.

Los parámetros de modo diferencial y común de las líneas acopladas se pueden derivar de los parámetros de modo impar y par. La diferencia está en la definición del voltaje y las corrientes en los modos como se muestra en la Figura\(\PageIndex{1}\). El modo par se define con\(V_{1} = V_{2} = V_{e}\) y\(I_{1} = I_{2} = I_{e}\), mientras que para el modo común\(V_{1} = V_{2} = V_{c}\) y\(I_{1} + I_{2} = I_{c}\). Así, en términos de la impedancia característica de modo par\(Z_{0e}\), la impedancia característica de modo común es

\[\label{eq:1}Z_{0c}=\frac{1}{2}Z_{0e} \]

El modo impar se define con\(V_{1} = −V_{2} = V_{o}\) y\(I_{1} = −I_{2} = I_{o}\), mientras que para el modo diferencial\(V_{1} − V_{2} = V_{d}\) y\(I_{1} = −I_{2} = I_{d}\). Así, en términos de la impedancia característica de modo impar\(Z_{0o}\), la impedancia característica de modo diferencial es

\[\label{eq:2}Z_{0d}=2Z_{0o} \]

Figura\(\PageIndex{1}\): Definición de modos de línea acoplada.

Figura\(\PageIndex{2}\): Configuraciones de conducción.

Otros parámetros permanecen sin cambios. Es decir, la constante de propagación, las velocidades de fase y de grupo, y las longitudes de onda son las mismas para los modos común y par, como lo son para los modos diferencial e impar.

Las configuraciones de activación y terminación para señales de modo diferencial y común se muestran en la Figura\(\PageIndex{2}\). La terminación sin reflexión (es decir, coincidente) de las líneas acopladas utilizadas en modo común es

\[\label{eq:3}R_{L}=Z_{0c}=\frac{1}{2}Z_{0e} \]

como en la Figura\(\PageIndex{2}\) (a). La terminación sin reflexión de una línea diferencial es

\[\label{eq:4}R_{L}=Z_{0d}=2Z_{0o} \]

como se muestra en la Figura\(\PageIndex{2}\) (b).

Ejemplo\(\PageIndex{1}\): Common and Differential Mode Reflections at the End of Coupled Lines

Un par de líneas acopladas con impedancias características de modo común y diferencial\(Z_{cC}\) y\(Z_{0d}\) respectivamente se carga como se muestra en la Figura 5.6.6 (a) donde la carga tiene la matriz de\(y\) parámetros de dos puertos,\(\mathbf{Y}\). Encuentra las reflexiones comunes y de modo diferencial. Este ejemplo es paralelo al Ejemplo 5.7.1 donde se consideraron los modos par e impar.

Solución

El análisis comienza escribiendo las expresiones que relacionan la onda viajera y los voltajes y corrientes totales en la terminación.

\[\begin{array}{llll}{V_{c} =\frac{1}{2}(V_{1} + V_{2})}&{V_{d} = (V_{1} − V_{2})}&{I_{c} = (I_{1} + I_{2})}&{I_{d} = \frac{1}{2}(I_{1} − I_{2})}\\{V_{1} = (V_{1}^{+} + V_{1}^{−})}&{V_{2} = (V_{2}^{+} + V_{2}^{−})}&{I_{1} = (I_{1}^{+} + I_{1}^{−})}&{I_{2} = (I_{2}^{+} + I_{2}^{−})}\\{V_{1}^{+} = (V_{c}^{+} +\frac{1}{2}V_{d}^{+})}&{V_{2}^{+}= (V_{c}^{+} −\frac{1}{2} V_{d}^{+})}&{I_{1}^{+} = (\frac{1}{2} I_{c}^{+} + I_{d}^{+})}&{I_{2}^{+} = (\frac{1}{2} I_{c}^{−} − I_{d}^{+})}\\{V_{1}^{−} = (V_{c}^{−} +\frac{1}{2}V_{d}^{−})}&{V_{2}^{−} = (V_{c}^{−} −\frac{1}{2} V_{d}^{−})}&{I_{1}^{−} = (\frac{1}{2} I_{c}^{−} + I_{d}^{−})}&{I_{2}^{−} = (\frac{1}{2} I_{c}^{−} − I_{d}^{−})}\\{I_{c}^{+} = V_{c}^{+} /Z_{0c}}&{I_{c}^{−} = −V_{c}^{−} /Z_{0c}}&{I_{d}^{+} = V_{d}^{+}/Z_{0c}}&{I_{d}^{−} = −V_{d}^{−} /Z_{0d}}\end{array}\nonumber \]

En la terminación

\[\begin{align}\left[\begin{array}{c}{I_{1}}\\{I_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\frac{1}{2} I_{c}^{+} + I_{d}^{+} +\frac{1}{2} I_{c}^{−} + I_{d}^{−}}\\{\frac{1}{2}I_{c}^{+} − I_{d}^{+} + \frac{1}{2} I_{c}^{−} − I_{d}^{−}}\end{array}\right]&=\mathbf{Y}\left[\begin{array}{c}{V_{1}}\\{V_{2}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{1}}\\{V_{2}}\end{array}\right]\nonumber \\ \label{eq:5}\left[\begin{array}{c}{\frac{1}{2}(V_{c}^{+} − V_{c}^{−})/Z_{0c} + (V_{d}^{+} − V_{d}^{−})/Z_{0d}}\\{\frac{1}{2}(V_{c}^{+} − V_{c}^{−})/Z_{0c} − (V_{d}^{+} − V_{d}^{−})/Z_{0d}}\end{array}\right]&=\left[\begin{array}{cc}{y_{11}}&{y_{12}}\\{y_{21}}&{y_{22}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V_{c}^{+} +\frac{1}{2} V_{d}^{+} + V_{c}^{−} +\frac{1}{2} V_{d}^{−}}\\{V_{c}^{+} −\frac{1}{2} V_{d}^{+} + V_{c}^{−} −\frac{1}{2} V_{d}^{−}}\end{array}\right]\end{align} \]

Los modos pares e impares reflejados tienen contribuciones de los modos incidente común y diferencial:

\[\label{eq:6}V_{c}^{−} = \Gamma_{Lc}V_{e}^{+} + C_{cd}V_{d}^{+}\quad\text{and}\quad V_{d}^{−} = \Gamma_{Ld}V_{d}^{+} + C_{dc}V_{c}^{+} \]

donde\(\Gamma_{ce}\) y\(\Gamma_{Ld}\) son coeficientes de reflexión de modo común y diferencial,\(C_{dc}\) y\(C_{cd}\) describir el acoplamiento, y

\[\label{eq:7} \Gamma_{Lc}=\left.\frac{V_{c}^{-}}{V_{c}^{+}}\right|_{V_{d}^{+}=0}\quad\Gamma_{Ld}=\left.\frac{V_{d}^{-}}{V_{d}^{+}}\right|_{V_{c}^{+}=0}\quad C_{cd}=\left.\frac{V_{c}^{-}}{V_{d}^{+}}\right|_{V_{c}^{+}=0}\quad\text{and}\quad C_{dc}=\left.\frac{V_{d}^{-}}{V_{c}^{+}}\right|_{V_{d}^{+}=0} \]

\(\Gamma_{Lc}\)y\(C_{ed}\) se obtienen expandiendo Ecuación\(\eqref{eq:5}\) con\(V_{d}^{+} = 0\)

\[\begin{align} (V_{c}^{+} − V_{c}^{−})/Z_{0c} − 2V_{d}^{−}/Z_{0d} &= y_{11}(2V_{c}^{+} + 2V_{c}^{−} + V_{d}^{−}) + y_{12} (2V_{c}^{+} + 2V_{c}^{−} − V_{d}^{-}) \nonumber \\ \label{eq:8}\text{i.e. }\frac{V_{c}^{-}}{Z_{0c}} (1 + 2y_{11}Z_{0c} + 2y_{12}Z_{0c}) &= \frac{V_{c}^{+}}{Z_{0c}} (1 − 2y_{11}Z_{0c} − 2y_{12}Z_{0c}) −\frac{V_{d}^{-}}{Z_{0d}} (2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d}) \\ (V_{c}^{+} − V_{c}^{−})/Z_{0c} + 2V_{d}^{−})/Z_{0d} &= y_{21}( 2V_{c}^{+} + 2V_{c}^{−} + V_{d}^{−}) + y_{22}( 2V_{c}^{+} + 2V_{c}^{−} − V_{d}^{−}) \\ \label{eq:9}\text{i.e }\frac{V_{d}^{-}}{Z_{0d}}(−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d}) &=\frac{V_{c}^{+}}{Z_{0c}} (1 − 2y_{21}Z_{0c} − 2y_{22}Z_{0c}) +\frac{V_{c}^{-}}{Z_{0c}} (−1 − 2y_{21}Z_{0c} − 2y_{22}Z_{0c})\end{align} \]

\(\Gamma_{Lc}\)se obtiene eliminando\(V_{d}^{−}\) multiplicando la Ecuación\(\eqref{eq:9}\) por\((2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d})\) y restándola de la Ecuación\(\eqref{eq:8}\) multiplicada por\((−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})\):

\[\label{eq:10}V_{c}^{-}\frac{a}{Z_{0d}}=V_{c}^{+}\left.\frac{b}{Z_{0c}}\right|_{V_{d}^{+}=0}\quad\text{Thus}\quad\Gamma_{Le}=\frac{b}{a} \]

donde

\[\begin{align} a&=(1 + 2y_{11}Z_{0c} + 2y_{12}Z_{0c})(−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})−(1 + 2y_{21}Z_{0c} + 2y_{22}Z_{0c})(2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d})\nonumber \\ \label{eq:11} &= −2 − Z_{0d}Y_{\Delta} − 4Z_{0c}Y_{\Sigma} − 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D} \\ b&=(1 − 2y_{11}Z_{0c} − 2y_{12}Z_{0c})(−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})−(1 − 2y_{21}Z_{0c}−2y_{22}Z_{0c})(2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d}) \\ \label{eq:12} & = −4 − Z_{0d}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D} \end{align} \]

\[\begin{align}\label{eq:13} Y_{\Sigma}&= (y_{11} + y_{12} + y_{21} + y_{22}),\: Y_{\Delta} = (y_{11} − y_{12} − y_{21} + y_{22}),\:\:\text{ and }\:Y_{D} = (y_{11}y_{22} − y_{12}y_{21}) \\ \label{eq:14} \Gamma_{Le}&=\frac{b}{a}=\frac{4 + Z_{0d}Y_{\Delta} − 4Z_{0c}Y_{\Sigma} − 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}{4 + Z_{0d}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}\end{align} \]

Compare esto con el coeficiente de reflexión de modo par,\(\Gamma_{Le}\), que se encuentra en el Ejemplo 5.6.6. Sustitución\(Z_{0d} = 2Z_{0o}\) y\(Z_{0c} = \frac{1}{2}Z_{0e}\) en Ecuación\(\eqref{eq:14}\)

\[\label{eq:15}\Gamma_{Le}=\frac{4+2Z_{0o}Y_{\Delta} − 2Z_{0e}Y_{\Sigma} − 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}{4+2Z_{0o}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}=\Gamma_{Le} \]

Encuentre\(C_{cd}\) expandiendo Ecuación\(\eqref{eq:5}\) con\(V_{c}^{+} = 0\):

\[\begin{align} −V_{c}^{−}/Z_{0c} + (2V_{d}^{+} − 2V_{d}^{−})/Z_{0d} &= y_{11}(V_{d}^{+} + 2V_{c}^{−} + V_{d}^{−}) + y_{12}(−V_{d}^{+} + 2V_{c}^{−} − V_{d}^{−}) \nonumber \\ \label{eq:16}\text{i.e. }\frac{V_{c}^{-}}{Z_{0c}}(1 + 2y_{11}Z_{0c} + 2y_{12}Z_{0c}) &=\frac{V_{d}^{+}}{Z_{0d}} (2 − y_{11}Z_{0d} + y_{12}Z_{0d}) −\frac{V_{d}^{-}}{Z_{0d}} (2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d}) \\ −V_{c}^{−}/Z_{0c} − (2V_{d}^{+} − 2V_{d}^{−})/Z_{0d} &= y_{21}(+V_{d}^{+} + 2V_{c}^{−} + V_{d}^{−}) + y_{22}(−V_{d}^{+} + 2V_{c}^{−} − V_{d}^{−}) \\ \label{eq:17}\text{i.e }\frac{V_{d}^{-}}{Z_{0d}}(−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d}) &= −\frac{V_{d}^{+}}{Z_{0d}} (2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d}) −\frac{V_{c}^{-}}{Z_{0c}} (1 + 2y_{21}Z_{0c} + 2y_{22}Z_{0c})\end{align} \]

Para eliminar\(V_{d}^{−}\) multiplicar Ecuación\(\eqref{eq:17}\) por\((2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d})\) y restarla de Ecuación\(\eqref{eq:16}\) multiplicada por\((−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})\):

\[\label{eq:18}\frac{V_{c}^{-}}{Z_{0c}}a=\frac{V_{d}^{+}}{Z_{0d}}c\quad\text{so that}\quad C_{eo}=\frac{c}{a}\frac{Z_{0c}}{Z_{0d}} \]

donde\(a\) es como en la Ecuación\(\eqref{eq:11}\) y

\[\begin{align} c &= (2 − y_{11}Z_{0d} + y_{12}Z_{0d})(−2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})+(2 + y_{21}Z_{0d} − y_{22}Z_{0d})(2 + y_{11}Z_{0d} − y_{12}Z_{0d}) \nonumber \\ \label{eq:19} &= −2Z_{0d}Y_{E}\quad\text{where}\quad Y_{E} = (y_{11} − y_{12} + y_{21} − y_{22}) \end{align} \]

\[\label{eq:20}C_{cd}=\frac{4Z_{0c}Y_{E}}{4 + Z_{0d}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}=C_{eo} \]

(que se puede verificar usando las sustituciones\(Z_{0d} = 2Z_{0o}\) y\(Z_{0c} =\frac{1}{2}Z_{0e}\)).

Del mismo modo,

\[\label{eq:21}\Gamma_{Ld}=\frac{2 + Z_{0d}(y_{12} + y_{21}) − 2Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}{2 + Z_{0d}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 2Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}=\Gamma_{Lo} \]

y

\[\label{eq:22}C_{dc}=\frac{-4Z_{0c}Y_{E}}{4 + Z_{0d}Y_{\Delta} + 4Z_{0c}Y_{\Sigma} + 4Z_{0c}Z_{0d}Y_{D}}=C_{cd}=C_{oe} \]