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LibreTexts Español

2.6: Resumen

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    86213
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    Comenzamos el capítulo con tres definiciones equivalentes de un proceso de Poisson: primero como un proceso de renovación con intervalos inter-renovaciones distribuidos exponencialmente, segundo como un proceso de conteo de incrementos estacionario e independiente con llegadas distribuidas de Poisson en cada intervalo, y tercero esencialmente como un límite de encogiendo los procesos de Bernoulli. Vimos que cada definición aportaba sus propios conocimientos sobre las propiedades del proceso. Se enfatizó la importancia de la propiedad sin memoria de la distribución exponencial, tanto como una herramienta útil en la resolución de problemas como una razón subyacente por la cual el proceso de Poisson es tan sencillo.

    A continuación mostramos que la suma de procesos independientes de Poisson es nuevamente un proceso de Poisson. También mostramos que si las llegadas en un proceso de Poisson se enrutan independientemente a diferentes ubicaciones con alguna asignación de probabilidad fija, entonces las llegadas a estas ubicaciones forman procesos independientes de Poisson. Esta capacidad de ver procesos independientes de Poisson ya sea de forma independiente o como una división de un proceso combinado es una técnica poderosa para encontrar soluciones casi triviales a muchos problemas.

    A continuación se demostró que un proceso de Poisson no homogéneo podría ser visto como un proceso de Poisson (homogéneo) en una escala de tiempo no lineal. Esto permite que todas las propiedades de las propiedades (homogéneas) de Poisson se apliquen directamente al caso no homogéneo. El resultado más simple y útil de esto es (2.34), mostrando que el número de llegadas en cualquier intervalo tiene un PMF de Poisson. Este resultado se utilizó para mostrar que el número de clientes en servicio en un momento dado\(\tau\) en una\(\mathrm{M} / \mathrm{G} / \infty\) cola tiene un PMF de Poisson con una media aproximándose a\(\lambda\) veces el tiempo de servicio esperado en el límite como\(\tau \rightarrow \infty\).

    Finalmente observamos la distribución de las épocas de llegada condicionadas a n llegadas en el intervalo\((0, t]\). Se encontró que estas épocas de llegada tuvieron la misma distribución conjunta que las estadísticas de orden de n uniformes IID rv en\((0, t]\). Usando simetría y yendo y viniendo entre las variables uniformes y las llegadas al proceso de Poisson, encontramos la distribución de los tiempos de interllegada, las épocas de llegada y diversas distribuciones condicionales.


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