4.1: Introducción a los procesos de renovación
- Page ID
- 86269
Recordemos que un proceso de renovación es un proceso de llegada en el que los intervalos entre llegadas son positivos, 1 variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (IID) (rv). Los procesos de renovación (ya que son procesos de llegada) pueden especificarse de tres maneras estándar, primero, por las distribuciones conjuntas de las épocas de llegada\(S_{1}, S_{2}, \ldots\), segundo, por las distribuciones conjuntas de los tiempos interarribos\(X_{1}, X_{2}, \ldots\), y tercero, por las distribuciones conjuntas de las rv de conteo,\(N(t)\) para \(t>0\). Recordemos que\(N(t)\) representa el número de llegadas al sistema en el intervalo\((0, t]\).
La caracterización más simple es a través de los tiempos de interllegada\(X_{i}\), ya que son IID. Cada época de llegada\(S_{n}\) es simplemente la suma\(X_{1}+X_{2}+\cdots+X_{n}\) de\(n\) IID rv. La caracterización de mayor interés en este capítulo es el proceso de conteo de renovación,\(\{N(t) ; t>0\}\). Recordemos de\ ref {2.2} y\ ref {2.3} que las épocas de llegada y los rv de conteo están relacionados en cada una de las siguientes formas equivalentes.
\[\left\{S_{n} \leq t\right\}=\{N(t) \geq n\} ; \quad\left\{S_{n}>t\right\}=\{N(t)<n\}\label{4.1} \]
La razón para llamar a estos procesos procesos de renovación es que el proceso probabilísticamente comienza de nuevo en cada época de llegada,\(S_{n}\). Es decir, si la enésima llegada ocurre a\(S_{n}=\tau\), entonces, contando desde\(S_{n}=\tau\), la época de llegada\(j^{\mathrm{t} h}\) posterior está en\(S_{n+j}-S_{n}=X_{n+1}+\cdots+X_{n+j}\). Así,\(S_{n}=\tau,\{N(\tau+t)-N(\tau) ; t \geq 0\}\) se da un proceso de conteo de renovación con intervalos entre llegadas IID de la misma distribución que el proceso de renovación original. Esta interpretación de las llegadas como renovaciones se discutirá con más detalle más adelante.
La razón principal para estudiar los procesos de renovación es que muchos procesos complicados tienen instantes que ocurren aleatoriamente en los que el sistema vuelve a un estado probabilísticamente equivalente al estado inicial. Estas épocas de renovación incrustadas nos permiten separar el comportamiento a largo plazo del proceso (que se puede estudiar a través de la teoría de la renovación) del comportamiento dentro de cada período de renovación.
Supongamos que una cadena recurrente de Markov finitestado con matriz de transición\([P]\) inicia en estado\(i\) en el tiempo 0. Entonces en el primer regreso al estado\(i\), digamos en el momento\(n\), la cadena de Markov, de vez\(n\) en adelante, es una réplica probabilística de la cadena que comienza en el tiempo 0. Es decir, el estado en el tiempo 1 es\(j\) con probabilidad\(P_{i j}\), y, dado un retorno a\(i\) en el tiempo\(n\), la probabilidad de estado\(j\) en el tiempo\(n+1\) es\(P_{i j}\). De la misma manera, para cualquier\(m>0\),
\[\operatorname{Pr}\left\{X_{1}=j, \ldots, X_{m}=k \mid X_{0}=i\right\}=\operatorname{Pr}\left\{X_{n+1}=j, \ldots, X_{n+m}=k \mid X_{n}=i\right\}\label{4.2} \]
Cada regreso posterior al estado\(i\) en un momento dado\(n\) inicia una nueva réplica probabilística de la cadena de Markov comenzando en estado\(i\) en el tiempo 0,. Así, la secuencia de tiempos de entrada a estado\(i\) puede verse como las épocas de llegada de un proceso de renovación.
Este ejemplo es importante, y constituirá la clave para el análisis de las cadenas de Markov con un conjunto contablemente infinito de estados en el Capítulo 5. Al mismo tiempo,\ ref {4.2} no justifica del todo ver sucesivos retornos a estado\(i\) como un proceso de renovación. El problema es que el tiempo de la primera entrada al estado\(i\) después del tiempo 0 es una variable aleatoria en lugar de un tiempo dado\(n\). Esto no será un problema importante para resolver, pero la resolución será más perspicaz después de desarrollar algunas propiedades básicas de los procesos de renovación.
Las llegadas de clientes a una cola de g/g/m forman un proceso de conteo de renovación,\(\{N(t) ; t>0\}\). Cada cliente que llega espera en la cola hasta que uno de los servidores\(m\) idénticos sea libre de servirlo. El tiempo de servicio requerido por cada cliente es un rv, IID sobre los clientes e independiente de los tiempos de llegada y servidores. Se supone que el sistema está vacío para\(t<0\), y una llegada, vista como número de cliente 0, se asume en el tiempo 0. Los intervalos posteriores entre llegadas\(X_{1}, X_{2}, \ldots\), son IID. Tenga en cuenta que\(N(t)\) para cada uno\(t>0\) es el número de llegadas en\((0, t]\), por lo que el número de llegada 0 a no\(t=0\) se cuenta en\(N(t)^{2}\).
Definimos un nuevo proceso de conteo\(\left\{N^{r}(t) ; t>0\right\}\), para el cual las épocas de renovación son aquellas épocas particulares de llegada en el proceso original\(\{N(t) ; t>0\}\) en las que un cliente que llega ve un sistema vacío (es decir, ningún cliente en cola y ninguno en servicio). 3 Mostraremos en la Sección 4.5.3 que en realidad\(\left\{N^{r}(t) t>0\right\}\) es un proceso de renovación, pero damos una explicación intuitiva aquí. Tenga en cuenta que el cliente 0 llega a la hora 0 a un sistema vacío, y dada una primera llegada posterior a un sistema vacío, en digamos época\(S_{1}^{r}>0\), los intervalos posteriores entre llegadas del cliente son independientes de las llegadas\(\left(0, S_{1}^{r}\right)\) y se distribuyen de manera idéntica a las llegadas anteriores. Los tiempos de servicio posteriores también\(S_{1}^{r}\) son IID de los anteriores. Finalmente, las condiciones que provocan la cola a partir de la llegada a un sistema vacío en\(t=S_{1}^{r}\) son las mismas que las que comienzan desde la llegada a un sistema vacío en\(t=0\).
En la mayoría de las situaciones, usamos las palabras llegadas y renovaciones de manera intercambiable, pero para este tipo de ejemplo, la palabra llegada se usa para el proceso de conteo\(\{N(t) ; t>0\}\) y la palabra renovación se usa para\(\left\{N^{r}(t) ; t>0\right\}\). El motivo por el que nos interesa\(\{N^{r}(t) ; t>0\}\) es que nos permite analizar colas muy complicadas como esta en dos etapas. Primero,\(\{N(t) ; t>0\}\) analicemos la distribución de los intervalos entre renovaciones\(X_{n}^{r}\) de\(\left\{N^{r}(t) ; t>0\right\}\). En segundo lugar, los resultados generales de renovación desarrollados en este capítulo se pueden aplicar\(X_{n}^{r}\) a la distribución para comprender el comportamiento general del sistema de colas.
A lo largo de nuestro estudio de los procesos de renovación, utilizamos\(\bar{X}\) e\(\mathrm{E}[X]\) indistintamente para denotar el intervalo medio entre renovaciones, y usamos\(\sigma_{X}^{2}\) o simplemente\(\sigma^{2}\) para denotar la varianza del intervalo interrenovaciones. Normalmente asumiremos que\(\bar{X}\) es finito, pero, salvo donde se indique explícitamente, no necesitamos asumir que\(\sigma^{2}\) es finito. Esto significa, primero, que no es\(\sigma^{2}\) necesario calcular (lo que a menudo es difícil si las renovaciones están incrustadas en un proceso más complejo), y segundo, ya que los errores de modelado en las colas lejanas de la distribución inter-renovación típicamente afectan\(\sigma^{2}\) más de\(\bar{X}\), los resultados son relativamente robustos para este tipo de errores de modelado.
Gran parte de este capítulo se dedicará a comprender el comportamiento de\(N(t)\) y\(N(t) / t\) como\(t\) se vuelve grande. Como podría parecer intuitivamente obvio, y como se demuestra en el Ejercicio 4.1,\(N(t)\) es un rv (es decir, no defectuoso) para cada uno\(t>0\). También, como se demuestra en el Ejercicio 4.2,\(\mathrm{E}[N(t)]<\infty\) para todos\(t>0\). Entonces también queda claro que\(N(t) / t\), que se interpreta como la tasa de renovación promedio en el tiempo\((0, t]\), es también una rv con expectativa finita.
Uno de los principales resultados sobre la teoría de la renovación, que establecemos en breve, se refiere al comportamiento de los rv\(N(t) / t\) como\(t \rightarrow \infty\). Para cada punto de muestreo\(\omega \in \Omega\),\(N(t, \omega) / t\) es un número no negativo para cada uno\(t\) y\(\{N(t, \omega) ; t>0\}\) es una ruta de muestreo del proceso de renovación de conteo, tomada de\((0, t]\) para cada uno\(t\). Por lo tanto\(\lim _{t \rightarrow \infty} N(t, \omega) / t\), si existe, es la tasa de renovación promedio en el tiempo superior\((0, \infty)\) para el punto de muestreo\(\omega\).
La ley fuerte para los procesos de renovación establece que esta tasa limitante de tiempo promedio de renovación existe para un conjunto de\(\omega\) que tiene probabilidad 1, y que este valor limitante es\(1 / \bar{X}\). A menudo nos referiremos a este resultado por la afirmación menos precisa de que la tasa de renovación promedio en el tiempo es\(1 / \bar{X}\). Este resultado es consecuencia directa de la fuerte ley de números grandes (SLLN) para IID rv. En la siguiente sección, primero declaramos y probamos el SLLN para IID rv y luego establecemos la ley fuerte para procesos de renovación.
Otro resultado teórico importante en este capítulo es el teorema de renovación elemental, que establece que\(\mathrm{E}[N(t) / t]\) también se acerca\(1 / \bar{X}\) como\(t \rightarrow \infty\). Sorprendentemente, esto es más que una consecuencia trival de la ley fuerte para los procesos de renovación, y desarrollaremos varios resultados ampliamente útiles como la igualdad de Wald, para establecer este teorema.
El resultado final principal teórico del capítulo es el teorema de Blackwell, que muestra que, para los valores apropiados de\(\delta\), el número esperado de renovaciones en un intervalo\((t, t+\delta]\) se acerca\(\delta / \bar{X}\) como\(t \rightarrow \infty\). Así, interpretaremos\(1 / \bar{X}\) como una tasa de renovación promedio del conjunto. Esta tasa es la misma que la tasa de renovación promedio en el tiempo anterior. Veremos los beneficios de poder trabajar tanto con promedios de tiempo como con promedios de conjuntos.
Hay una amplia gama de otros resultados, que van desde resultados estándar de cola hasta resultados que se necesitan en todos los capítulos posteriores.
1 Los procesos de renovación a menudo se definen de una manera un poco más general, permitiendo que los intervalos\(X_{i}\) entre llegadas incluyan la posibilidad\(1>\operatorname{Pr}\left\{X_{i}=0\right\}>0\). Todos los teoremas de este capítulo son válidos bajo esta suposición más general, como se puede verificar complicando un poco las pruebas. Permitir\(\operatorname{Pr}\left\{X_{i}=0\right\}>0\) permite múltiples llegadas al mismo instante, lo que hace necesario\(N(0)\) permitir asumir valores positivos, y parece inhibir la intuición sobre las renovaciones. El ejercicio 4.3 muestra cómo ver estos procesos de renovación más generales mientras se usa la definición aquí, mostrando así que la generalidad agregada no vale mucho.
2 Siempre hay cierta torpeza en 'iniciar' un proceso de renovación, y la suposición de una llegada en el tiempo 0 que no se cuenta en\(N(t)\) parece extraña, sino que simplifica la notación. El proceso se define en términos de los intervalos entre renovaciones del IID\(X_{1}, X_{2}, \ldots\) La primera época de renovación está en\(S_{1}=X_{1}\), y este es el punto en el que\(N(t)\) cambia de 0 a 1.
3 Los lectores que aceptan sin duda que\(\left\{N^{r}(t) t>0\right\}\) es un proceso de renovación deben estar orgullosos de su intuición probabilística, pero también deben cuestionarse exactamente cómo se puede probar tal conclusión.