4.9: Resumen

Las secciones 4.1 a 4.7 desarrollaron los resultados centrales sobre los procesos de renovación que aparecen frecuentemente en capítulos posteriores. El capítulo inicia con la ley fuerte para los procesos de renovación, mostrando que la tasa promedio de tiempo de renovaciones,\(N(t) / t\), se acerca\(1 / \overline{X}\) con probabilidad 1 como\(t \rightarrow \infty\). Esto, combinado con la fuerte ley de los grandes números, es la base para la mayoría de los resultados posteriores sobre los promedios de tiempo. La Sección 4.4 agrega una función de recompensa\(R(t)\) al proceso de renovación subyacente. Estas funciones de recompensa se definen para depender únicamente del intervalo inter-renovación que contiene\(t\), y se utilizan para estudiar muchos aspectos sorprendentes de los procesos de renovación como la vida residual, la edad y la duración. Para todas las rutas de muestreo de un proceso de renovación (excepto un subconjunto de probabilidad 0), la recompensa promedio en el tiempo para una determinada\(R(t)\) es una constante, y esa constante es la recompensa agregada esperada en un intervalo entre renovaciones dividido por la duración esperada de un intervalo entre renovaciones.

El siguiente tema, en la Sección 4.5, es el de detener los juicios. Estos tienen aplicaciones obvias a situaciones en las que se juega un experimento o juego hasta que se produce algún resultado deseado (o no deseado) (basado en los resultados hasta e incluyendo el ensayo dado). Este es un tema básico e importante en su derecho, pero también es necesario para comprender tanto cómo\(\mathrm{E}[N(t)] / t\) varía la tasa de renovación esperada con el tiempo\(t\) como cómo se puede aplicar la teoría de la renovación a las situaciones de cola. Finalmente, encontramos que las reglas de detención fueron útiles para comprender las colas G/G/1, especialmente el teorema de Little, y para derivar una comprensión de la expresión Pollaczek-Khinchin para el retraso esperado en una cola M/G/1.

A esto le sigue, en la Sección 4.6, un análisis de cómo\(\mathrm{E}[N(t)] / t\) varía con\(t\). Esto comienza usando las transformaciones de Laplace para obtener una solución completa del conjunto-promedio\(\mathrm{E}[N(t)] / t\), en función de\(t\), cuando la distribución del intervalo inter-renovación tiene una transformación racional de Laplace. Para el caso general (donde la transformación de Laplace es irracional o inexistente), el teorema de renovación elemental lo demuestra\(\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[N(t)] / t=1 / \overline{X}\). El hecho de que el promedio de tiempo (WP1) y el promedio conjunto limitante sean los mismos no es sorprendente, y el hecho de que el ensemble-promedio tenga un límite no es sorprendente. Estos resultados son tan fundamentales para otros resultados en probabilidad, sin embargo, que merecen ser entendidos.

Otro resultado fundamental en la Sección 4.6 es el teorema de la renovación de Blackwell, demostrando que la distribución de épocas de renovación alcanza un estado estacionario como\(t \rightarrow \infty\). La forma de ese estado estacionario depende de si la distribución entre renovaciones es aritmética (véase (4.59)) o no aritmética (véase (4.58)).

La Sección 4.7 une los resultados sobre recompensas en 4.4 con los de promedios conjuntos en 4.6. Bajo algunas restricciones muy menores impuestas por el teorema de renovación clave, encontramos que, para distribuciones inter-renovaciones no aritméticas,\(\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[R(t)]\) es lo mismo que el valor promedio de tiempo de la recompensa.

Finalmente, se demostró que todos los resultados anteriores se aplican a procesos de renovación retrasada

Para mayor lectura sobre los procesos de renovación, véase Feller, [8], Ross, [16], o Wolff, [22]. Feller todavía parece ser la mejor fuente para una comprensión profunda de los procesos de renovación, pero Ross y Wolff son algo más accesibles.