4.8: Procesos de Renovación Retrasada

Hemos visto cierta torpeza en nuestra discusión del teorema de Little y el resultado del retraso M/G/1 porque se asumió una llegada, pero no contada, en el tiempo 0; esto fue necesario para que el primer intervalo inter-renovación fuera estadísticamente idéntico a los demás. En este apartado, corrigimos ese defecto permitiendo distribuir arbitrariamente la época en la que se produce la primera renovación. El tipo de proceso resultante es una generalización de la clase de procesos de renovación conocidos como procesos de renovación retardados. La palabra retrasado no implica necesariamente que la primera época de renovación sea en ningún sentido mayor que los otros intervalos entre renovaciones. Más bien, significa que el proceso de renovación habitual, con tiempos de inter-renovación del IID, se retrasa hasta después de la época de la primera renovación. Lo que descubriremos es intuitivamente satisfactorio —tanto el comportamiento promedio de tiempo como, en esencia, el comportamiento conjunto limitante no se ven afectados por la distribución de la primera época de renovación. Podría ser algo sorprendente, sin embargo, encontrar que esta irrelevancia de la distribución de la primera época de renovación se mantiene incluso cuando la media de la primera época de renovación es infinita.

Para ser más precisos, dejamos$\left\{X_{i} ; i \geq 1\right\}$ ser un conjunto de variables aleatorias independientes no negativas. $X_{1}$tiene una función de distribución dada$\mathrm{G}(x)$, mientras que$\left\{X_{i} ; i \geq 2\right\}$ se distribuyen de manera idéntica con una función de distribución dada$\mathrm{F}(x)$. Por lo tanto, un proceso de renovación es un caso especial de un proceso de renovación retrasada para el cual$G(x)=F(x)$. $S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$Sea la época$n$ de la renovación. Primero mostramos que el SLLN aún se mantiene a pesar del comportamiento desviado de$X_{1}$.

Lema 4.8.1

Dejar$\left\{X_{i} ; i \geq 2\right.$ ser IID con una media$\overline{X}$ satisfactoria$\mathrm{E}[|X|]<\infty$ y dejar$X_{1}$ ser un rv, independiente de$\left\{X_{i} ; i \geq 2\right\}$. Vamos$S_{n}=\sum_{i=1}^{n} X_{i}$. Después$\lim S_{n} / n=\overline{X}$ WP1.

Prueba

Tenga en cuenta que

$\frac{S_{n}}{n}=\frac{X_{1}}{n}+\frac{\sum_{i=2}^{n} X_{i}}{n}$

Dado que$X_{1}$ es finito WP1, el primer término anterior va a 0 WP1 como$n \rightarrow \infty$. El segundo término va a$\overline{X}$, demostrando el lema (que es así una variación trivial del SLLN).

Ahora, para el proceso de renovación retrasado dado, deje$N(t)$ ser el número de épocas de renovación hasta e incluyendo el tiempo$t$. Esto todavía está determinado por el hecho de que$\{N(t) \geq n\}$ si y sólo si$\left.\left\{S_{n} \leq t\right\}\right)$. $\{N(t) ; t>0\}$se llama entonces un proceso de recuento de renovación retrasada. El siguiente lema simple se desprende del lema 4.3.1.

Lema 4.8.2

Dejar$\{N(t) ; t>0\}$ ser un proceso de conteo de renovación retrasada. Entonces$\lim _{t \rightarrow \infty} N(t)=\infty$ con probabilidad 1 y$\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[N(t)]=\infty$.

Prueba

Condicionando$X_{1}=x$, podemos escribir$N(t)=1+N^{\prime}(t-x)$ dónde$N^{\prime}\{t ; t \geq 0\}$ está el proceso ordinario de conteo de renovación con intervalos entre renovaciones$X_{2}, X_{3}, \ldots$. De Lema 4.3.1,$\lim _{t \rightarrow \infty} N^{\prime}(t-x)=\infty$ con probabilidad 1, y$\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left[N^{\prime}(t-x)\right]=\infty$. Dado que esto es cierto para cada finito$x>0$, y$X_{1}$ es finito con probabilidad 1, el lema está probado.

Teorema 4.8.1 (Ley Fuerte para Procesos de Renovación Retrasada).

Dejar$N(t) ; t>0$ ser el proceso de recuento de renovación para un proceso de renovación retardada donde los intervalos entre renovaciones$X_{2}, X_{3}, \ldots$, tienen función de distribución F y media finita$\overline{X}=\int_{x=0}^{\infty}[1-\mathrm{F}(x)] d x$. Entonces

$$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{N(t)}{t}=\frac{1}{\overline{X}} \quad W P 1\label{4.98}$$

Prueba

Usando Lema 4.8.1, se cumplen las condiciones para el Teorema 4.3.2, por lo que la prueba sigue exactamente como la prueba del Teorema 4.3.1.

A continuación nos fijamos en el teorema de renovación elemental y el teorema de Blackwell para procesos de renovación retardados. Para ello, vemos un proceso de conteo de renovación retardada$\{N(t) ; t>0\}$ como un proceso de conteo de renovación ordinario que comienza en una época aleatoria no negativa$X_{1}$ con alguna función de distribución$G(t)$. Definir$N_{o}\left(t-X_{1}\right)$ como el número de renovaciones que ocurren en el intervalo$\left(X_{1}, t\right]$. Condicional a cualquier valor de muestra dado$x$ para$X_{1}$,$\left\{N_{o}(t-x) ; t-x>0\right\}$ es un proceso ordinario de conteo de renovación y por lo tanto, dado$X_{1}=x, \lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}\left[N_{o}(t-x)\right] /(t-x)=1/\overline{X}$. Ya que$N(t)=1+N_{o}\left(t-X_{1}\right)$ para$t>X_{1}$, vemos que, condicionados$X_{1}=x$,

$$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{E}\left[N(t) \mid X_{1}=x\right]}{t}=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{E}\left[N_{o}(t-x)\right]}{t-x} \frac{t-x}{t}=\frac{1}{\overline{X}}\label{4.99}$$

Como esto es cierto para cada valor de muestra finito$x$ para$X_{1}$, hemos establecido el siguiente teorema:

Teorema 4.8.2 (Teorema de Renovación Retrasada Primaria)

Si no$\left\{X_{i} ; i \geq 2\right\}$ son aritméticos, entonces, para todos$\delta>0$,

$$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{E}[N(t+\delta)-N(t)]}{\delta}=\frac{1}{\overline{X}}\label{4.102}$$

Si$\left\{X_{i} ; i \geq 2\right\}$ son aritméticos con span$\lambda$ y media$\overline{X}$ y$X_{1}$ es aritmética con span$m \lambda$ para algún entero positivo$m$, entonces

$$\lim _{i \rightarrow \infty} \operatorname{Pr}\{\text { renewal at } t=i \lambda\}=\frac{\lambda}{\overline{X}}\label{4.103}$$

Procesos Retrasados de Renovación-Recompensa

Hemos visto que la distribución de la primera época de renovación no tiene ningún efecto sobre el tiempo o el comportamiento promedio del conjunto de un proceso de renovación (aparte de la dependencia del conjunto del tiempo para un proceso aritmético). Esto se traslada para recompensar funciones casi sin cambios. En particular, la versión generalizada del Teorema 4.4.1 es la siguiente:

Teorema 4.8.4

Dejar$\{N(t) ; t>0\}$ ser un proceso de recuento de renovación retardada donde los intervalos de interrenovación$X_{2}, X_{3}, \ldots$ tienen la función de distribución F. Let$Z(t)=t-S_{N(t)}$, let$\tilde{X}(t)=S_{N(t)+1}-S_{N(t)}$, y let$R(t)=\mathcal{R}(Z(t)$,$\widetilde{X}(t))$ ser una función de recompensa. Supongamos que

$\mathrm{E}\left[\mathrm{R}_{n}\right]=\int_{x=0}^{\infty} \int_{z=0}^{x} \mathcal{R}(z, x) d z \ d \mathrm{F}(x)<\infty$

Entonces, con probabilidad uno,

$$\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{\tau=0}^{t} R(\tau) d \tau=\frac{\mathrm{E}\left[\mathrm{R}_{n}\right]}{\overline{X}_{2}} \text { for } n \geq 2\label{4.104}$$

Omitimos la prueba de esto ya que es una variación menor de la del teorema 4.4.1. Finalmente, la equivalencia del tiempo y los promedios conjuntos limitantes se mantiene como antes, cediendo

$$\lim _{t \rightarrow \infty} \mathrm{E}[R(t)]=\frac{\mathrm{E}\left[\mathrm{R}_{n}\right]}{\overline{X}_{2}}\label{4.105}$$

Comportamiento transitorio de procesos de renovación retardada

Dejar$m(t)=\mathrm{E}[N(t)]$ para un proceso de renovación retrasado. Al igual que en (4.51), tenemos

$$m(t)=\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Pr}\{N(t) \geq n\}=\sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}\label{4.106}$$

Para$n \geq 2$,$S_{n}=S_{n-1}+X_{n}$ donde$X_{n}$ y$S_{n-1}$ son independientes. A partir de la ecuación de convolución (1.12),

$$\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}=\int_{x=0}^{t} \operatorname{Pr}\left\{S_{n-1} \leq t-x\right\} d \mathrm{F}(x) \quad \text { for } n \geq 2\label{4.107}$$

Para$n=1$,$\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}=\mathrm{G}(t)$. Sustituyendo esto en\ ref {4.106} e intercambiando el orden de integración y suma,

\ [\ begin {alineado}
m (t) &=\ mathrm {G} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t}\ sum_ {n=2} ^ {\ infty}\ nombreoperador {Pr}\ izquierda\ {S_ {n-1}\ leq t-x\ derecha\} d\ mathrm {F} (x)\\
&=\ mathrm {G} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t}\ suma_ {n=1} ^ {\ infty}\ nombreoperador {Pr}\ izquierda\ {S_ {n}\ leq t-x\ derecha\} d\ mathrm {F} (x)\\
& amp; =\ mathrm {G} (t) +\ int_ {x=0} ^ {t} m (t-x) d\ mathrm {F} (x);\ quad t\ geq 0
\ final {alineado}\ etiqueta {4.108}\]

Esta es la ecuación de renovación para procesos de renovación retardada y es una generalización de (4.52). Se muestra que tiene una solución única en [8], Sección 11.1.

Hay otra ecuación integral útil muy similar a\ ref {4.108} que surge de la ruptura$S_{n}$ como la suma de$X_{1}$ y$\widehat{S}_{n-1}$ dónde$\widehat{S}_{n-1}=X_{2}+\cdots+X_{n}$. Dejando$\widehat{m}(t)$ ser el número esperado de renovaciones a tiempo$t$ para un proceso ordinario de renovación con distribución entre llegadas F, argumento similar al anterior, comenzando por$\operatorname{Pr}\left\{S_{n} \leq t\right\}=\int_{0}^{t} \operatorname{Pr}\left\{\widehat{S}_{n-1} \leq t-x\right\} d \mathrm{G}(x)$ rendimientos

$$m(t)=\mathrm{G}(t)+\int_{x=0}^{t} \widehat{m}(t-x) d \mathrm{G}(x)\label{4.109}$$

Esta ecuación resalta claramente el efecto del intervalo de renovación inicial, y es útil en el cálculo si ya se sabe$\widehat{m}(t)$.

Con frecuencia, la forma más conveniente de lidiar$m(t)$ es a través de transformaciones. Siguiendo el mismo argumento que el del (4.54), obtenemos$L_{m}(r)=(1 / r) L_{\mathrm{G}}(r)+L_{m}(r) L_{\mathrm{F}}(r)$. Resolviendo, obtenemos

$$L_{m}(r)=\frac{L_{\mathrm{G}}(r)}{r\left[1-L_{\mathrm{F}}(r)\right]}\label{4.110}$$

Podemos encontrar$m(t)$ a partir de\ ref {4.110} encontrando la transformada inversa de Laplace, usando el mismo procedimiento que en el Ejemplo 4.6.1. Hay un polo de segundo orden en$r=0$ otra vez, y, evaluando el residuo, lo es$1 / L_{\mathrm{F}}^{\prime}(0)=1 / \overline{X}_{2}$, lo cual no es sorprendente en términos del teorema de Blackwell. También podemos ampliar numerador y denominador de\ ref {4.110} en una serie de potencia, como en (4.55). La transformada inversa, correspondiente a (4.56), es

$$m(t)=\frac{t}{\overline{X}}+\frac{\mathrm{E}\left[X_{2}^{2}\right]}{2 \overline{X}}-\frac{\overline{X}_{1}}{\overline{X}}+\epsilon(t) \quad \text { for } t \rightarrow 0, \label{4.111}$$

donde$\lim _{t \rightarrow \infty} \epsilon(t)=0$.

Proceso de Equilibrio

Considera un proceso ordinario de renovación no aritmética con un intervalo$X$ de distribución entre renovaciones$\mathrm{F}(x)$. Hemos visto que la distribución del intervalo desde la siguiente renovación se$t$ aproxima$\mathrm{F}_{Y}(y)=(1 / \mathrm{E}[X]) \int_{0}^{y}[1-\mathrm{F}(x)] d x$ como$t \rightarrow \infty$. Esto sugiere que si miramos este proceso de renovación a partir de algunos muy grandes$t$, deberíamos ver un proceso de renovación retrasada para el cual la distribución$G(x)$ de la primera renovación es igual a la distribución de la vida residual$\mathrm{F}_{Y}(x)$ por encima y los intervalos posteriores entre renovaciones deberían tener la distribución original$\mathrm{F}(x)$ arriba. Así parece que tal proceso de renovación retrasada es el mismo que el proceso de renovación ordinaria original, salvo que se inicia en “estado estacionario”. Para verificar esto, mostramos que$m(t)=t / \overline{X}$ es una solución a\ ref {4.108} si$\mathrm{G}(t)=\mathrm{F}_{Y}(t)$. Sustituyendo$(t-x) / \overline{X}$ por$m(t-x)$, el lado derecho de\ ref {4.108} es

$\frac{\int_{0}^{t}[1-\mathrm{F}(x)] d x}{\overline{X}_{2}}+\frac{\int_{0}^{t}(t-x) d \mathrm{~F}(x)}{\overline{X}}=\frac{\int_{0}^{t}[1-\mathrm{F}(x)] d x}{\overline{X}}+\frac{\int_{0}^{t} \mathrm{~F}(x) d x}{\overline{X}}=\frac{t}{\overline{X}},$

donde hemos utilizado la integración por partes para la primera igualdad. Este particular proceso de renovación retardada se denomina proceso de equilibrio, ya que comienza en estado estacionario, y por lo tanto no tiene transitorios.