3.4: Potencia multifásica
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El servicio eléctrico a tu hogar es un servicio bifásico. 1 Esto significa que dos líneas de 110 voltios, 60 Hz, más neutras, terminan en el panel. Las líneas son π radianes (180) desfasadas, por lo que podemos escribirlas como
\[ \begin{align*} x_1(t) &=110\cos[2π(60)t+φ] \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{110e^{j[2π(60)t+φ]}\} \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{X_1e^{j2π(60)t}\} \end{align*} \nonumber \]
\[X_1=110ej^{φ} \nonumber \]
\[ \begin{align*} x_2(t) &=110\cos[2π(60)t+φ+π] \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{110e^{j[2π(60)t+φ+π]}\} \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{X_2ej^{2π(60)t}\} \end{align*} \nonumber \]
\[X_2=110e^{j(φ+π)} \nonumber \]
Estos dos voltajes se ilustran como los fasores\(X_1\) y\(X_2\) en la Figura.
Puede usar\(x_1(t)\) para conducir su radio reloj o su tostadora y la diferencia entre\(x_1(t)\) y\(x_2(t)\) para conducir su rango o secadora:
\[x_1(t)−x_2(t)=220\cos[2π(60)t+φ] \nonumber \]
La representación fasora de esta diferencia es
\[X_1−X_2=220e^{jφ} \nonumber \]
Los interruptores en una caja de interruptores abarcan el bus\(x_1\) −a-neutro para 110 voltios y los\(x_1-\mathrm{to}-x_2\) buses para 220 voltios.
Dibuja el fasor\(X_1−X_2\) en la figura.
La mayoría de las instalaciones industriales utilizan un servicio trifásico que consiste en las señales\(x_1(t)\)\(x_2(t)\), y\(x_3(t)\):
\(x_n(t)=110\mathrm{Re}\{e^{j[ω_0t+n(2π/3)]}\}↔X_n=110e^{jn(2π/3)},n=1,2,3\)
Los fasores para la potencia trifásica se ilustran en la Figura.
Dibuja el fasor\(X_2−X_1\) correspondiente a\(x_2(t)−x_1(t)\) en Ejercicio. Compute el voltaje con el que puedes obtener\(x_2(t)−x_1(t)\). Esta respuesta explica por qué no obtienes 220 voltios en circuitos trifásicos. ¿Qué obtienes?
Potencia Constante
La potencia bifásica y trifásica se generaliza de manera obvia a la potencia de fase N. En tal esquema, las N señales\(x_n(n=0,1,...,N−1)\) son
\[ \begin{align*} x_n(t) &=A\cos(ωt+\frac {2π} {N} n) \\[4pt] &=\mathrm{Re}[Ae^{j2πn/N}e^{jωt}]↔X_n=Aej^{2πn/N} \end{align*} \nonumber \]
Los fasores\(X_n\) son\(Ae^{j2π(n/N)}\). La suma de todas\(N\) las señales es cero:
\[\begin{align*} \sum^{N−1}_{n=0}x_n(t) &= \mathrm{Re}\{A∑^{N−1}_{n=0} e^{j2πn/N} e^{jωt} \} \\[4pt] &=\mathrm{Re}{A\frac {1−ej^{2π}} {1−e^{j2π/N}} e^{jωt}} \\[4pt] &=0 \end{align*} \nonumber \]
Pero, ¿qué pasa con la suma de los poderes instantáneos? Definir la potencia instantánea de la n ésima señal a ser
\[ \begin{align*} p_n(t) &=x^2_n(t) &=A^2\cos^2(ωt+\frac{2π}{N} n) \\[4pt] &=\frac {A^2}{2} + \frac{A^2}{ 2} \cos(2ωt + 2\frac {2π} {N} n) \\[4pt] &=\frac {A^2} {2} + \mathrm{Re}\{\frac {A^2} 2 e^{j(2π/N)2n} e^{j2ωt}\} \end{align*} \nonumber \]
La suma de todos los poderes instantáneos es
\[P=\sum_{n=0}^{N−1}p_n(t) = N\frac {A^2} 2 \nonumber \]
¡y esto es independiente del tiempo!
Llevar a cabo los cálculos de la Ecuación 5.4.16 para demostrar que la potencia instantánea P es constante en el esquema de potencia de la fase N.
Notas al pie
- Realmente lo es, aunque se dice que es “monofásico” por la forma en que se escoge de una sola fase de una fuente primaria. Escucharás más sobre esto en circuitos y cursos de potencia