3.4: Potencia multifásica

El servicio eléctrico a tu hogar es un servicio bifásico. ¹ Esto significa que dos líneas de 110 voltios, 60 Hz, más neutras, terminan en el panel. Las líneas son π radianes (180) desfasadas, por lo que podemos escribirlas como

$$\begin{align*} x_1(t) &=110\cos[2π(60)t+φ] \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{110e^{j[2π(60)t+φ]}\} \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{X_1e^{j2π(60)t}\} \end{align*} \nonumber$$

$$X_1=110ej^{φ} \nonumber$$

$$\begin{align*} x_2(t) &=110\cos[2π(60)t+φ+π] \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{110e^{j[2π(60)t+φ+π]}\} \\[4pt] &=\mathrm{Re}\{X_2ej^{2π(60)t}\} \end{align*} \nonumber$$

$$X_2=110e^{j(φ+π)} \nonumber$$

Estos dos voltajes se ilustran como los fasores$X_1$ y$X_2$ en la Figura.

Figura: Fasores en potencia bifásica

Puede usar$x_1(t)$ para conducir su radio reloj o su tostadora y la diferencia entre$x_1(t)$ y$x_2(t)$ para conducir su rango o secadora:

$$x_1(t)−x_2(t)=220\cos[2π(60)t+φ] \nonumber$$

La representación fasora de esta diferencia es

$$X_1−X_2=220e^{jφ} \nonumber$$

Los interruptores en una caja de interruptores abarcan el bus$x_1$ −a-neutro para 110 voltios y los$x_1-\mathrm{to}-x_2$ buses para 220 voltios.

Ejercicio$\PageIndex{1}$

Dibuja el fasor$X_1−X_2$ en la figura.

La mayoría de las instalaciones industriales utilizan un servicio trifásico que consiste en las señales$x_1(t)$$x_2(t)$, y$x_3(t)$:

$x_n(t)=110\mathrm{Re}\{e^{j[ω_0t+n(2π/3)]}\}↔X_n=110e^{jn(2π/3)},n=1,2,3$

Los fasores para la potencia trifásica se ilustran en la Figura.

Ejercicio$\PageIndex{2}$

Dibuja el fasor$X_2−X_1$ correspondiente a$x_2(t)−x_1(t)$ en Ejercicio. Compute el voltaje con el que puedes obtener$x_2(t)−x_1(t)$. Esta respuesta explica por qué no obtienes 220 voltios en circuitos trifásicos. ¿Qué obtienes?

Figura: Potencia trifásica

Potencia Constante

La potencia bifásica y trifásica se generaliza de manera obvia a la potencia de fase N. En tal esquema, las N señales$x_n(n=0,1,...,N−1)$ son

$$\begin{align*} x_n(t) &=A\cos(ωt+\frac {2π} {N} n) \\[4pt] &=\mathrm{Re}[Ae^{j2πn/N}e^{jωt}]↔X_n=Aej^{2πn/N} \end{align*} \nonumber$$

Los fasores$X_n$ son$Ae^{j2π(n/N)}$. La suma de todas$N$ las señales es cero:

$$\begin{align*} \sum^{N−1}_{n=0}x_n(t) &= \mathrm{Re}\{A∑^{N−1}_{n=0} e^{j2πn/N} e^{jωt} \} \\[4pt] &=\mathrm{Re}{A\frac {1−ej^{2π}} {1−e^{j2π/N}} e^{jωt}} \\[4pt] &=0 \end{align*} \nonumber$$

Pero, ¿qué pasa con la suma de los poderes instantáneos? Definir la potencia instantánea de la n ^ésima señal a ser

$$\begin{align*} p_n(t) &=x^2_n(t) &=A^2\cos^2(ωt+\frac{2π}{N} n) \\[4pt] &=\frac {A^2}{2} + \frac{A^2}{ 2} \cos(2ωt + 2\frac {2π} {N} n) \\[4pt] &=\frac {A^2} {2} + \mathrm{Re}\{\frac {A^2} 2 e^{j(2π/N)2n} e^{j2ωt}\} \end{align*} \nonumber$$

La suma de todos los poderes instantáneos es

$$P=\sum_{n=0}^{N−1}p_n(t) = N\frac {A^2} 2 \nonumber$$

¡y esto es independiente del tiempo!

Ejercicio$\PageIndex{3}$

Llevar a cabo los cálculos de la Ecuación 5.4.16 para demostrar que la potencia instantánea P es constante en el esquema de potencia de la fase N.

Notas al pie

1. Realmente lo es, aunque se dice que es “monofásico” por la forma en que se escoge de una sola fase de una fuente primaria. Escucharás más sobre esto en circuitos y cursos de potencia