6: Técnicas de Integración
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- 6.1: Sustitución
- Este capítulo está dedicado a explorar técnicas de antidiferenciación. Si bien no todas las funciones tienen una antiderivada en términos de funciones elementales (un concepto introducido en la sección de Integración Numérica), todavía podemos encontrar antiderivadas de una amplia variedad de funciones.
- 6.2: Integración por Partes
- La integración por partes es un proceso que encuentra la integral de un producto de funciones en términos de la integral de su derivada y antiderivada. Se utiliza frecuentemente para transformar el antiderivado de un producto de funciones en un antiderivado para lo cual se puede encontrar más fácilmente una solución. La regla se puede derivar en una línea simplemente integrando la regla de producto de diferenciación.
- 6.3: Integrales trigonométricas
- Las funciones que involucran funciones trigonométricas son útiles ya que son buenas para describir el comportamiento periódico. En esta sección se describen varias técnicas para encontrar antiderivados de ciertas combinaciones de funciones trigonométricas.
- 6.4: Sustitución trigonométrica
- Desde entonces hemos aprendido una serie de técnicas de integración, incluyendo Sustitución e Integración por Partes, sin embargo, todavía no podemos evaluar la integral anterior sin recurrir a una interpretación geométrica. Esta sección introduce la Sustitución Trigonométrica, un método de integración que llena este vacío en nuestra habilidad de integración. Esta técnica funciona sobre el mismo principio que la Sustitución “normal” discutida anteriormente.
- 6.5: Descomposición parcial de la fracción
- En esta sección investigamos las antiderivadas de las funciones racionales. Se puede demostrar que cualquier polinomio puede ser factorizado en un producto de términos cuadráticos lineales e irreducibles. La idea clave establece cómo descomponer una función racional en una suma de funciones racionales cuyos denominadores son todos polinomios de menor grado.
- 6.6: Funciones hiperbólicas
- Las funciones hiperbólicas son un conjunto de funciones que tienen muchas aplicaciones a las matemáticas, la física y la ingeniería. Entre muchas otras aplicaciones, se utilizan para describir la formación de anillos satélites alrededor de los planetas, para describir la forma de una cuerda que cuelga de dos puntos, y tienen aplicación a la teoría de la relatividad especial. Esta sección define las funciones hiperbólicas y describe muchas de sus propiedades, especialmente su utilidad para el cálculo.
- 6.7: Regla de L'Hopital
- Si bien este capítulo está dedicado al aprendizaje de técnicas de integración, esta sección no trata sobre la integración. Más bien, se refiere a una técnica de evaluación de ciertos límites que será útil en el siguiente apartado, donde una vez más se discute la integración. Esta sección introduce la Regla de L'Hôpital, un método de resolución de límites que producen las formas indeterminadas 0/0 y ∞ /∞.
- 6.8: Integración inadecuada
- Cuando definimos la integral definida, hicimos dos estipulaciones: El intervalo sobre el que integramos, [a, b], era un intervalo finito, y la función f (x) era continua en [a, b] (asegurando que el rango de f era finito). En esta sección consideramos integrales donde una o ambas de las condiciones anteriores no se mantienen. Tales integrales se llaman integrales inadecuadas.
Miniaturas: Gráfico que muestra algunas iteraciones del método de Newton en la gráfica\(y=x^2\) con suposición inicial de\(x_0=4\). (Dominio público; Paul Breen).