3: Derivados
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El cálculo de la velocidad y los cambios en la velocidad son usos importantes del cálculo, pero está mucho más extendido que eso. El cálculo es importante en todas las ramas de las matemáticas, ciencias e ingeniería, y también es fundamental para el análisis en los negocios y la salud. En este capítulo, exploramos una de las principales herramientas del cálculo, la derivada, y mostramos formas convenientes de calcular derivados. Aplicamos estas reglas a una variedad de funciones en este capítulo para que luego podamos explorar las aplicaciones de estas técnicas.
- 3.0: Preludio a Derivados
- El cálculo de la velocidad y los cambios en la velocidad son usos importantes del cálculo, pero está mucho más extendido que eso. El cálculo es importante en todas las ramas de las matemáticas, ciencias e ingeniería, y también es fundamental para el análisis en los negocios y la salud. En este capítulo, exploramos una de las principales herramientas del cálculo, la derivada, y mostramos formas convenientes de calcular derivados. Aplicamos estas reglas a una variedad de funciones en este capítulo para que luego podamos explorar aplicaciones de th
- 3.1: Definición de la Derivada
- La pendiente de la línea tangente a una curva mide la tasa instantánea de cambio de una curva. Podemos calcularlo encontrando el límite del cociente de diferencia o el cociente de diferencia con incremento h. La derivada de una función f (x) en un valor a se encuentra usando cualquiera de las definiciones para la pendiente de la línea tangente. La velocidad es la tasa de cambio de posición. Como tal, la velocidad v (t) en el tiempo t es la derivada de la posición s (t) en el tiempo t.
- 3.3: Reglas de diferenciación
- La derivada de una función constante es cero. La derivada de una función de potencia es una función en la que la potencia on x se convierte en el coeficiente del término y la potencia on x en la derivada disminuye en 1. La derivada de una constante c multiplicada por una función f es la misma que la constante multiplicada por la derivada. La derivada de la suma de una función f y una función g es la misma que la suma de la derivada de f y la derivada de g.
- 3.4: Derivados como tasas de cambio
- En esta sección observamos algunas aplicaciones de la derivada centrándonos en la interpretación de la derivada como la tasa de cambio de una función. Estas aplicaciones incluyen aceleración y velocidad en física, tasas de crecimiento poblacional en biología y funciones marginales en economía.
- 3.5: Derivadas de Funciones Trigonométricas
- Podemos encontrar las derivadas de sin x y cos x usando la definición de derivada y las fórmulas límite encontradas anteriormente. Con estas dos fórmulas, podemos determinar las derivadas de las seis funciones trigonométricas básicas.
- 3.6: La regla de la cadena
- Conceptos clave La regla de la cadena nos permite diferenciar composiciones de dos o más funciones. Afirma que para\(h(x)=f(g(x)),\)\(h′(x)=f′(g(x))g′(x).\) Podemos usar la regla de la cadena con otras reglas que hayamos aprendido, y podemos derivar fórmulas para algunas de ellas. La regla de la cadena se combina con la regla de poder para formar una nueva regla: Si\(h(x)=(g(x))^n\), entonces\(h′(x)=n(g(x))^{n−1}g′(x)\).
- 3.7: Derivadas de funciones inversas
- El teorema de la función inversa nos permite calcular derivadas de funciones inversas sin usar la definición límite de la derivada. Podemos utilizar el teorema de la función inversa para desarrollar fórmulas de diferenciación para las funciones trigonométricas inversas.
- 3.8: Diferenciación implícita
- Utilizamos la diferenciación implícita para encontrar derivadas de funciones definidas implícitamente (funciones definidas por ecuaciones). Mediante el uso de diferenciación implícita, podemos encontrar la ecuación de una línea tangente a la gráfica de una curva.
- 3.9: Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas
- En esta sección, exploramos las derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas. Como se discutió en Introducción a las Funciones y Gráficas, las funciones exponenciales juegan un papel importante en el modelado del crecimiento poblacional y la desintegración de materiales radiactivos. Las funciones logarítmicas pueden ayudar a reescalar grandes cantidades y son particularmente útiles para reescribir expresiones complicadas.
Miniaturas: Derivadas (CC BY; OpenStax)