10: Radicales
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- Simplificar expresiones radicales
- Racionalizar denominadores (monomiales y binomiales) de expresiones radicales
- Sumar, restar y multiplicar expresiones radicales con y sin variables
- Resolver ecuaciones que contienen radicales y funciones radicales
- Resolver ecuaciones que contienen exponentes racionales
Los radicales son un concepto común en álgebra. De hecho, pensamos en los radicales como revertir la operación de un exponente. De ahí que en lugar del “cuadrado” de un número, tomamos la “raíz cuadrada” un número; en lugar del “cubo” de un número, tomamos la “raíz cubo” un número, y así sucesivamente. Las raíces cuadradas son el tipo de radical más común utilizado en álgebra.
El signo radical, cuando se utilizó por primera vez, era una R con una línea a través de la cola,, similar a nuestro símbolo de prescripción médica. La R vino del latín, “radix”, que puede traducirse como “fuente” o “fundación”. No fue hasta el 1500 que nuestro símbolo actual se utilizó por primera vez en Alemania, pero incluso entonces fue solo una marca de verificación sin barra sobre los números, √.
Si\(a\) es un número real positivo, entonces la raíz cuadrada principal de un número\(a\) se define como\[\sqrt{a}=b\text{ if and only if }a=b^2,\nonumber\] dónde\(b > 0\). El\(\sqrt{\quad}\) es el símbolo radical, y\(a\) se llama radicando.
Si se le da algo así como\(\sqrt[3]{a}\), entonces\(3\) se llama la raíz o índice; de ahí,\(\sqrt[3]{a}\) se llama la raíz cubo o tercera raíz de\(a\). En general,\[\sqrt[n]{a}=b\text{ if and only if }a = b^n\nonumber\] Si\(n\) es par, entonces\(a\) y\(b\) debe ser mayor o igual a cero. Si\(n\) es impar, entonces\(a\) y\(b\) puede ser cualquier número real.
Aquí hay algunos ejemplos de raíces cuadradas:
\[\begin{array}{ll}\sqrt{1}=1 &\sqrt{121}=11 \\ \sqrt{4}=2 &\sqrt{625}=25 \\ \sqrt{9}=3& \sqrt{-81}=\text{ not a real number}\end{array}\nonumber\]
El último ejemplo, no\(\sqrt{−81}\) es un número real. Hay una sección futura en la que se discutirán ejemplos como\(\sqrt{-81}\). Recordemos, si la raíz es par, entonces el radicando debe ser mayor o igual a cero y ya que\(−81 < 0\), entonces no hay un número real en el que podamos cuadrar y resultará en\(−81\), es decir,\(?^2 = −81\). Entonces, por ahora, cuando obtenemos un radicando que es negativo y la raíz es par, decimos que este número no es un número real. Hay un tipo de número donde podemos evaluar estos números, pero simplemente no uno real.
- 10.4: Racionalizar denominadores
- Cuando se le da un cociente con radicales, es una práctica común dejar una expresión sin un radical en el denominador. Después de simplificar una expresión, si hay un radical en el denominador, la racionalizaremos para que el denominador quede sin ningún radical. Comenzamos racionalizando denominadores con raíces cuadradas, para luego extender esta idea a raíces superiores.
- 10.5: Radicales con índices mixtos
- Saber que un radical tiene las mismas propiedades que los exponentes (escritos como ratio) nos permite manipular radicales de nuevas maneras. Una cosa que se nos permite hacer es reducir, no sólo el radicando, sino también el índice.