3.8: Notación científica
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Forma estándar a forma científica
Números muy grandes como\(43,000,000,000,000,000,000\) (el número de diferentes configuraciones posibles del cubo de Rubik) y números muy pequeños como\(0.000000000000000000000340\) (la masa del aminoácido triptófano) son extremadamente inconvenientes para escribir y leer. Dichos números se pueden expresar de manera más conveniente escribiéndolos como parte de una potencia de 10.
Para ver cómo se hace esto, comencemos con un número algo menor como\(2480\). Observe que
\ (\ begin {alineado}
\ underbrackets {2480} _ {\ text {Forma estándar}} &=248.0\ times 10^ {1}\\
&=24.80\ times 10^ {2}\\
&=\ underbrackets {2.480\ times 10^ {3}} _ {\ text {Forma científica}}
\ end {alineado}\)
Forma Científica
La última forma se llama la forma científica del número. Hay un dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal y el valor absoluto del exponente en 10 registra el número de lugares donde se movió el punto decimal original hacia la izquierda.
\ (\ begin {alineado}
0.00059 &=\ dfrac {0.0059} {10} =\ dfrac {0.0059} {10^ {1}} =0.0059\ times 10^ {-1}\
&=\ dfrac {0.059} {100} =\ dfrac {0.059} {10^ {2}} =0.059\ veces 10^ {-2}\\
&= dfrac {0.59} {1000} =\ dfrac {0.59} {10^ {3}} =0.59\ times 10^ {-3}\\
&=\ dfrac {5. 9} {10,000} =\ dfrac {5.9} {10^ {4}} =5.9\ times 10^ {-4}
\ end {alineado}\)
Hay un dígito distinto de cero a la izquierda del punto decimal y el valor absoluto del exponente de 10 registra el número de lugares donde se movió el punto decimal original hacia la derecha.
Notación científica
También se dice que los números escritos en forma científica están escritos usando notación científica. En notación científica, un número se escribe como producto de un número entre e incluyendo 1 y 10 (1 está incluido,10 no lo es) y alguna potencia de 10.
Para escribir un número en notación científica:
1. Mueva el punto decimal para que quede un dígito distinto de cero a su izquierda.
2. Multiplique el resultado por una potencia de 10 usando un exponente cuyo valor absoluto es el número de lugares donde se movió el punto decimal. Hacer que el exponente sea positivo si el punto decimal se movió hacia la izquierda y negativo si el punto decimal se movió hacia la derecha.
Conjunto de Muestras A
Escribe los números en notación científica.
\(981\)
El número\(981\) es en realidad\(981.\), y le sigue un punto decimal. En enteros, el punto decimal al final suele omitirse.
\(981 = 981. = 9.81 \times 10^2\)
El punto decimal es ahora dos lugares a la izquierda de su posición original, y el poder de\(10\) es\(2\).
\(54.066 = 5.4066 \times 10^1 = 5.4066 \times 10\)
El punto decimal es un lugar a la izquierda de su posición original, y el poder de\(10\) es\(1\)
\(0.000000000004632 = 4.632 \times 10^{-12}\)
El punto decimal es doce lugares a la derecha de su posición original, y el poder de\(10\) es\(−12\).
\(0.027 = 2.7 \times 10^{-2}\)
El punto decimal es dos lugares a la derecha de su posición original, y el poder de\(10\) es\(-2\)
Conjunto de práctica A
Escribe los siguientes números en notación científica.
\(346\)
- Responder
-
\(3.46 \times 10^2\)
\(72.33\)
- Responder
-
\(7.233 \times 10\)
\(5387.7965\)
- Responder
-
\(5.3877965 \times 10^3\)
\(87,000,000\)
- Responder
-
\(8.7 \times 10^7\)
\(179,000,000,000,000,000,000\)
- Responder
-
\(1.79 \times 10^{20}\)
\(100,000\)
- Responder
-
\(1.0 \times 10^5\)
\(1,000,000\)
- Responder
-
\(1.0 \times 10^6\)
\(0.0086\)
- Responder
-
\(8.6 \times 10^{-3}\)
\(0.000098001\)
- Responder
-
\(9.8001 \times 10^{-5}\)
\(0.000000000000000054\)
- Responder
-
\(5.4 \times 10^{-17}\)
\(0.0000001\)
- Responder
-
\(1.0 \times 10^{-7}\)
\(0.00000001\)
- Responder
-
\(1.0 \times 10^{-8}\)
Forma científica a forma estándar
Un número escrito en notación científica se puede convertir a forma estándar invirtiendo el proceso mostrado en el Conjunto de Muestras A.
Para convertir un número escrito en notación científica a un número en forma estándar, mueva el punto decimal el número de lugares prescritos por el exponente en el 10.
Mueve el punto decimal a la derecha cuando tengas un exponente positivo, y mueve el punto decimal hacia la izquierda cuando tengas un exponente negativo.
Conjunto de Muestras B
\(4.63 \times 10^4\)
El exponente de\(10\) es\(4\) así que debemos mover el punto decimal a los\(4\) lugares correctos (sumando 0's si es necesario).
\(4.6730 \times 10^4 = 46730\)
\(2.9 \times 10^7\)
El exponente de\(10\) es\(7\) así que debemos mover el punto decimal a los\(7\) lugares correctos (sumando 0's si es necesario).
\(2.9 \times 10^7 = 29000000\)
\(1 \times 10^{27}\)
El exponente de\(10\) es\(27\) así que debemos mover el punto decimal a los\(27\) lugares correctos (sumando 0's si es necesario).
\(1 \times 10^{27}= 1,000,000,000,000,000,000,000,000,000\)
\(4.21 \times 10^{-5}\)
El exponente de\(10\) es\(-5\) así que debemos mover el punto decimal a los\(5\) lugares de la izquierda (sumando 0's si es necesario).
\(4.21 \times 10^{-5} = 0.0000421\)
\(1.006 \times 10^{-18}\)
El exponente de\(10\) es\(-18\) así que debemos mover el punto decimal a los\(18\) lugares de la izquierda (sumando 0's si es necesario).
\(1.006 \times 10^{-18} = 0.000000000000000001006\)
Set de práctica B
Convierta los siguientes números a forma estándar.
\(9.25 \times 10^2\)
- Responder
-
\(925\)
\(4.01 \times 10^5\)
- Responder
-
\(401000\)
\(1.2 \times 10^{-1}\)
- Responder
-
\(0.12\)
\(8.88 \times 10^{-5}\)
- Responder
-
\(0.0000888\)
Trabajar con números en notación científica
Multiplicar números usando notación científica
Hay muchas ocasiones (particularmente en las ciencias) en las que es necesario encontrar el producto de dos números escritos en notación científica. Esto se logra mediante el uso de dos de las reglas básicas del álgebra.
Supongamos que deseamos encontrar\ ((a\ times 10^n) (b\ times 10^m). Dado que la única operación es la multiplicación, podemos usar la propiedad conmutativa de la multiplicación para reorganizar los números.
\ ((a\ times 10^n) (b\ times 10^m) = (a\ times b) (10^n\ times 10^m)
Entonces, por las reglas de los exponentes,\(10^n \times 10^m = 10^{n+m}\). Por lo tanto,
\((a \times 10^n)(b \times 10^m) = (a \times b) \times 10^{n+m}\)
El producto de no\((a \times b)\) puede estar entre\(1\) y\(10\), por lo tanto,\((a \times b) \times 10^{n+m}\) puede no estar en forma científica. El punto decimal en\((a \times b)\) puede tener que ser movido. Un ejemplo de esta situación está en el Conjunto de Muestras C, ejemplo 3.8.10.
Conjunto de Muestras C
\ (\ begin {alineado}
\ left (2\ times 10^ {3}\ right)\ left (4\ times 10^ {8}\ right) & =( 2\ times 4)\ left (10^ {3}\ times 10^ {8}\ right)\\\
&=8\ times 10^ {3+8}\\
&=8\ times 10^ {11}
\ end {alineado}\)
\ (
\ begin {aligned}
\ left (5\ times 10^ {17}\ right)\ left (8.1\ times 10^ {-22}\ right) & =( 5\ times 8.1)\ left (10^ {17}\ times 10^ {-22}\ right)\\
&=40.5\ times 10^ {17-22}\\
&=40.5\ times 10^ {-5}
\ end {alineado}
\)
Tenemos que mover el punto decimal un lugar a la izquierda para poner este número en notación científica.
Así, también debemos cambiar el exponente de\(10\).
\ (
\ begin {array} {l}
40.5\ times 10^ {-5}\\
4.05\ times 10^ {1}\ times 10^ {-5}\\
4.05\ times\ left (10^ {1}\ times 10^ {-5}\ right)\\
4.05\ times\ left (10^ {1-5}\ right)\\
4.05\ times 10^ -4 {}
\ end {array}
\)
Así,
\ (
\ left (5\ times 10^ {17}\ right)\ left (8.1\ times 10^ {-22}\ right) =4.05\ times 10^ {-4}
\)
Set de práctica C
Realiza cada multiplicación.
\((3 \times 10^5)(2 \times 10^{12})\)
- Responder
-
\(6 \times 10^{17}\)
\((1 \times 10^{-4})(6 \times 10^{24}\)
- Responder
-
\(6 \times 10^{20}\)
\((5 \times 10^{18})(3 \times 10^6)\)
- Responder
-
\(1.5 \times 10^{25}\)
\((2.1 \times 10^{-9})(3 \times 10^{-11})\)
- Responder
-
\(6.3 \times 10^{-20}\)
Ejercicios
Convertir los números utilizados en los siguientes problemas a notación científica.
El monte Kilimanjaro es la montaña más alta de África. Tiene 5890 metros de altura.
- Responder
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\(5.89 \times 10^3\)
El planeta Marte está a unos 222,900,000,000 metros del sol.
Hay una galaxia de forma irregular, llamada NGC 4449, que se encuentra a unos 250,000,000,000,000,000,000,000 metros de la tierra.
- Responder
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\(2.5 \times 10^{23}\)
El objeto más lejano que los astrónomos han podido ver (a partir de 1981) es un cuásar llamado 3C427. Parece haber una bruma más allá de este cuásar que parece marcar el límite visual del universo. Quasar 3C427 se encuentra a una distancia de 110,000,000,000,000,000,000,000,000 metros de la tierra.
Los insectos más pequeños conocidos son aproximadamente del tamaño de un grano de arena típico. Tienen aproximadamente 0.0002 metros de longitud (2 diezmilésimas de metro).
- Responder
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\(2 \times 10^{-4}\)
Los átomos como hidrógeno, carbono, nitrógeno y oxígeno tienen aproximadamente 0.0000000001 metros de ancho.
La isla de Manhattan, en Nueva York, tiene unos 57,000 metros cuadrados de superficie.
- Responder
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\(5.7 \times 10^4\)
La segunda luna más grande de Saturno es Ña. Rhea tiene una superficie de alrededor de 735.000 metros cuadrados, aproximadamente la misma superficie que Australia.
Una estrella, llamada Epsilon Aurigae B, tiene un diámetro (distancia a través) de 2,800,000,000,000 metros. Este diámetro produce una superficie aproximada de 24,630,000,000,000,000,000,000,000 metros cuadrados. Esta estrella es lo que los astrónomos llaman un gigante rojo y es el gigante rojo más grande conocido. Si Epsilon Aurigae se colocara en la posición del sol, su superficie se extendería hasta el planeta Urano.
- Responder
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\(2.8 \times 10^{12}\),\(2.463 \times 10^{25}\)
El volumen del planeta Venus es de 927,590,000,000,000,000,000 metros cúbicos.
La masa promedio de una hembra estadounidense recién nacida es de aproximadamente 3360 gramos.
- Contestar
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\(3.36 \times 10^3\)
El cerebro más grande jamás medido fue el de un cachalote. Tenía una masa de 9200 gramos.
La masa de la torre Eiffel en París, Francia, es de 8.000.000 gramos.
- Contestar
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\(8 \times 10^6\)
En 1981, una compañía japonesa construyó el petrolero más grande hasta la fecha. El barco tiene una masa de alrededor de 510,000,000,000 gramos. Este petrolero es más de 6 veces más masivo que el portaaviones estadounidense, U.S.S. Nimitz.
En la constelación de Virgo, hay un cúmulo de unas 2500 galaxias. La masa combinada de estas galaxias es de 150,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 gramos.
- Contestar
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\(1.5 \times 10^{62}\)
La masa de una ameba es de aproximadamente 0.000004 gramos.
Las células en el hígado humano tienen masas de aproximadamente 0.000000008 gramos.
- Contestar
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\(8 \times 10^{-9}\)
El espermatozoide humano tiene una masa de aproximadamente 0.000000000017 gramos.
La proteína principal del músculo es la miosina. La miosina tiene una masa de 0.00000000000000000103 gramos.
- Contestar
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\(1.03 \times 10^{-18}\)
Los aminoácidos son moléculas que se combinan para formar moléculas proteicas. El aminoácido triptófano tiene una masa de 0.000000000000000000000340 gramos.
Un átomo del elemento químico bromo tiene 35 electrones. La masa de un átomo de bromo es 0.000000000000000000000000031 gramo.
- Contestar
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\(3.1 \times 10^{-26}\)
Los físicos están realizando experimentos que esperan que determinen la masa de una pequeña partícula llamada neutrino. Se sospecha que los neutrinos tienen masas de aproximadamente 0.00000000000000000000000000000000001 gramo.
El tiempo aproximado que tarda un ser humano en morir de asfixia es de 316 segundos.
- Contestar
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\(3.16 \times 10^2\)
En promedio, la mosca doméstica macho vive 1,468,800 segundos (17 días).
El aluminio-26 tiene una vida media de 740.000 años.
- Contestar
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\(7.4 \times 10^5\)
El manganeso-53 tiene una vida media de 59,918,000,000,000 segundos (1,900,000 años).
En su órbita alrededor del sol, la tierra se mueve una distancia un pie y medio en aproximadamente 0.0000316 segundos.
- Contestar
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\(3.16 \times 10^{-5}\)
Un pi-mesón es una partícula subatómica que tiene una vida media de aproximadamente 0.0000000261 segundos.
Una partícula subatómica llamada pión neutro tiene una vida media de aproximadamente 0.0000000000000001 segundo.
- Contestar
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\(1 \times 10^{-16}\)
Cerca de la superficie de la tierra, la velocidad del sonido es de 1195 pies por segundo.
Para los siguientes problemas, convierta los números de notación científica a forma decimal estándar.
El sol está a unos\(1 \times 10^8\) metros de la tierra.
- Contestar
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100,000,000
La masa de la tierra es de aproximadamente\(5.98 \times 10^{27}\) gramos.
La luz viaja alrededor de\(5.866 \times 10^{12}\) millas en un año.
- Contestar
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5,866,000,000,000
Un año es de unos\(3 \times 10^7\) segundos.
El cubo de Rubik tiene alrededor de\(4.3 \times 10^{19}\) diferentes configuraciones.
- Contestar
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43,000,000,000,000,000,000
Un fotón es una partícula de luz. Una bombilla de 100 vatios emite\(1 \times 10^{20}\) fotones cada segundo.
Hay aproximadamente\(6 \times 10^7\) células en la retina del ojo humano.
- Contestar
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60,000,000
Un automóvil que viaja a una velocidad promedio recorrerá una distancia aproximadamente igual a la longitud de la uña más pequeña en\(3.16 \times 10^{-4}\) segundos.
Un ribosoma de E. coli tiene una masa de aproximadamente\(4.7 \times 10^{-19}\) gramos.
- Contestar
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0.00000000000000000047
Una mitocondria es el elemento productor de energía de una célula. Una mitocondria tiene unos\(1.5 \times 10^{-6}\) metros de diámetro.
Hay una especie de ranas en Cuba que alcanzan una longitud de como máximo\(1.25 \times 10^{-2}\) metros.
- Contestar
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0.0125
Realizar las siguientes operaciones.
\((2 \times 10^4)(3 \times 10^5)\)
\((4 \times 10^2)(8 \times 10^6)\)
- Contestar
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\(3.2 \times 10^9\)
\((6 \times 10^{14})(6 \times 10^{-10})\)
\((3 \times 10^{-5})(8 \times 10^7)\)
- Contestar
-
\(2.4 \times 10^3\)
\((2 \times 10^{-1})(3 \times 10^{-5})\)
\((9 \times 10^{-5})(1 \times 10^{-11})\)
- Contestar
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\(9 \times 10^{-16}\)
\((3.1 \times 10^4)(3.1 \times 10^{-6})\)
\(4.2 \times 10^{-12})(3.6 \times 10^{-20})\)
- Contestar
-
\(1.512 \times 10^{-31}\)
\((1.1 \times 10^6)^2\)
Ejercicios para la revisión
¿Qué enteros pueden reemplazar\(x\) para que la sentencia\(-6 < x < -2\) sea verdadera?
- Contestar
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\(-5, -4, -3\)
Simplificar\((5x^2y^4)(2xy^5)\)
Determinar el valor de\(-[-(-|-5|)]\).
- Contestar
-
\(-5\)
Escribe\(\dfrac{x^3y^{-5}}{z^{-4}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
Escribe\((2z + 1)^3(2z + 1)^{-5}\) para que solo aparezcan exponentes positivos.
- Contestar
-
\(\dfrac{1}{(2z+1)^2}\)
FFFF