7.8:7.E Ejercicios de revisión y examen de muestra

Ejercicios de revisión

Ejercicio\(\PageIndex{1}\) Simplifying Rational Expressions

Evaluar para el conjunto dado de\(x\) -valores.

1. \(\frac{25}{2x^{2}}\); {\(−5, 0, 5\)}
2. \(\frac{x−4}{2x−1}\); {\(\frac{1}{2}, 2, 4\)}
3. \(\frac{1}{x^{2}+9}\); {\(−3, 0, 3\)}
4. \(\frac{x+3}{x^{2}−9}\); {\(−3, 0, 3\)}

Responder

1. \(\frac{1}{2}\), indefinido,\(\frac{1}{2}\)

3. \(\frac{1}{18}, \frac{1}{9}, \frac{1}{18}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\) Simplifying Rational Expressions

Declarar las restricciones al dominio.

1. \(\frac{5}{x}\)
2. \(\frac{1}{x(3x+1)}\)
3. \(\frac{x+2}{x^{2}−25}\)
4. \(\frac{x−1}{(x−1)(2x−3)}\)

Responder

1. \(x≠0\)

3. \(x≠±5\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\) Simplifying Rational Expressions

Declarar las restricciones y simplificar.

1. \(\frac{x−8}{x^{2}−64}\)
2. \(\frac{3x^{2}+9x}{2x^{3}−18x}\)
3. \(\frac{x^{2}−5x−24}{x^{2}−3x−40}\)
4. \(\frac{2x^{2}+9x−5}{4x^{2}−1}\)
5. \(\frac{x^{2}−144}{12−x}\)
6. \(\frac{8x^{2}−10x−3}{9−4x^{2}}\)
7. Dado\(f(x)=\frac{x−3}{x^{2}+9}\), encontrar\(f(−3), f(0)\), y\(f(3)\).
8. Simplificar\(g(x)=\frac{x^{2}−2x−24}{2x^{2}−9x−18}\) y declarar las restricciones.

Responder

1. \(\frac{1}{x+8}\);\(x≠±8\)

3. \(\frac{x+3}{x+5}\);\(x≠−5, 8\)

5. \(−(x+12)\);\(x≠12\)

7. \(f(−3)=−\frac{1}{3}, f(0)=−\frac{1}{3}, f(3)=0\)

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) Multiplying and Dividing Rational Expressions

Multiplicar. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

1. \(\frac{3x^{5}}{x−3}\cdot\frac{x−3}{9x^{2}}\)
2. \(\frac{12y^{2}}{y^{3}(2y−1)}\cdot\frac{(2y−1)}{3y}\)
3. \(\frac{3x^{2}}{x−2}\cdot\frac{x^{2}−4x+4}{5x^{3}}\)
4. \(\frac{x^{2}−8x+15}{9x^{5}}\cdot\frac{12x^{2}}{x−3}\)
5. \(\frac{x^{2}−36}{x^{2}−x−30}\cdot\frac{2x^{2}+10x}{x^{2}+5x−6}\)
6. \(\frac{9x^{2}+11x+2}{4−81x^{2}}\cdot\frac{9x−2}{(x+1)^{2}}\)

Responder

1. \(\frac{x^{3}}{3}\)

3. \(\frac{3(x−2)}{5x}\)

5. \(\frac{2x}{x−1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) Multiplying and Dividing Rational Expressions

Dividir. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

1. \(\frac{9x^{2}−25}{5x^{3}}\div\frac{3x+5}{15x^{4}}\)
2. \(\frac{4x^{2}}{4x^{2}−1}\div\frac{2x^{2}}{x−1}\)
3. \(\frac{3x^{2}−13x−10}{x^{2}−x−20}\div\frac{9x^{2}+12x+4}{x^{2}+8x+16}\)
4. \(\frac{2x^{2}+xy−y^{2}}{x^{2}+2xy+y^{2}}\div\frac{4x^{2}−y^{2}}{3x^{2}+2xy−y^{2}}\)
5. \(\frac{2x^{2}−6x−20}{8x^{2}+17x+2}\div (8x^{2}−39x−5) \)
6. \(\frac{12x^{2}−27x^{4}}{15x^{4}+10x^{3}}\div (3x^{2}+x−2) \)
7. \(\frac{25y^{2}−15y}{4(y−2)}\cdot\frac{1}{5y−1}\div \frac{10y}{2(y−2)^{2}}\)
8. \(\frac{10x^{4}}{1−36x^{2}}\div\frac{5x^{2}}{6x^{2}−7x+1}\cdot x−12x\)
9. Dadas\(f(x)=\frac{1}{6x^{2}−9x+5}\) y\(g(x)=\frac{x^{2}+3x−10}{4x^{2}+5x−6}\), calcular\((f⋅g)(x)\) y exponer las restricciones.
10. Dadas\(f(x)=\frac{x+7}{5x−1}\) y\(g(x)=\frac{x^{2}−49}{25x^{2}−5x}\), calcular\((f/g)(x)\) y exponer las restricciones.

Responder

1. \(3x(3x−5)\)

3. \(\frac{x+4}{3x+2}\)

5. \(\frac{2}{(8x+1)^{2}}\)

7. \(\frac{5y^{2}-13y+6}{4(5y-1)}\)

9. \((f⋅g)(x)=\frac{(4x+3)(x−2)}{x+2}\);\(x≠−5, −2, 34\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) Adding and Subtracting Rational Expressions

Simplificar. (Supongamos que todos los denominadores son distintos de cero.)

1. \(\frac{5x}{y}−\frac{3}{y}\)
2. \(\frac{x}{x^{2}−x−6}−\frac{3}{x^{2}−x−6}\)
3. \(\frac{2x}{2x+1}+\frac{1}{x−5}\)
4. \(\frac{3}{x−7}+\frac{1−2x}{x^{2}}\)
5. \(\frac{7x}{4x^{2}−9x+2}−\frac{2}{x−2}\)
6. \(\frac{5}{x−5}+\frac{20−9x}{2x^{2}−15x+25}\)
7. \(\frac{x}{x−5}−\frac{2}{x−3}−\frac{5(x−3)}{x^{2}−8x+15}\)
8. \(\frac{3x}{2x−1}−\frac{x−4}{x+4}+\frac{12(2−x)}{2x^{2}+7x−4}\)
9. \(\frac{1}{x^{2}+8x−9}−\frac{1}{x^{2}+11x+18}\)
10. \(\frac{4}{x^{2}+13x+36}+\frac{3}{x^{2}+6x−27}\)
11. \(\frac{y+1}{y+2}−\frac{1}{2−y}+\frac{2y}{y^{2}−4}\)
12. \(\frac{1}{y−11}−\frac{y−2}{y^{2}−1}\)
13. Dadas\(f(x)=x+12x−5\) y\(g(x)=\frac{x}{x+1}\), calcular\((f+g)(x)\) y exponer las restricciones.
14. Dadas\(f(x)=x+13x\) y\(g(x)=\frac{2}{x−8}\), calcular\((f−g)(x)\) y exponer las restricciones.

Responder

1. \(\frac{5x−3}{y}\)

3. \(\frac{2x^{2}−8x+1}{(2x+1)(x−5)}\)

5. \(−\frac{1}{4x−1}\)

7. \(\frac{x−5}{x−3}\)

9. \(\frac{3}{(x−1)(x+2)(x+9)}\)

11. \(\frac{y}{y−2}\)

13. \((f+g)(x)=\frac{3x^{2}−3x+1}{(2x−5)(x+1)}\);\(x≠−1, \frac{5}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) Complex Fractions

Simplificar.

1. \(\frac{4−\frac{2}{x}}{ \frac{2x−1}{3x}}\)
2. \(\frac{\frac{1}{3}−\frac{1}{3y}}{\frac{1}{5}−\frac{1}{5y}}\)
3. \(\frac{\frac{1}{6}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{36}-\frac{1}{x^{2}}}\)
4. \(\frac{\frac{1}{100}−\frac{1}{x^{2}}}{\frac{1}{10}−\frac{1}{x}}\)
5. \(\frac{\frac{x}{x+3}−\frac{2}{x+1}}{ \frac{ x}{x+4}+\frac{1}{x+3}}\)
6. \(\frac{\frac{3x−1}{x−5}}{ 5x+2−\frac{2}{x}}\)
7. \(\frac{1−12x+35x^{2} }{1−25x^{2}}\)
8. \(2−15x+\frac{25x^{2}}{2x−5}\)

Responder

1. \(6\)

3. \(\frac{6x}{x−6}\)

5. \(\frac{(x−3)(x+4)}{(x+1)(x+2)}\)

7. \(-\frac{7x-1}{5x+1}\)

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) Solving Rational Equations

Resolver.

1. \(\frac{6}{x−6}=\frac{2}{2x−1}\)
2. \(\frac{x}{x−6}=\frac{x+2}{x−2}\)
3. \(\frac{1}{3x}-\frac{2}{9}=\frac{1}{x}\)
4. \(\frac{2}{x−5}+\frac{3}{5}=\frac{1}{x−5}\)
5. \(\frac{x}{x−5}+\frac{4}{x+5}=−10x^{2}−25\)
6. \(\frac{2x−12}{2x+3}=\frac{2−3x^{2}}{2x^{2}+3x}\)
7. \(\frac{x+1}{2(x−2)}+\frac{x−6}{x}=1 \)
8. \(\frac{5x+2}{x+1}−\frac{x}{x+4}=4\)
9. \(\frac{x}{x+5}+\frac{1}{x−4}=\frac{4x−7}{x^{2}+x−20}\)
10. \(\frac{2}{3x−1}+\frac{x}{2x+1}=\frac{2(3−4x)}{6x^{2}+x−1}\)
11. \(\frac{x}{x−1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x}{x^{2}−1}\)
12. \(\frac{2x}{x+5}−\frac{1}{2x−3}=\frac{4−7x^{2}}{x^{2}+7x−15}\)
13. Resolver para\(a\):\(\frac{1}{a}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\).
14. Resolver para\(y\):\(x=\frac{2}{y}−\frac{1}{3y}\).

Responder

1. \(−\frac{3}{5}\)

3. \(−3\)

5. \(−10, 1\)

7. \(3, 8\)

9. \(3\)

11. \(Ø\)

13. \(a=\frac{bc}{b+c}\)

Ejercicio\(\PageIndex{9}\) Applications of Rational Equations

Utilice álgebra para resolver las siguientes aplicaciones.

1. Un entero positivo es dos veces otro. La suma de los recíprocos de los dos enteros positivos es\(\frac{1}{4}\). Encuentra los dos enteros.
2. Si el recíproco del menor de dos enteros consecutivos se resta de tres veces el recíproco del mayor, el resultado es\(\frac{3}{10}\). Encuentra los enteros.
3. Mary puede trotar, en promedio,\(2\) millas por hora más rápido que su esposo, James. James puede trotar\(6.6\) millas en la misma cantidad de tiempo que le toma a Mary correr\(9\) millas. ¿Qué tan rápido, en promedio, puede correr Mary?
4. Billy viajó\(140\) millas para visitar a su abuela en el autobús y luego condujo las\(140\) millas de regreso en un auto de alquiler. El autobús promedia\(14\) millas por hora más lento que el auto. Si el tiempo total que se pasó viajando eran\(4.5\) horas, entonces ¿cuál era la velocidad promedio del autobús?
5. Jerry toma el doble de tiempo que Manny para montar un monopatín. Si trabajan juntos, pueden montar un monopatín en\(6\) cuestión de minutos. ¿Cuánto tardaría Manny en montar el monopatín sin la ayuda de Jerry?
6. Trabajando solo, Joe completa el trabajo de patio en\(30\) minutos. Mike tarda\(45\) minutos en completar el trabajo en el mismo patio. ¿Cuánto tiempo les llevaría trabajar juntos?

Responder

1. \(6, 12\)

3. \(7.5\)millas por hora

5. \(9\)minutos

Ejercicio\(\PageIndex{10}\) Variation

Construir un modelo matemático dado lo siguiente.

1. \(y\)varía directamente con\(x\), y\(y = 12\) cuando\(x = 4\).
2. \(y\)varía inversamente como\(x\), y\(y = 2\) cuando\(x = 5\).
3. \(y\)es conjuntamente proporcional a\(x\) y\(z\), donde\(y = 36\) cuando\(x = 3\) y\(z = 4\).
4. \(y\)es directamente proporcional al cuadrado de\(x\) e inversamente proporcional a\(z\), donde\(y = 20\) cuando\(x = 2\) y\(z = 5\).
5. La distancia que cae un objeto en caída libre varía directamente con el cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. Se observa que un objeto cae\(16\) pies en\(1\) segundo lugar. Encuentra una ecuación que modele la distancia que caerá un objeto y úsalo para determinar qué tan lejos caerá en\(2\) segundos.
6. El peso de un objeto varía inversamente como el cuadrado de su distancia del centro de la tierra. Si un objeto pesa\(180\) libras en la superficie de la tierra (aproximadamente a\(4,000\) millas del centro), entonces ¿cuánto pesará a\(2,000\) millas sobre la superficie terrestre?

Responder

1. \(y=3x\)

3. \(y=3xz\)

5. \(d=16t^{2}\);\(64\) pies

Examen de muestra

Ejercicio\(\PageIndex{11}\)

Simplificar y declarar las restricciones.

1. \(\frac{15x^{3}(3x−1)^{2}}{3x(3x−1)}\)
2. \(\frac{x^{2}−144}{x^{2}+12x}\)
3. \(\frac{x^{2}+x−12}{2x^{2}+7x−4}\)
4. \(\frac{9−x^{2}}{(x−3)^{2}}\)

Responder

1. \(\frac{5x^{2}(3x−1)^{2}}{x-1}\);\(x≠1\)

3. \(\frac{x−3}{2x−1}\);\(x≠−4, \frac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{12}\)

Simplificar. (Supongamos que todas las variables en el denominador son positivas.)

1. \(\frac{5x}{x^{2}−25}\cdot\frac{x−5}{25x^{2}}\)
2. \(\frac{x^{2}+x−6}{x^{2}−4x+4}\cdot\frac{3x^{2}−5x−2}{x^{2}−9}\)
3. \(\frac{x^{2}−4x−12}{12x^{2}}\div\frac{x−6}{6x}\)
4. \(\frac{2x^{2}−7x−4}{6x^{2}−24x}\div\frac{2x^{2}+7x+3}{10x^{2}+30x}\)
5. \(\frac{1}{x−5}+\frac{1}{x+5}\)
6. \(\frac{x}{x+1}−\frac{8}{2−x}−\frac{12x}{x^{2}−x−2}\)
7. \(\frac{\frac{1}{y}+\frac{1}{x}}{\frac{1}{y^{2}}-\frac{1}{x^{2}}}\)
8. \(\frac{1−6x+9x^{2}}{2−5x−3x^{2}}\)
9. Dadas\(f(x)=\frac{x^{2}−81}{(4x−3)^{2}}\) y\(g(x)=\frac{4x−3}{x−9}\), calcular\((f⋅g)(x)\) y exponer las restricciones.
10. Dadas\(f(x)=\frac{x}{x−5}\) y\(g(x)=\frac{1}{3x−5}\), calcular\((f−g)(x)\) y exponer las restricciones.

Responder

1. \(\frac{1}{5x(x+5)}\)

3. \(\frac{x+2}{2x}\)

5. \(\frac{2x}{(x−5)(x+5)}\)

7. \(\frac{xy}{x−y}\)

9. \((f⋅g)(x)=\frac{x+9}{4x−3}\);\(x≠\frac{3}{4}, 9\)

Ejercicio\(\PageIndex{13}\)

Resolver.

1. \(\frac{1}{3}+\frac{1}{x}=2\)
2. \(\frac{1}{x−5}=\frac{3}{2x−3}\)
3. \(1−9x+20x^{2}=0\)
4. \(\frac{x+2}{x−2}+\frac{1}{x+2}=\frac{4(x+1)}{x^{2}−4}\)
5. \(\frac{x}{x−2}−\frac{1}{x−3}=\frac{3x−10}{x^{2}−5x+6}\)
6. \(\frac{5}{x+4}−\frac{x}{4−x}=\frac{9x−4}{x^{2}−16}\)
7. Resolver para\(r\):\( P=\frac{120}{1+3r}\).

Responder

1. \(\frac{3}{5}\)

3. \(\frac{1}{4}, \frac{1}{5}\)

5. \(4\)

7. \(r=40P−\frac{1}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{14}\)

Establecer una ecuación algebraica y luego resolver.

1. Un entero es tres veces otro. La suma de los recíprocos de los dos enteros es\(\frac{1}{3}\). Encuentra los dos enteros.
2. Trabajando solo, Joe puede pintar la habitación en\(6\) horas. Si Manny ayuda, entonces juntos pueden pintar la habitación en\(2\) horas. ¿Cuánto tardaría Manny en pintar la habitación solo?
3. Un barco turístico por el río promedia\(6\) millas por hora en agua sin gas. Con la corriente, el barco puede recorrer\(17\) millas al mismo tiempo que puede recorrer\(7\) millas contra la corriente. ¿Cuál es la velocidad de la corriente?
4. La distancia de rotura de un automóvil es directamente proporcional al cuadrado de su velocidad. En condiciones óptimas, cierto automóvil que se mueve a\(35\) millas por hora puede detenerse en\(25\) pies. Encuentre una ecuación que modele la distancia de rotura en condiciones óptimas y utilícela para determinar la distancia de rotura si el automóvil se mueve\(28\) millas por hora.

Responder

2. \(3\)horas

4. \(y=\frac{1}{49}x^{2}\);\(16\) pies