8.1: Radicales

Objetivos de aprendizaje

• Encuentra raíces cuadradas.
• Encuentra raíces cubicas.
• Encuentra n th raíces.
• Simplifica las expresiones usando las reglas de producto y cociente para radicales.

Raíces Cuadradas

La raíz cuadrada de un número es ese número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original. Por ejemplo, 4 es una raíz cuadrada de 16, porque\(4^{2}=16\). Ya que\((−4)^{2}=16\), podemos decir que −4 es una raíz cuadrada de 16 también. Cada número real positivo tiene dos raíces cuadradas, una positiva y otra negativa. Por esta razón, utilizamos el signo radical\(√\) para denotar la raíz cuadrada principal (no negativa) y un signo negativo frente al radical\(− √\) para denotar la raíz cuadrada negativa.

Cero es el único número real con una raíz cuadrada.

\[\sqrt{0}=0 \quad \text { because } \quad 0^{2}=0\]

Si el radicando, el número dentro del signo radical, no es negativo y puede factorizarse como el cuadrado de otro número no negativo, entonces la raíz cuadrada del número es aparente. En este caso, tenemos la siguiente propiedad:

\[\sqrt{a^{2}}=a, \quad \text { if } \quad a \geq 0\]

Ejemplo\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la raíz cuadrada.

1. \(\sqrt{36}\)
2. \(\sqrt{144}\)
3. \(\sqrt{0.04}\)
4. \(\sqrt{\frac{1}{9}}\)

Solución:

1. \(\sqrt{36} = \sqrt{6^{2}} =6\)
2. \(\sqrt{144} = \sqrt{12^{2}} =12\)
3. \(\sqrt{0.04} = \sqrt{0.02^{2}} =0.02\)
4. \(\sqrt{\frac{1}{9}} = \sqrt{(\frac{1}{3})^{2}} =\frac{1}{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{2}\)

Encuentra la raíz cuadrada negativa.

1. \(-\sqrt{4}\)
2. \(-\sqrt{1}\)

Solución:

1. \(-\sqrt{4} = -\sqrt{2^{2}} = -2\)
2. \(-\sqrt{1} = -\sqrt{1^{2}} = -1\)

El radicando puede que no siempre sea un cuadrado perfecto. Si un entero positivo no es un cuadrado perfecto, entonces su raíz cuadrada será irracional. Por ejemplo,\(\sqrt{2}\) es un número irracional y se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botón de raíz cuadrada.

\(\sqrt{2} \approx 1.414 \quad \text { because } \quad 1.414^{\wedge} 2 \approx 2\)

A continuación, considere la raíz cuadrada de un número negativo. Para determinar la raíz cuadrada de −9, debe encontrar un número que al cuadrado resulte en −9:

\(\sqrt{-9}=\color{Cerulean}{?} \quad \color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{2}=-9\)

Sin embargo, cualquier número real al cuadrado siempre resulta en un número positivo:

\((3)^{2}=9 \quad \text { and } \quad(-3)^{2}=9\)

La raíz cuadrada de un número negativo se deja indefinida actualmente. Por ahora, vamos a decir que no\(\sqrt{−9}\) es un número real.

Raíces Cube

La raíz cúbica de un número es ese número que cuando se multiplica por sí mismo tres veces produce el número original. Además, denotamos una raíz cúbica usando el símbolo\(\sqrt[3]{}\), donde 3 se llama índice. Por ejemplo,

\(\sqrt[3]{125}=5, \quad \text { because } \quad 5^{3}=125\)

El producto de tres factores iguales será positivo si el factor es positivo y negativo si el factor es negativo. Por esta razón, cualquier número real tendrá sólo una raíz cubo real. De ahí que no se apliquen los tecnicismos asociados a la raíz principal. Por ejemplo,

\(\sqrt[3]{-125}=-5, \quad \text { because } \quad(-5)^{3}=-125\)

En general, dado cualquier número real a, tenemos la siguiente propiedad:

\[\sqrt[3]{a^{3}}=a\]

Al simplificar las raíces cubitas, busca factores que sean cubos perfectos.

Ejemplo\(\PageIndex{3}\)

Encuentra la raíz cubicada.

1. \(\sqrt[3]{27}\)
2. \(\sqrt[3]{64}\)
3. \(\sqrt[3]{0}\)
4. \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}}\)

Solución:

1. \(\sqrt[3]{27} = \sqrt[3]{3^{3}}=3\)
2. \(\sqrt[3]{64} = \sqrt[3]{4^{3}}=4\)
3. \(\sqrt[3]{0} = \sqrt[3]{0^{3}}=0\)
4. \(\sqrt[3]{\frac{1}{8}} = \sqrt[3]{(\frac{1}{2})^{3}}=\frac{1}{2}\)

Ejemplo\(\PageIndex{4}\)

Encuentra la raíz cubicada.

1. \(\sqrt[3]{-8}\)
2. \(\sqrt[3]{-1}\)
3. \(\sqrt[3]{-\frac{1}{27}}\)

Solución:

1. \(\sqrt[3]{-8} = \sqrt[3]{(-2)^{3}} = -2\)
2. \(\sqrt[3]{-1} = \sqrt[3]{(-1)^{3}} = -1\)
3. \(\sqrt[3]{-\frac{1}{27}} = \sqrt[3]{(-\frac{1}{3})^{3}} = -\frac{1}{3}\)

Puede darse el caso de que el radicand no sea un cubo perfecto. Si un entero no es un cubo perfecto, entonces su raíz cubo será irracional. Por ejemplo,\(\sqrt[3]{2}\) es un número irracional que se puede aproximar en la mayoría de las calculadoras usando el botón raíz. Dependiendo de la calculadora, normalmente escribimos el índice antes de presionar el botón y luego el radicando de la siguiente manera:

\(3\:\: \sqrt[x]{y}\:\:2\:\:=\)

Por lo tanto tenemos

\(\sqrt[3]{2} \approx 1.260, \quad \text { because } \quad 1.260^{\wedge} 3 \approx 2\)

n th Raíces

Para cualquier entero n≥2, definimos la raíz n ésima de un número real positivo como ese número que cuando se eleva a la n ésima potencia produce el número original. Dado cualquier número real no negativo a, tenemos la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=a, \quad \text { if } \qquad a \geq 0\]

Aquí n se llama el índice y\(a^{n}\) se llama el radicando. Además, podemos referirnos a toda la expresión\ sqrt [n] {a}\) como un radical. Cuando el índice es un entero mayor que 3, decimos “cuarta raíz”, “quinta raíz”, y así sucesivamente. La raíz n ésima de cualquier número es aparente si podemos escribir el radicando con un exponente igual al índice.

Ejemplo\(\PageIndex{5}\)

Encuentra la raíz n th.

1. \(\sqrt[4]{81}\)
2. \(\sqrt[5]{32}\)
3. \(\sqrt[7]{1}\)
4. \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}}\)

Solución:

1. \(\sqrt[4]{81} = \sqrt[4]{3^{4}} = 3\)
2. \(\sqrt[5]{32} = \sqrt[5]{2^{5}} = 2\)
3. \(\sqrt[7]{1} = \sqrt[7]{1^{7}} = 1\)
4. \(\sqrt[4]{\frac{1}{16}} = \sqrt[4]{(\frac{1}{2})^{4}} = \frac{1}{2}\)

Si el índice es n=2, entonces el radical indica una raíz cuadrada y es costumbre escribir el radical sin el índice, como se ilustra a continuación:

\[\sqrt[2]{a}=\sqrt{a}\]

Ya nos hemos ocupado de definir la raíz cuadrada principal de un número. En este punto, extendemos esta idea a n th raíces cuando n es par. Por ejemplo, 3 es una cuarta raíz de 81, porque\(3^{4}=81\). Y ya que\((−3)^{4}=81\), podemos decir que −3 es una cuarta raíz de 81 también. De ahí que usamos el signo radical\(\sqrt[n]{}\) para denotar la raíz n th principal (no negativa) cuando n es par. En este caso, para cualquier número real a, utilizamos la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\qquad\color{Cerulean}{When\:n\:is\:even}\]

Por ejemplo,

\(\begin{array}{l}{\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}=|3|=3} \\ {\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{(-3)^{4}}=|-3|=3}\end{array}\)

La raíz n th negativa, cuando n es par, se denotará usando un signo negativo frente al radical\(-\sqrt[n]{}\).

\(-\sqrt[4]{81}=-\sqrt[4]{3^{4}}=-3\)

Hemos visto que la raíz cuadrada de un número negativo no es real porque cualquier número real, al ser cuadrado, resultará en un número positivo. De hecho, surge un problema similar para cualquier índice par:

\(\sqrt[4]{-81}=\color{Cerulean}{?} \quad\color{black}{ \text { or }} \quad(\color{Cerulean}{?}\color{black}{)}^{4}=-81\)

Aquí la cuarta raíz de −81 no es un número real porque la cuarta potencia de cualquier número real siempre es positiva.

\(\begin{array}{l}{\sqrt{-4}} \\ {\sqrt[4]{-81}}\end{array}\quad \} \quad\color{Cerulean}{These\:radicals\:are\:not\:real\:numbers.}\)

Ejemplo\(\PageIndex{6}\)

Simplificar

1. \(\sqrt[4]{-16}\)
2. \(-\sqrt[4]{16}\)

Solución:

a. El radicando es negativo y el índice es parejo. Por lo tanto, no hay un número real que cuando se eleva a la cuarta potencia sea −16.

\(\sqrt[4]{-16} \qquad\color{Cerulean}{Not\:a\:real\:number}\)

b. Aquí el radicando es positivo. Además,\(16=2^{4}\), y podemos simplificar de la siguiente manera:

\(-\sqrt[4]{16}=-\sqrt[4]{2^{4}}=-2\)

Cuando n es impar, no ocurren los mismos problemas. El producto de un número impar de factores positivos es positivo y el producto de un número impar de factores negativos es negativo. De ahí que cuando el índice n es impar, solo hay una raíz n ésima real para cualquier número real a. Y tenemos la siguiente propiedad:

\[\sqrt[n]{a^{n}}=a \qquad \color{Cerulean}{When\:n\:is\:odd}\]

Ejemplo\(\PageIndex{7}\)

Encuentra la raíz n th.

1. \(\sqrt[5]{-32}\)
2. \(\sqrt[7]{-1}\)

Solución:

a.\(\sqrt[5]{-32}= \sqrt[5]{(-2)^{5}} = -2\)

b.\(\sqrt[7]{-1}= \sqrt[7]{(-1)^{7}} = -1\)

Ejercicio\(\PageIndex{1}\)

Encuentra la cuarta raíz:

\(\sqrt[4]{625}\)

Responder

5

Resumen

Cuando n es impar, la enésima raíz es positiva o negativa dependiendo del signo del radicando.

Cuando n es par, la raíz n th es positiva o no real dependiendo del signo del radicando.

\(\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{(-2)^{4}}=|-2|=2\)

\(\sqrt[4]{-16} \quad\color{Cerulean}{The\:radical\:is\:not\:a\:real\:number.}\)

Simplificación del Uso de la Regla de Producto y Cociente para Radicales

No siempre va a darse el caso de que el radicando sea una potencia perfecta del índice dado. Si no, utilizamos las siguientes dos propiedades para simplificarlas. Si a y b representan números reales positivos, entonces tenemos

Mesa\(\PageIndex{1}\)

Regla del producto para radicales:	\[\sqrt[n]{a\cdot b}=\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b}\]
Regla de cociente para radicales:	\[\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}\]

Un radical se simplifica si no contiene ningún factor que pueda escribirse como una potencia perfecta del índice.

Ejemplo\(\PageIndex{8}\)

Simplificar:

\(\sqrt{12}\)

Solución:

Aquí 12 se puede escribir como 4 ⋅ 3, donde 4 es un cuadrado perfecto.

\(\begin{aligned} \sqrt{12} &=\sqrt{4 \cdot 3} &\color{Cerulean} { Apply\: the\: product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} & \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=2 \cdot \sqrt{3} \end{aligned}\)

Podemos verificar nuestra respuesta en una calculadora:

\(\sqrt{12} \approx 3.46 \quad \text { and } \quad 2 \cdot \sqrt{3} \approx 3.46\)

Además, cabe señalar que

\(3.46^{\wedge} 2 \approx 12\)

Respuesta:

\(2\sqrt{3}\)

Ejemplo\(\PageIndex{9}\)

Simplificar:

\(\sqrt{135}\)

Solución:

Comience por encontrar el factor cuadrado perfecto más grande de 135.

\(\begin{aligned} 135 &=3^{3} \cdot 5 \\ &=3^{2} \cdot 3 \cdot 5 \\ &=9 \cdot 15 \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\begin{aligned} \sqrt{135} &=\sqrt{9 \cdot 15} \qquad \color{Cerulean} { Apply\: the \:product\: rule\: for\: radicals.} \\ &=\sqrt{9} \cdot \sqrt{15} \quad\: \color{Cerulean} { Simplify. } \\ &=3 \cdot \sqrt{15} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(3\sqrt{15}\)

Ejemplo\(\PageIndex{10}\)

Simplificar:

\(\sqrt{\frac{50}{121}}\)

Solución:

Comience por encontrar las factorizaciones prime tanto de 50 como de 121. Esto nos permitirá determinar fácilmente los mayores factores cuadrados perfectos.

\(\begin{aligned} 50 &=5^{2} \cdot 2 \\ 121 &=11^{2} \end{aligned}\)

Por lo tanto,

\(\begin{aligned} \sqrt{\frac{50}{121}} &=\sqrt{\frac{5^{2} \cdot 2}{11^{2}}} \qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:and\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt{5^{2}} \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{11^{2}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(\frac{5 \cdot \sqrt{2}}{11}\)

Ejemplo\(\PageIndex{11}\)

Simplificar:

\(\sqrt[3]{162}\)

Solución:

Utilice la factorización principal de 162 para encontrar el factor cúbico perfecto más grande:

\(\begin{aligned} 162 &=3^{4} \cdot 2 \\ &=\color{Cerulean}{3^{3}}\color{black}{ \cdot} 3 \cdot 2 \end{aligned}\)

Reemplazar el radicando con esta factorización y luego aplicar la regla del producto para los radicales.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{162} &=\sqrt[3]{3^{3} \cdot 3 \cdot 2} \qquad\quad\color{Cerulean}{Apply\:the\:product\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\sqrt[3]{3^{3}} \cdot \sqrt[3]{3 \cdot 2} \quad\:\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=3 \cdot \sqrt[3]{6} \end{aligned}\)

Podemos verificar nuestra respuesta en una calculadora.

\(\sqrt[3]{162} \approx 5.451 \quad \text { and } \quad 3 \cdot \sqrt[3]{6} \approx 5.451\)

Respuesta:

\(3 \sqrt[3]{6}\)

Ejercicio\(\PageIndex{2}\)

Simplificar:

\(2\sqrt[3]{96}\)

Responder

\(4\sqrt[3]{12}\)

Ejemplo\(\PageIndex{12}\)

Simplificar:

\(\sqrt[5]{-96}\)

Solución:

Aquí observamos que el índice es impar y el radicando es negativo; de ahí que el resultado sea negativo. Podemos factorizar el radicando de la siguiente manera:

Luego simplifique:

Respuesta:

Ejemplo\(\PageIndex{13}\)

Simplificar:

\(\sqrt[3]{-\frac{8}{64}}\)

Solución:

En este caso, considere la fracción equivalente con\(−8=(−2)^{3}\) en el numerador y luego simplifique.

\(\begin{aligned} \sqrt[3]{-\frac{8}{64}} &=\sqrt[3]{\frac{-8}{64}}\qquad\color{Cerulean}{Apply\:the\:quotient\:rule\:for\:radicals.} \\ &=\frac{\sqrt[3]{\frac{(-2)^{3}}{\sqrt[3]{4^{3}}}}}{\sqrt[3]{4^{3}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\frac{-2}{4} \\ &=-\frac{1}{2} \end{aligned}\)

Respuesta:

\(-\frac{1}{2}\)

Ejercicio\(\PageIndex{3}\)

Simplificar:

\(\sqrt[-3]{108}\)

Responder

\(-3\sqrt[3]{4}\)

Claves para llevar

• La raíz cuadrada de un número es ese número que cuando se multiplica por sí mismo produce el número original. Cuando el radicando a es positivo,\(\sqrt{a^{2}=a\). Cuando el radicando es negativo, el resultado no es un número real.
• La raíz cúbica de un número es ese número que cuando se usa como factor consigo mismo tres veces produce el número original. La raíz cúbica puede ser positiva o negativa dependiendo del signo del radicando. Por lo tanto, para cualquier número real a, tenemos la propiedad\(\sqrt[3]{a^{3}}=a\).
• Cuando se trabaja con n ésima raíces, n determina la definición que aplica. Usamos\(\sqrt[n]{a^{n}}=a\) cuando n es impar y\(\sqrt[n]{a^{n}}=|a|\) cuando n es par. Cuando n es par, la raíz n ésima negativa se denota con un signo negativo frente al signo radical.
• Para simplificar las raíces cuadradas, busque el factor cuadrado perfecto más grande del radicando y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales.
• Para simplificar las raíces cúbicas, busque el factor cúbico perfecto más grande del radicando y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales.
• Para simplificar n th raíces, busque los factores que tengan un poder que sea igual al índice n y luego aplique la regla del producto o cociente para los radicales. Por lo general, el proceso se simplifica si se trabaja con la factorización principal del radicando.

Ejercicio\(\PageIndex{4}\) radicals

Simplificar.

1. \(\sqrt{81}\)
2. \(\sqrt{100}\)
3. \(\sqrt{64}\)
4. \(\sqrt{121}\)
5. \(\sqrt{0}\)
6. \(\sqrt{1}\)
7. \(\sqrt{0.25}\)
8. \(\sqrt{0.01}\)
9. \(\sqrt{1.21}\)
10. \(\sqrt{2.25}\)
11. \(\sqrt{14}\)
12. \(\sqrt{136}\)
13. \(\sqrt{\frac{25}{16}}\)
14. \(\sqrt{\frac{9}{25}}\)
15. \(\sqrt{−25}\)
16. \(\sqrt{−9}\)
17. \(-\sqrt{36}\)
18. \(-\sqrt{81}\)
19. \(-\sqrt{100}\)
20. \(-\sqrt{1}\)
21. \(\sqrt[3]{27}\)
22. \(\sqrt[3]{125}\)
23. \(\sqrt[3]{64}\)
24. \(\sqrt[3]{8}\)
25. \(\sqrt[3]{\frac{1}{1}}\)
26. \(\sqrt[3]{\frac{1}{64}}\)
27. \(\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\)
28. \(\sqrt[3]{\frac{64}{125}}\)
29. \(\sqrt[3]{0.001}\)
30. \(\sqrt[3]{1,000}\)
31. \(\sqrt[3]{-1}\)
32. \(\sqrt[3]{− 8}\)
33. \(\sqrt[3]{−27}\)
34. \(\sqrt[3]{−64}\)
35. \(\sqrt[3]{−18}\)
36. \(-\sqrt[3]{\frac{27}{64}}\)
37. \(-\sqrt[3]{\frac{8}{27}}\)
38. \(-\sqrt[3]{\frac{1}{125}}\)
39. \(\sqrt[4]{81}\)
40. \(\sqrt[4]{625}\)
41. \(\sqrt[4]{16}\)
42. \(\sqrt[4]{10,000}\)
43. \(\sqrt[5]{32}\)
44. \(\sqrt[5]{1}\)
45. \(\sqrt[5]{243}\)
46. \(\sqrt[5]{100,000}\)
47. \(-\sqrt[4]{16}\)
48. \(-\sqrt[6]{1}\)
49. \(\sqrt[5]{−32}\)
50. \(\sqrt[5]{-1}\)
51. \(\sqrt{− 1}\)
52. \(\sqrt[4]{−16}\)
53. \(− 5\sqrt[3]{-27}\)
54. \(− 2\sqrt[3]{− 8}\)
55. \(5 \sqrt[3]{−1,000}\)
56. \(3 \sqrt[5]{−243}\)
57. \(10 \sqrt[4]{−16}\)
58. \(2 \sqrt[6]{−64}\)
59. \(\sqrt{325}\)
60. \(\sqrt{64}\)
61. \(2 \sqrt[3]{27}\)
62. \(8 \sqrt[3]{243}\)
63. \(−7 \sqrt[3]{8}\)
64. \(−4 \sqrt[4]{625}\)
65. \(6 \sqrt[5]{100,000}\)
66. \(5 \sqrt[7]{128}\)

Responder

1. 9

3. 8

5. 0

7. 0.5

9. 1.1

11. \(\frac{1}{2}\)

13. \(\frac{5}{4}\)

15. No es un número real

17. −6

19. −10

21. 3

23. 4

25. \(\frac{1}{2}\)

27. \(\frac{2}{3}\)

29. \(0.1\)

31. −1

33. −3

35. \(−\frac{1}{2}\)

37. \(−\frac{2}{3}\)

39. 3

41. 2

43. 2

45. 3

47. −2

49. −2

51. No es un número real

53. 15

55. −50

57. No es un número real

59. 15

61. 6

63. −14

65. 60

Ejercicio\(\PageIndex{5}\) simplifying radicals

Simplificar.

1. \(\sqrt{32}\)
2. \(\sqrt{250}\)
3. \(\sqrt{80}\)
4. \(\sqrt{150}\)
5. \(\sqrt{160}\)
6. \ (\ sqrt {60}\
7. \(\sqrt{175}\)
8. \(\sqrt{216}\)
9. \(\sqrt{5112}\)
10. \(\sqrt{10135}\)
11. \(\sqrt{\frac{50}{49}}\)
12. \(−\sqrt{2120}\)
13. \(−3\sqrt{162}\)
14. \(\sqrt{89}\)
15. \(\sqrt{\frac{45}{121}}\)
16. \(\sqrt{\frac{9}{681}}\)
17. \(\sqrt[3]{54}\)
18. \(\sqrt[3]{24}\)
19. \(\sqrt[3]{48}\)
20. \(\sqrt[3]{81}\)
21. \(\sqrt[3]{40}\)
22. \(\sqrt[3]{120}\)
23. \(\sqrt[3]{162}\)
24. \(\sqrt[3]{500}\)
25. \(\sqrt[3]{\frac{54}{125}}\)
26. \(\sqrt[3]{\frac{40}{343}}\)
27. \(5 \sqrt[3]{-48}\)
28. \(2 \sqrt[3]{-108}\)
29. \(8 \sqrt[4]{96}\)
30. \(7 \sqrt[4]{162}\)
31. \(\sqrt[5]{160}\)
32. \(\sqrt[5]{486}\)
33. \(\sqrt[5]{\frac{224}{243}}\)
34. \(\sqrt[5]{532}\)

Responder

1. \(4\sqrt{2}\)

3. \(4\sqrt{5}\)

5. \(4\sqrt{10}\)

7. \(5\sqrt{7}\)

9. \(6\sqrt{142}\)

11. \(\frac{5 \sqrt{2}}{7}\)

13. \(-27 \sqrt{2}\)

15. \(\frac{3 \sqrt{5}}{11}\)

17. \(3\sqrt[3]{2}\)

19. \(2 \sqrt[3]{6}\)

21. \(2 \sqrt[3]{5}\)

23. \(3 \sqrt[3]{6}\)

25. \(\frac{3 \sqrt[3]{2}}{5}\)

27. \(-10 \sqrt[3]{6}\)

29. \(16 \sqrt[4]{6}\)

31. \(2 \sqrt[5]{5}\)

33. \(\frac{2 \sqrt[5]{7}}{3}\)

Ejercicio\(\PageIndex{6}\) simplifying radicals

Simplificar. Dar la respuesta exacta y la respuesta aproximada redondeada a la centésima más cercana.

1. \(\sqrt{8}\)
2. \(\sqrt{200}\)
3. \(\sqrt{45}\)
4. \(\sqrt{72}\)
5. \(3\sqrt{4}\)
6. \(\sqrt{59}\)
7. \(\sqrt{32}{25}\)
8. \(\sqrt{48}{49}\)
9. \(\sqrt[3]{80}\)
10. \(\sqrt[3]{320}\)
11. \(\sqrt[3]{48}\)
12. \(\sqrt[3]{270}\)

Responder

1. \(2\sqrt{2} ≈2.83\)

3. \(3\sqrt{5} ≈6.71\)

5. \(3\sqrt{2} ≈0.87\)

7. \(\frac{4 \sqrt{2}}{5} ≈1.13\)

9. \(2 \sqrt[3]{10} ≈4.31\)

11. \(2 \sqrt[3]{6} ≈3.63\)

Ejercicio\(\PageIndex{7}\) simplifying radicals

Reescribe lo siguiente como expresión radical con coeficiente 1.

1. \(2\sqrt{15}\)
2. \(3\sqrt{7}\)
3. \(5\sqrt{10}\)
4. \(10\sqrt{3}\)
5. \(2\sqrt[3]{7}\)
6. \(3\sqrt[3]{6}\)
7. \(2\sqrt[4]{5}\)
8. \(3\sqrt[4]{2}\)
9. La fórmula para el área A de un cuadrado es\(A=s^{2}\). Si el área es de 18 unidades cuadradas, entonces ¿cuál es la longitud de cada lado?
10. Calcular la longitud de un lado de un cuadrado con un área de 60 centímetros cuadrados.
11. La fórmula para el volumen V de un cubo es\(V=s^{3}\). Si el volumen de un cubo es de 112 unidades cúbicas, entonces ¿cuál es la longitud de cada lado?
12. Calcula la longitud de un lado de un cubo con un volumen de 54 centímetros cúbicos.

Responder

1. \(\sqrt{60}\)

3. \(\sqrt{250}\)

5. \(\sqrt[3]{56}\)

7. \(\sqrt[4]{80}\)

9. \(3\sqrt{2}\)unidades

11. \(2 \sqrt[3]{14}\)unidades

Ejercicio\(\PageIndex{8}\) discussion board

1. Explica por qué hay dos raíces cuadradas para cualquier número real distinto de cero.
2. Explica por qué solo hay una raíz cubo para cualquier número real.
3. ¿Cuál es la raíz cuadrada de 1, y cuál es la raíz cubo de 1? Explique por qué.
4. \(\sqrt{−1}\)Explique por qué no es un número real y por qué\(\sqrt[3]{−1}\) es un número real.

Responder

1. Las respuestas pueden variar

3. Las respuestas pueden variar